許思遙 于懿 陳宇

摘 要 混沌系統(tǒng)作為一類特殊的動力學系統(tǒng)，它的同步問題在工程技術、生物學等領域受到極大重視。基于此，我們對Genesio混沌系統(tǒng)的同步問題進行研究。我們考慮Genesio系統(tǒng)在參數(shù)已知及參數(shù)未知情況下的同步控制器設計，然后通過 Lyapunov 穩(wěn)定性分析使得所設計的控制器保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號漸近穩(wěn)定。最后我們通過 Matlab/Simulink 仿真實驗驗證所設計出的控制方法是有效的。

關鍵詞 混沌系統(tǒng);控制器;微分方程;同步

引言

混沌是指確定性動力學系統(tǒng)因對初值敏感而表現(xiàn)出的不可預測的、隨機性運動[1-3]。混沌同步，從總體上說，屬于混沌控制的范疇，它是指兩個混沌系統(tǒng)在耦合作用下使其混沌運動達到一致的過程。許多混沌控制方法可以應用于混沌同步，反之亦然。1990年，美國海軍實驗室的L. M.Pecora和T. L. Carrol提出混沌自同步方法，首次利用驅動-響應法實現(xiàn)了兩個混沌系統(tǒng)同步，從而拉開了混沌同步方法研究與應用的序幕[4-5]?；煦缦到y(tǒng)的同步問題在信息技術、保密通信等眾多領域具有廣泛的應用背景，從而受到了學者的廣泛關注[6-8]。

正是由于這些原因，我們對Genesio混沌系統(tǒng)的同步問題進行研究，首先考慮Genesio系統(tǒng)在參數(shù)已知及參數(shù)未知情況下的同步控制器設計，然后通過Lyapunov穩(wěn)定性分析使得所設計的控制器保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號漸近穩(wěn)定。最后，我們利用 Matlab/Simulink 仿真實驗驗證所設計出的控制方法是有效的。

1主要內容

本文主要研究一類混沌系統(tǒng)，其系統(tǒng)名稱為Genesio系統(tǒng)，表達式如下：

其中a=6，b=2.92，c=1.2，系統(tǒng)混沌。

1.1 參數(shù)已知時Genesio系統(tǒng)的同步控制器設計

將兩個初值不同的Genesio系統(tǒng)表示為驅動系統(tǒng)S1和響應系統(tǒng)S2：

（2-1）

（2-2）

其中u1，u2，u3為控制信號。

定義偏差

（2-3）

得到如下系統(tǒng)誤差，

（2-4）

構造Lyapunov函數(shù)

（2-5）

其導數(shù)為

（2-6）

構造控制器：

（2-7）

將式（2-4）和式（2-7）代入式（2-6）得

（2-8）

此時滿足條件：

（2-9）

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，有

（2-10）

即加入控制信號后，驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)可以有效地同步。

1.2 參數(shù)未知時Genesio系統(tǒng)的同步控制器設計

考慮驅動系統(tǒng)的參數(shù)已知，而響應系統(tǒng)的參數(shù)未知的情況。則驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)寫為

（2-11）

（2-12）

其中a1=6，b1=2.92，c1=1.2，a2，b2，c2未知。

定義偏差：

（2-13）

得到如下系統(tǒng)誤差，

（2-14）

構造Lyapunov函數(shù)

（2-15）

其導數(shù)為

（2-16）

構造控制器

（2-17）

有m1>0，m2>0，m3>0。參數(shù)的自適應律為

（2-18）

將式（2-14）、式（2-17）和式（2-18）帶入式（2-16）得

（2-19）

選取任意m1>0，m2>0，m3>-c1，m4，m5，m6>0則有

（2-20）

取m1=10，m2=10，m3=5，m4=m5=m6=1。

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)誤差（2-13）接近穩(wěn)定，驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)可以有效地同步。

1.3 Matlab仿真實驗

（1）參數(shù)已知的Genesio系統(tǒng)

設驅動系統(tǒng)初始值為（x1，y1，z1）=（0.2，0.1，-0.2），響應系統(tǒng)初始值為（x2，y2，z2）=（0.5，0.3，-0.4）。仿真結果如圖1所示：

根據(jù)仿真曲線我們看到，參數(shù)已知的兩個Genesio系統(tǒng)的誤差趨近于0，這表明所設計的控制器可以使參數(shù)已知的兩個Genesio系統(tǒng)實現(xiàn)同步。

（2）參數(shù)未知的Genesio系統(tǒng)

設驅動系統(tǒng)初始值為（x1，y1，z1）=（0.2，0.1，-0.2），響應系統(tǒng)初始值為（x2，y2，z2）=（0.5，0.3，-0.4）。響應系統(tǒng)未知參數(shù)估計的初始值為（a2，b2，c2）=（1，1，3）。仿真結果如圖2：

根據(jù)仿真曲線我們看到參數(shù)未知的兩個Genesio系統(tǒng)誤差趨近于0，這表明所設計的控制器可以使參數(shù)未知的兩個Genesio系統(tǒng)實現(xiàn)同步。

2結論及展望

本文討論了Genesio系統(tǒng)的同步及其控制器的設計問題，將混沌系統(tǒng)的同步化問題轉化為混沌同步誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)設計出同步控制器。目前我們只對Genesio系統(tǒng)進行了相關控制器設計，接下來我們還會在更多混沌系統(tǒng)上進行相關控制器設計。

參考文獻

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作者簡介

許思遙，女，華東理工大學數(shù)學系本科生。

于懿，女，華東理工大學數(shù)學系本科生。

陳宇，男，華東理工大學數(shù)學系本科生。