孫 甲

(四川省成都市龍泉中學 610100)

目前普遍認為這類題順應了新課程改革中從注重知識技能的考查向注重思維、空間想象能力考查的要求.但這類題對目前的高中學生來講存在不小的難度.原因是：1.新課標人教版A高中教材對球體部分內容進行了刪減，只保留了球的表面積公式和體積公式，自主探究中則根據祖暅原理給出了球體體積公式的推導(半球內剔除同底等高圓錐).但關于球體的一些具體性質卻沒有在書中作為性質給出.雖然推理與證明部分有:根據合情推理中的類比推理，結合圓的性質推導球的性質的敘述. 但顯然知識學習的要求大大降低了.對學生來說在這種知識前提下探討多面體外接球問題無疑是有難度的.下面探究這類問題的求解策略.

一、補體法

例1 若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且長度分別為：1，2，3，則此三棱錐外接球的表面積為____.

分析共點的三條線兩兩垂直，讓我們想到了長方體的一個角.據此我們把此三棱錐補成長方體.如圖1,則三棱錐A′-AB′D′的外接球和長方體ABCD-A′B′C′D′的外接球相同，因此原問題就可以轉化為求長方體的外接球問題，大大降低了題目的難度.

圖1

=14π.

變式在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC.若AB=2,BC=3,PA=4，求該三棱錐外接球的表面積.

圖2

分析如圖2,我們不難得出三條棱PA、AB、BC兩兩垂直，我們可以以這三條線作為長方體的長、寬、高構造長方體.進而將三棱錐外接球問題轉化為長方體外接球問題.

小結例題1的結構特點是幾何體中存在三條兩兩垂直的棱，我們可以嘗試利用這三條棱作為長方體的長、寬、高構造具有相同外接球的長方體進而求解.

圖3

分析如圖3，我們發(fā)現(xiàn)三棱錐A-BCD不具備有三根兩兩垂直的棱這一性質，但以其各棱作為正方體的面對角線，則也可以補成擁有相同外接球的正方體求解.

解析如圖3，將三棱錐補成正方體，易知正方體的棱長為1，則有

圖4

分析如圖4，我們發(fā)現(xiàn)三棱錐A-BCD具有三組對邊分別相等的結構特征，我們可以將三棱錐六條棱作為長方體的面對角線，進而補成擁有相同外接球的長方體后求解.

解析設長方體共點的三條棱長分別為a,b,c，則有

小結例題2的結構特點是三棱錐的三組對棱分別相等，我們可以嘗試將三棱錐的棱作為長方體的面對角線，構造具有相同外接球的長方體后求解.

二、外心垂線法

圖5

分析三棱錐的四個頂點都在外接球的球面上，因此四個頂點到外接球的球心距離相等(外接球的半徑R).根據這個原則，我們只要確定了外接球球心所在的位置，問題就迎刃而解了.

解析設△ABC的外心為M，過M作△ABC所在平面的垂線，根據正四面體的性質，該垂線經過點P，則外接球的球心在直線MP上.設外接球的球心為O，OM=h.

根據多面體外接球的性質可知：OA=OP,

圖6

小結：外心垂線法的具體步驟和依據如下：

1.首先任意確定三棱錐一個面的外心M；

2.過該外心M作所在平面的垂線(平面圖形的外心到各頂點的距離相等.結合三角形全等可知：所有到該平面圖形各頂點距離相等的點都在經過外心且垂直于該平面的垂線上)，根據多面體外接球的定義可知，外接球的球心必在此垂線上，設外接球的球心為O；

3.根據外接球球心到各頂點距離相等這個性質，列方程，解方程確定外接球球心的位置；

4.求出外接球的半徑.