張衛(wèi)星

（浙江省臺(tái)州市仙居縣田市鎮(zhèn)中心小學(xué)）

數(shù)學(xué)板書主要呈現(xiàn)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)。在提倡數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地的當(dāng)下，數(shù)學(xué)板書的引領(lǐng)作用顯得越來(lái)越重要。數(shù)學(xué)核心問題既為核心知識(shí)點(diǎn)的落實(shí)服務(wù)，也為學(xué)生核心素養(yǎng)的生成服務(wù)。從教學(xué)方法和教學(xué)目標(biāo)的角度來(lái)說，數(shù)學(xué)板書和數(shù)學(xué)核心問題的目的是一致的，那就是為學(xué)生的學(xué)習(xí)服務(wù)。如果能將核心問題與數(shù)學(xué)板書融為一體（過程式板書），那么對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用就更大。

過程式板書既要呈現(xiàn)學(xué)習(xí)過程，又要呈現(xiàn)核心問題的引領(lǐng)過程，既要呈現(xiàn)核心知識(shí)點(diǎn)，又要呈現(xiàn)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的產(chǎn)生過程。我探究了過程式板書的設(shè)計(jì)，并通過設(shè)計(jì)讓數(shù)學(xué)核心問題留痕，讓課堂學(xué)習(xí)更有效。

一、凸顯知識(shí)本質(zhì)：在比較中留痕

比較是數(shù)學(xué)中常見的思想方法之一，是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的手段。比較還是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，通過比較，可以凸顯知識(shí)本質(zhì)，便于學(xué)生更清晰地掌握，而滲透比較思想的核心問題可以更好地引領(lǐng)學(xué)生展開學(xué)習(xí)。因此，借助比較讓，核心問題在板書上留痕，既可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，又可以讓學(xué)生感悟比較的數(shù)學(xué)思想。

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“畫垂線”是一節(jié)典型的技能課。畫垂線的技能如果能夠通過比較的方式呈現(xiàn)出來(lái)，那么學(xué)生的感悟效果也就更加明顯。我在分析教材后提煉出了“畫垂線”的核心問題：如何畫垂線？能畫幾條？垂線和距離有什么異同？為了突出這幾個(gè)核心問題，我設(shè)計(jì)了五次比較的場(chǎng)景：一是畫點(diǎn)在直線上的垂線的范式和變式；二是畫點(diǎn)在直線外的垂線的范式和變式；三是畫同一條直線上的不同垂線；四是過一點(diǎn)畫直線的幾條線段；五是畫平行線之間的幾條垂線。通過這樣五次比較并且在黑板上留下痕跡（如圖1），學(xué)生就可以清晰地知道垂線的畫法，過一點(diǎn)只能畫一條垂線，一條直線上的所有垂線互相平行，從一點(diǎn)到直線的垂直線段最短，平行線之間的距離處處相等。這也是核心問題引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)的一種新方式。

圖1

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“筆算除法”一課，教材安排了兩課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，第一課時(shí)教學(xué)四舍法試商，第二課時(shí)教學(xué)五入法試商。我認(rèn)為，把這兩個(gè)課時(shí)整合在一起教學(xué)更有利于學(xué)生的比較，從而讓學(xué)生真正掌握四舍法和五入法試商的特征。為此，我設(shè)計(jì)了這一節(jié)整合課的核心問題：四舍法試商可能會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？五入法試商可能會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？?jī)烧哂泻尾煌?？借助板書，學(xué)生容易理解四舍法試商，初商容易變大，要調(diào)小；五入法試商，初商容易偏小，要調(diào)大。最后的驗(yàn)算方法，學(xué)生基本都能理解。把兩種試商方法放在一起比較，學(xué)生能夠更好地理解兩種試商方法的特征和優(yōu)勢(shì)，便于學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)。事實(shí)上，板書（如圖2）的過程就是核心問題引領(lǐng)下學(xué)生學(xué)習(xí)的過程。

圖2

二、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：在體驗(yàn)中留痕

體驗(yàn)是個(gè)體主動(dòng)親歷或虛擬地親歷某件事并獲得相應(yīng)的認(rèn)知和情感的直接經(jīng)驗(yàn)的活動(dòng)。數(shù)學(xué)體驗(yàn)式學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師的組織、引導(dǎo)和合作下，在一定的情境下參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和應(yīng)用過程，從而積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更好地獲取知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、解決問題。因此，數(shù)學(xué)核心問題應(yīng)努力把學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)引向體驗(yàn)式學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在自主體驗(yàn)中真正感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。在板書中，可以通過示意圖建立數(shù)學(xué)模型、通過流程圖進(jìn)行清淅展示來(lái)留下體驗(yàn)的痕跡。

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“烙餅問題”是一節(jié)經(jīng)典的數(shù)學(xué)思維課，我連續(xù)四年任教這一內(nèi)容，之前三年都著眼于例題，努力建構(gòu)烙餅?zāi)Ｐ停骸袄语灥淖疃虝r(shí)間=餅的張數(shù)×烙一面的時(shí)間”。這一模型在“每次最多烙兩張餅”這一條件下普適性很強(qiáng)，但如果這一條件發(fā)生改變，就沒有了普適性，又要重新建構(gòu)模型。前三年中，我都要建兩個(gè)烙餅?zāi)Ｐ?，使得自己很辛苦，也使得有些學(xué)稀里湖涂。今年，我進(jìn)行了教學(xué)改進(jìn)，著力建立一個(gè)普適的模型。基于此，我設(shè)計(jì)了如下的核心問題：烙3張餅，如何最省時(shí)？烙餅時(shí)間和烙餅次數(shù)有什么關(guān)系？烙餅次數(shù)如何算？在烙2張餅的時(shí)候，讓學(xué)生感受同時(shí)烙可以節(jié)省時(shí)間，當(dāng)然應(yīng)該在板書上留下痕跡。烙3張餅是本課的核心內(nèi)容，必須安排學(xué)生動(dòng)手體驗(yàn)，讓學(xué)生積累烙餅經(jīng)驗(yàn)，真正感受到同時(shí)烙的優(yōu)勢(shì)，利用示意圖留下痕跡。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生順勢(shì)推導(dǎo)出烙4張餅、5張餅、6張餅的時(shí)間，然后引導(dǎo)學(xué)生通過觀察得出如下這些結(jié)論：烙餅次數(shù)=烙餅張數(shù)（每次烙2張餅時(shí)）；烙餅次數(shù)=餅的張數(shù)×2÷每次烙幾個(gè)面；烙餅的最短時(shí)間=烙餅次數(shù)×烙一面的時(shí)間。當(dāng)我把這些模型留在黑板上時(shí)（如圖3），這樣的板書既呈現(xiàn)出烙餅過程，又呈現(xiàn)出核心問題的引領(lǐng)過程，讓學(xué)生真正經(jīng)歷了烙餅及思考的過程。

圖3

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《合理安排時(shí)間》，是一節(jié)適合學(xué)生自己探索、自己體驗(yàn)的思維活動(dòng)課，前提是要事先給予學(xué)生安排整理的方法——畫流程圖，還要事先提醒學(xué)生同時(shí)做的事情可以放在流程圖的同一個(gè)框內(nèi)（如圖4）。為此，筆者設(shè)計(jì)了如下的核心問題：你能利用流程圖將下面的事情有序安排，保證所花時(shí)間最少嗎？如何合理安排，可以節(jié)省時(shí)間？當(dāng)學(xué)生在經(jīng)歷思考和畫流程圖后，會(huì)你一言、我一句地總結(jié)出合理安排時(shí)間的兩條原則：一是要關(guān)注事情的先后順序，二是要關(guān)注能同時(shí)做的事情同時(shí)做。只有這兩條原則都符合了，所花的時(shí)間就是最少且最合理。當(dāng)然，黑板的清晰展示，可以給學(xué)生一個(gè)較好的示范。最后的板書既是核心問題的清晰呈現(xiàn)，更是學(xué)生體驗(yàn)過程的展示，讓學(xué)生清晰地感悟合理安排時(shí)間的竅門所在。

圖4

三、親歷合情推理：在歸納中留痕

歸納推理是從特殊到一般的推理方法，即依據(jù)一類事物中部分對(duì)象的相同性質(zhì)推出該類事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。歸納推理往往是在人們實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得出結(jié)論的，是合情推理的一種常見方式，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常用到。因此，教師在遇到需要?dú)w納推理的內(nèi)容時(shí)，一定要精心設(shè)計(jì)好核心問題，然后引領(lǐng)學(xué)生投入到歸納推理中。當(dāng)學(xué)生親歷這個(gè)過程時(shí)，就親歷了合情推理，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就能得到一次深度發(fā)展。

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“除法的規(guī)律”一課，教材涉及三種除法規(guī)律，即除數(shù)不變規(guī)律、被除數(shù)不變規(guī)律、商不變規(guī)律。而要在一節(jié)課內(nèi)發(fā)現(xiàn)這三種規(guī)律對(duì)于四年級(jí)學(xué)生來(lái)說還是比較困難的，即使能發(fā)現(xiàn)，在綜合運(yùn)用時(shí)也容易混淆。如何清晰歸納出這三種規(guī)律呢？我設(shè)計(jì)了如下這組核心問題：結(jié)合黑板上的三組算式，想一想除數(shù)不變的時(shí)候，被除數(shù)和除數(shù)如何變化？被除數(shù)不變的時(shí)候，除數(shù)和商如何變化？商不變的時(shí)候，被除數(shù)和除數(shù)到底發(fā)生什么變化？設(shè)計(jì)時(shí)直接指向黑板上事先寫好的三組算式，做到數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生的思維有所依靠。借助這三組算式，選取從上往下和從下往上兩個(gè)視角，學(xué)生會(huì)在不斷交流中初步歸納推理出這三種規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，我繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注相應(yīng)的關(guān)鍵詞和條件，學(xué)生基本上能夠理解這三種規(guī)律（如圖5）。這樣，每一種規(guī)律都是師生共同歸納推理出來(lái)的，板書也是師生一起完成的，學(xué)生對(duì)這三種規(guī)律就會(huì)有一種親切感，能夠把握其實(shí)質(zhì)。

圖5

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“田忌賽馬”這一課，教材首先讓學(xué)生通過有序排列感受田忌和齊王賽馬的所有方式（一共6種），田忌獲勝的次數(shù)為什么只有1次？這1次獲勝的原因是什么？從而使學(xué)生明白田忌獲勝的理由：一是讓對(duì)方先出馬；二是以弱勝?gòu)?qiáng)，即用最差的馬和齊王最好的馬比賽。為此，我設(shè)計(jì)了如下這組核心問題：田忌和齊王對(duì)陣一共有幾種方式？請(qǐng)有序排列出來(lái)。為什么田忌獲勝的次數(shù)只有1次？田忌獲勝的理由是什么？其實(shí)，當(dāng)學(xué)生有序地排列出各種對(duì)陣的方式并且在黑板上呈現(xiàn)出來(lái)時(shí)（如圖6），就有了共同觀察、思考、討論的素材。學(xué)生就很容易就能得出獲勝的理由，而這理由就是本節(jié)課所滲透的策略思想。羅列對(duì)陣方式是一種排列的過程，而后續(xù)的分析討論則是歸納推理的過程。由于注重過程，既實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)，又在黑板上留下了痕跡，還便于學(xué)生及時(shí)回顧鞏固。

圖6

四、構(gòu)建知識(shí)體系：在溝通中留痕

邏輯性強(qiáng)、連貫緊密是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一。溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生獲得知識(shí)、形成技能，并不斷將這些知識(shí)和技能納入原有的知識(shí)體系，是數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值追求。在教學(xué)中，我們不能單一、孤立地教給學(xué)生知識(shí)和技能，而是要將已學(xué)知識(shí)和技能進(jìn)行系統(tǒng)化、整體化，注意知識(shí)和技能間的內(nèi)在聯(lián)系，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度利用多種方法去思考問題、解決問題。因此，在設(shè)計(jì)核心問題和數(shù)學(xué)板書時(shí)，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容適時(shí)溝通知識(shí)之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)起一個(gè)邏輯緊密的知識(shí)體系，便于學(xué)生順利感悟。

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”一課，其主要教學(xué)目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生建立平行四邊形的觀念，使他們學(xué)會(huì)畫平行四邊形底邊上的高，溝通平行四邊形和長(zhǎng)方形及正方形之間的關(guān)系，在操作中感悟平行四邊形容易變形的特性以及變形過程中的變與不變。為此，我設(shè)計(jì)了如下的核心問題：利用手中的學(xué)具探索平行四邊形有什么特點(diǎn)？平行四形和長(zhǎng)方形及正方形之間有什么關(guān)系？如何畫平行四邊形的高？把長(zhǎng)方形學(xué)具拉成平行四邊形，什么變了？第一個(gè)問題，學(xué)生借助手中的學(xué)具，再加上課件的動(dòng)態(tài)演示，能夠比較清晰地得出平行四邊形的三大特征：對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等。第二個(gè)問題，我先出示一組四邊形讓學(xué)生判斷是不是平行四邊形，然后揭示平行四邊形的概念，接著引領(lǐng)學(xué)生溝通平行四邊形和長(zhǎng)方長(zhǎng)及正方形之間的關(guān)系，最后在學(xué)生充分說理后用集合圖表示出它們之間的關(guān)系。第三個(gè)問題，我先和學(xué)生一起畫高，接著讓學(xué)生說一說高的特點(diǎn)，最后揭示高的概念，強(qiáng)調(diào)畫高的要點(diǎn)。第四個(gè)問題同樣要讓學(xué)生先操作，在操作基礎(chǔ)上提出問題，引領(lǐng)學(xué)生思考。借助學(xué)具，學(xué)生基本上能夠得出變與不變的內(nèi)容。這樣一來(lái)，既讓核心問題的引領(lǐng)作用充分發(fā)揮，同時(shí)又把相應(yīng)的提煉和溝通過程在黑板上呈現(xiàn)了出來(lái)（如圖7），讓學(xué)生真正感受到了數(shù)形結(jié)合的巨大魅力，真正厘清了知識(shí)的本質(zhì)。

圖7

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“商不變規(guī)律的運(yùn)用”一課，教學(xué)目的之一是利用商不變規(guī)律讓計(jì)算簡(jiǎn)便。教材呈現(xiàn)了三種類型：一是被除數(shù)和除數(shù)的末尾都有0，但沒有余數(shù)；二是被除數(shù)和除數(shù)的末尾都有0，但有余數(shù)；三是把除數(shù)轉(zhuǎn)化成整十、整百的數(shù)，被除數(shù)發(fā)生相應(yīng)變化。為此，我設(shè)計(jì)了如下這組核心問題：為什么被除數(shù)和除數(shù)要?jiǎng)澋粝嗤瑐€(gè)數(shù)的0？有余數(shù)的時(shí)候怎么處置？如果用遞進(jìn)等式計(jì)算，如何簡(jiǎn)便？教學(xué)時(shí)，我先把這四個(gè)算式事先在黑板上寫好，然后和學(xué)生一起經(jīng)歷計(jì)算的過程，在相互交流、反思、糾正中得到了正確答案。最后，將其過程在黑板上留下來(lái)（如圖8）。第一個(gè)問題，重在讓學(xué)生理解劃掉相同個(gè)數(shù)的0的理由；第二個(gè)問題，重在通過驗(yàn)算讓學(xué)生明白余數(shù)如何處置，自己總結(jié)出“商不變，余數(shù)要變”的結(jié)論。第三個(gè)問題，重在運(yùn)用商不變規(guī)律，把除數(shù)變成整十、整百的數(shù)，然后被除數(shù)發(fā)生相同變化。事實(shí)表明，通過這樣的方式，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣較高，知識(shí)點(diǎn)的落實(shí)效果較好。

圖8

總之，核心問題導(dǎo)學(xué)的實(shí)質(zhì)是用少數(shù)幾個(gè)精準(zhǔn)的問題引領(lǐng)學(xué)生展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而選擇性板書則將核心問題導(dǎo)學(xué)的痕跡留在黑板上。事實(shí)證明，選擇性板書既可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)思路更加清晰，又可以讓學(xué)生的思維有所依托。更為重要是，可以把學(xué)生的學(xué)習(xí)過程呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣明顯增強(qiáng)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向深度發(fā)展，從而讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落地。