張清業(yè)

（江西師范大學(xué)，江西 南昌 330022）

1 引言

從上世紀(jì)初開始，人們逐漸意識到經(jīng)典分析學(xué)、微分方程、積分方程等傳統(tǒng)數(shù)學(xué)分支在處理問題的思想和方法上都具有很多驚人的相似之處，這促使了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們試圖從這些研究對象貌似迥異但思想方法卻十分相似的理論中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的東西從而尋求一種統(tǒng)一的抽象化的處理方法。在此情形下，泛函分析這一新的數(shù)學(xué)分支應(yīng)運(yùn)而生，并在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)物理、量子力學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用中取得了巨大的成功。此后，受自身理論研究以及眾多其它學(xué)科領(lǐng)域應(yīng)用需求的推動，泛函分析經(jīng)歷了近一個(gè)世紀(jì)的飛速發(fā)展，時(shí)至今日，它已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系中最重要的數(shù)學(xué)分支之一，并在眾多其它應(yīng)用學(xué)科領(lǐng)域中發(fā)揮著非常重要的作用。

正因?yàn)榉汉治鲞@一數(shù)學(xué)分支的理論如此之重要并且應(yīng)用如此之廣泛，所以，在國內(nèi)外很多大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)本科課程中“泛函分析”通常都是作為一門十分重要的專業(yè)主干課來開設(shè)的。然而，由于泛函分析的理論體系與生俱來就具有高度綜合性和抽象性的特點(diǎn)，所以通常的泛函分析教材（例如[1-2]）中不可避免地會有眾多極其抽象的概念和定理，這就導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)完“數(shù)學(xué)分析”這一相對具體和直觀的課程之后開始“泛函分析”課程學(xué)習(xí)的時(shí)候通常都會顯得非常不適應(yīng)并且感覺面臨極大的學(xué)習(xí)困難，從而十分影響他們對于這門重要的專業(yè)主干課的學(xué)習(xí)效果。針對這一困難，近些年，陸續(xù)有一些學(xué)者開始致力于“泛函分析”課程教學(xué)的研究，相關(guān)成果可參考文獻(xiàn)[3-5]及其中的參考文獻(xiàn)。在本文中，我們將結(jié)合作者多年的“數(shù)學(xué)分析”與“泛函分析”課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與思考，嘗試對“泛函分析”課程的教學(xué)方法進(jìn)行一定的改革探討，希望能幫助師生最大程度地克服這種困難從而取得更好的教與學(xué)的效果。

2 關(guān)于實(shí)數(shù)系的幾個(gè)等價(jià)基本定理的回顧

通過“數(shù)學(xué)分析”課程的學(xué)習(xí)，我們知道關(guān)于實(shí)數(shù)系的幾個(gè)等價(jià)的基本定理是建立微積分學(xué)中極限理論的基石，其重要性不言而喻，理解并熟練掌握它們之間等價(jià)性的證明有助于數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生對于實(shí)數(shù)理論和極限理論的本質(zhì)有一個(gè)更深刻的認(rèn)識與體會；不僅如此，作者從多年的數(shù)學(xué)專業(yè)的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，它們還可以對作為“數(shù)學(xué)分析”后繼課程的“泛函分析”課程中距離空間這一章里眾多極其抽象的概念和定理的理解和掌握起到很好的啟示作用，并能使學(xué)生更深刻地體會到“泛函分析”與“數(shù)學(xué)分析”內(nèi)在的傳承關(guān)系。在本文中，以通常泛函分析教材中第一章關(guān)于距離空間的教學(xué)為例，我們將嘗試改變堆砌式地直接給出眾多抽象概念和相關(guān)定理的傳統(tǒng)教學(xué)方法，通過探討上述這些等價(jià)基本定理在“泛函分析”課程中一般距離空間上能否進(jìn)行推廣的這一獨(dú)特的教學(xué)方式來引出這一章中相關(guān)的眾多抽象的概念和定理，使得學(xué)生在學(xué)好了數(shù)學(xué)分析之后對于泛函分析中的這些概念和定理理解和接受起來更加自然和容易，從而幫助他們?nèi)〉酶玫膶W(xué)習(xí)效果。

在數(shù)學(xué)分析中，關(guān)于實(shí)數(shù)系的基本定理共有六個(gè)，分別是確界原理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則、區(qū)間套定理、聚點(diǎn)定理和致密性定理以及有限覆蓋定理。通過“數(shù)學(xué)分析”課程的學(xué)習(xí)，我們知道這些基本定理兩兩互相等價(jià)，本質(zhì)上它們是從不同的角度刻畫了實(shí)數(shù)系的完備性。在本節(jié)中，我們將主要回顧其中幾個(gè)將在泛函分析課程中講授距離空間這一章內(nèi)容時(shí)會涉及到的基本定理。

2.1 柯西收斂準(zhǔn)則

定義2.1設(shè)為一數(shù)列，若對任意的總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n，m>N時(shí)，總有則稱為柯西序列或基本序列。

定理2.1[6]（柯西收斂準(zhǔn)則）數(shù)列收斂的充要條件是為柯西序列。

2.2 區(qū)間套定理

2.3 聚點(diǎn)定理和致密性定理

定義2.3設(shè)S為數(shù)軸上的點(diǎn)集，ξ為定點(diǎn)，若ξ的任何鄰域中都含有S中無窮多個(gè)點(diǎn)，則稱ξ為點(diǎn)集S的一個(gè)聚點(diǎn)。

定理2.3[6]（聚點(diǎn)定理）實(shí)軸上任一有界無限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。

聚點(diǎn)定理的另一種等價(jià)的表現(xiàn)形式就是如下的致密性定理：

定理2.4[6]（致密性定理）任何有界數(shù)列必有收斂的子列。

2.4 有限覆蓋定理

定義2.4設(shè)S為數(shù)軸上的點(diǎn)集，H為開區(qū)間的集合。若S中任何一個(gè)點(diǎn)都含在H中至少一個(gè)開區(qū)間內(nèi)，則稱H為S的一個(gè)開覆蓋，或稱H覆蓋S。若H中開區(qū)間的個(gè)數(shù)是無限（有限）的，則稱H為S的一個(gè)無限開覆蓋（有限開覆蓋）。

定理2.5[6]（有限覆蓋定理）設(shè)H為閉區(qū)間的一個(gè)無限開覆蓋，則從H中可選出有限多個(gè)開區(qū)間來覆蓋。

3 距離空間中關(guān)于完備性的一些抽象概念及定理的引出

3.1 距離空間中完備性概念的引出

在前面我們回顧的柯西收斂準(zhǔn)則是“數(shù)學(xué)分析”課程中較早引入的反映實(shí)數(shù)系完備性的基本定理，而我們通過探討在一般距離空間中是否也有柯西收斂準(zhǔn)則成立就自然引出了距離空間完備性的概念，在此之前先給出如下推廣的概念：

定義3.1設(shè)為距離空間中的點(diǎn)列，若對任意的 ，總存在正整數(shù)N，使得則稱為柯西點(diǎn)列或基本點(diǎn)列。

在一般距離空間中，我們能證明如下命題：

命題3.1距離空間中任一收斂點(diǎn)列必是柯西點(diǎn)列，但反之未必成立。

由此命題，我們就可仿照實(shí)數(shù)系的完備性在一般距離空間中引入完備性的概念。

定義3.2若距離空間 中任一柯西點(diǎn)列必收斂，則稱其為完備的距離空間。

顯然，上述定義就將一般距離空間劃分為完備的和非完備的兩大類，而由上節(jié)的定理2.1（柯西收斂準(zhǔn)則）知，實(shí)數(shù)系作為特殊距離空間當(dāng)然是完備的，這與我們前面所說的柯西收斂準(zhǔn)則反映的是實(shí)數(shù)系的完備性是一致的。

3.2 距離空間中的閉球套定理與逆定理

我們還容易看到距離空間的完備性本質(zhì)上就是要求柯西收斂準(zhǔn)則在其上成立。至此，我們自然會想到在上節(jié)中與柯西收斂準(zhǔn)則等價(jià)的其它幾個(gè)反映實(shí)數(shù)系完備性的基本定理能否推廣到一般的距離空間中來且也可以等價(jià)地刻畫一般距離空間的完備性。首先我們來嘗試將區(qū)間套定理搬到一般距離空間上來。為此我們首先要將區(qū)間套這一實(shí)數(shù)系上特有的概念（一般距離空間上沒有區(qū)間的概念）推廣成一般距離空間上閉球套的概念。

定義3.2設(shè)距離空間中的一列閉球滿足：

由上節(jié)中的定理2.2（區(qū)間套定理）知道，實(shí)數(shù)系中的任一區(qū)間套都含有唯一的公共點(diǎn)，那么在一般的距離空間中是否任一閉球套都含有唯一的公共點(diǎn)呢？答案可由如下兩個(gè)定理看出：

定理3.2（閉球套定理）設(shè)為完備距離空間中的閉球套，則存在唯一的點(diǎn)含于每一個(gè)閉球中。

定理3.3（逆定理）若距離空間中的任一閉球套都有非空的交，則該距離空間必是完備的。

上述兩個(gè)定理說明，與實(shí)數(shù)系上的情形相似，在一般的距離空間中也可以用閉球套定理來等價(jià)刻畫該距離空間的完備性，同時(shí)也說明了只有在完備的距離空間中任一閉球套都含有唯一的公共點(diǎn)。

3.3 距離空間中的關(guān)于緊性的一些概念和定理的引入

在這一小節(jié)中，我們來探討是否在一般的距離空間中也有類似于上節(jié)中定理2.3至定理2.5的一些定理可以來等價(jià)刻畫距離空間的完備性，為此，我們先引入下面的一些概念。

定義3.3若距離空間中的子集A包含在X中的某個(gè)開球內(nèi)，則稱A為有界的。

例3.1中的三角函數(shù)系按上述定義是中的有界無限點(diǎn)集，但顯然其中任意兩個(gè)元素之間的距離都是，從而不可能有聚點(diǎn)。

定義3.4設(shè)A是距離空間 中的子集，若A中的每個(gè)點(diǎn)列都含有子列收斂于X中的某一點(diǎn)，則稱A為準(zhǔn)緊集；若A中的每個(gè)點(diǎn)列都含有子列收斂于A中的某一點(diǎn)，則稱A為緊集；若空間X自身是緊集，則稱X為緊距離空間。

定義3.5設(shè)A，B是距離空間中的子集，ε為一給定的正數(shù)，若對于A中的任一點(diǎn)x，都有B中的點(diǎn)y使得則稱B是A的一個(gè)ε-網(wǎng)。

定義3.6設(shè)A是距離空間中的子集，若對任給的ε>0，A總存在有限的ε-網(wǎng)，則稱A是全有界集。

由定義容易看到全有界集一定是有界集，而例3.1也說明在一般距離空間中有界集則不一定是全有界集。下面的定理給出了一般距離空間中準(zhǔn)緊集與全有界集的關(guān)系。

定理3.4距離空間中的準(zhǔn)緊集是全有界的；若X是完備的，則X中的全有界集也是準(zhǔn)緊的。

由此定理并結(jié)合“距離空間中的全有界集一定是有界集”這一性質(zhì)，我們也就能回答前面所提到的問題，即距離空間中的準(zhǔn)緊集必是有界集。同時(shí)，這一定理還告訴我們在完備的距離空間中，點(diǎn)集的準(zhǔn)緊性與全有界性是等價(jià)的。在定義3.5之前，我們已經(jīng)指出了上節(jié)中定理2.4（致密性定理）其實(shí)表述的是“在實(shí)數(shù)系中有界集必是準(zhǔn)緊集”這一結(jié)論，并且它可以用來等價(jià)刻畫實(shí)數(shù)系的完備性。當(dāng)然，我們從前面的例3.1已經(jīng)知道，一般距離空間中（即使是完備的）的有界集則不一定是準(zhǔn)緊集。那么我們是否可以期望類似于實(shí)數(shù)系的情形，通過在一般距離空間中要求“有界集必是準(zhǔn)緊集”來等價(jià)刻畫該距離空間的完備性呢？答案是否定的。主要原因是在一般距離空間中“有界集必是準(zhǔn)緊集”這一要求太強(qiáng)了，只有很特殊的一些完備距離空間才能滿足，于是我們進(jìn)一步考慮將這一要求適當(dāng)減弱，于是就有如下的定理：

定理3.5距離空間是完備的當(dāng)且僅當(dāng)X中的全有界集必是準(zhǔn)緊的。

這一定理中等價(jià)刻畫距離空間完備性的條件可視為上節(jié)中定理2.4（致密性定理）的結(jié)論在一般距離空間中的推廣。

沿著以上思路，我們最后來探討是否可以在一般距離空間中用類似于上節(jié)中定理2.5 （有限覆蓋定理）的結(jié)論來等價(jià)刻畫其完備性。為此，我們首先要將有限覆蓋定理中用開區(qū)間定義的開覆蓋等概念在一般距離空間中進(jìn)行推廣。

定義3.7設(shè)為距離空間，A為X的子集，是中的某些開集組成的集族。若為A的開覆蓋；若J是有限集，則稱為A的有限開覆蓋；若的某個(gè)子族構(gòu)成A的開覆蓋，則該子族稱為的子覆蓋。

利用該定義，我們可以給出一般距離空間中的緊集的如下等價(jià)刻畫方式：

定理3.6距離空間中的子集A為緊集的充要條件是從A的任一開覆蓋中必可選出一個(gè)有限子覆蓋。

我們在此順帶指出，在拓?fù)鋵W(xué)中的一般拓?fù)淇臻g上正是采用該定理中的充要條件來定義緊集這一概念的。

定理3.7距離空間是完備的當(dāng)且僅當(dāng)X中的全有界閉集必是緊集。

與定理3.6類似，這一定理中等價(jià)刻畫距離空間完備性的條件也可視為上節(jié)中定理2.5（有限覆蓋定理）的結(jié)論在一般距離空間中的推廣。

4 結(jié)束語

在本文中，我們通過嘗試將數(shù)學(xué)分析中刻畫實(shí)數(shù)系完備性的幾個(gè)等價(jià)基本定理平行推廣到泛函分析中一般距離空間上去這一過程來自然地引出其中相關(guān)的眾多抽象的概念和定理，使得學(xué)生易于理解和接受，這樣的教學(xué)方式在我們“泛函分析”課程的教學(xué)實(shí)踐中起到了良好的效果。受此啟發(fā)，我們將來還會不斷嘗試通過挖掘“數(shù)學(xué)分析”和“泛函分析”這兩門課程的更多的內(nèi)在傳承關(guān)系來促進(jìn)“泛函分析”課程的教學(xué)改革與研究。