楊火根，毛小紅

(江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西省 贛州市 341000)

1 引言與研究背景

測(cè)地線是曲面上測(cè)地曲率處處為零的曲線[1]。測(cè)地線有著優(yōu)美的幾何性質(zhì)，在各行各業(yè)有著廣泛的應(yīng)用。如生物醫(yī)學(xué)圖像處理[2-4]、膜結(jié)構(gòu)裁剪分析[5-6]等。

近些年，曲面造型領(lǐng)域涌現(xiàn)出了一大批關(guān)于過測(cè)地線的曲面設(shè)計(jì)研究成果。Wang[7]提出一種以一條曲線為公共測(cè)地線的曲面參數(shù)化設(shè)計(jì)方法，以此實(shí)現(xiàn)曲面重建，并應(yīng)用于鞋帽和服裝制造業(yè)。文獻(xiàn)[8]提出了以一條非均勻B樣條曲線為公共測(cè)地線來構(gòu)造NURBS曲面束。Sánchez[9]采用兩步法，給出了設(shè)計(jì)Bézier曲面插值非相交等參曲線(組)為邊界測(cè)地線的算法。此外還研究了過測(cè)地線的極小曲面設(shè)計(jì)問題，并指出插值測(cè)地圓和螺旋線為測(cè)地線的極小曲面就是懸鏈面和Scherk曲面[10]。Paluszny[11]則利用測(cè)地線的幾何性質(zhì)，并結(jié)合直紋面和可展曲面的特點(diǎn)，給出了過測(cè)地線的插值曲面構(gòu)造的一般結(jié)果。Sprynski等人[12]以兩條等參測(cè)地曲線為曲面邊界線，利用Hermite插值完成曲面重建。壽華好等人[13-14]則提出了一種以B樣條為度量函數(shù)的過一條或多條測(cè)地線的離散曲面構(gòu)造算法。對(duì)于相交曲線，F(xiàn)arouki等人[15]研究了四邊形曲線為某曲面上測(cè)地線的約束條件。在此基礎(chǔ)上，基于Coons超限超值方法分別給出了張量積Bézier曲面、三角B-B曲面插值四邊形和三邊形曲線為曲面邊界測(cè)地線的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[16-17]。然而基于Coons方法構(gòu)造的曲面存在次數(shù)過高、自由參數(shù)對(duì)曲面形狀的影響具有整體性、曲面形狀不易控制等缺點(diǎn)。為此，Yang等人[18-19]基于分步構(gòu)造策略，給出了較低次數(shù)的Bézier和B樣條曲面插值測(cè)地四邊形的曲面優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的網(wǎng)狀測(cè)地線情形，Yang等人[20]給出了存在曲面以多條交于一點(diǎn)的曲線為曲面上測(cè)地線網(wǎng)的一般約束條件。但對(duì)過測(cè)地線網(wǎng)的插值曲面構(gòu)造，特別是多項(xiàng)式曲面的構(gòu)造研究還較少見。因此，本文基于交于一點(diǎn)的曲線網(wǎng)為曲面上測(cè)地線網(wǎng)的一般約束條件，以工程中常用的Bézier曲線為工具，考慮過交于一點(diǎn)的三次Bézier測(cè)地線網(wǎng)的Bézier曲面重構(gòu)問題。

2 三次Bézier曲線網(wǎng)為曲面上測(cè)地線網(wǎng)的約束

2.1 預(yù)備知識(shí)

(1)

設(shè)Ci：[0，1]→R3，i∈Zn={1，2，…n}是n條空間曲線序列構(gòu)成的曲線網(wǎng)，記

(2)

對(duì)曲線網(wǎng)Ci定義三類約束如下:

·副法矢約束:

bi·n=0

(3)

·相交測(cè)地線約束:

(4)

·頂點(diǎn)圍繞約束:

(5)

文獻(xiàn)[20]給出了存在曲面插值該曲線網(wǎng)Ci為曲面上測(cè)地線網(wǎng)的一般性約束條件，即:

由引理1易知，當(dāng)n為偶數(shù)且：

(ⅰ) 所有曲率κi相等時(shí)，頂點(diǎn)圍繞約束(5)自然滿足，相交測(cè)地線約束(4)簡(jiǎn)化為:τi+τj=0。即相鄰曲線的撓率不互為相反數(shù)時(shí)，插值曲面是不存在的。

2.2 過三次Bézier測(cè)地線網(wǎng)插值曲面存在性條件

(1) 副法矢約束

(6)

(2) 相交測(cè)地線約束

令

(7)

其中，

所以

即

(8)

又

(9)

(3) 頂點(diǎn)圍繞約束

(10)

即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，給定的角點(diǎn)信息需滿足整體約束(10)。

3 過測(cè)地線網(wǎng)的組合雙三次Bézier插值曲面優(yōu)化設(shè)計(jì)

在曲線網(wǎng)Ci滿足引理1條件下，本節(jié)考慮插值該曲線網(wǎng)為測(cè)地線網(wǎng)的組合雙三次Bézier曲面優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，給出曲面控制頂點(diǎn)的顯式計(jì)算步驟，記這n張雙三次Bézier曲面為:

(11)

3.1 公共邊界控制頂點(diǎn)

如圖1所示，因曲面Ri(u，v)插值n條曲線網(wǎng)Ci為公共邊界曲線，所以有:

(12)

由式(12)及Bernstein基的線性無關(guān)性，可得曲面Ri(u，v)的公共邊界控制頂點(diǎn)為:

(13)

3.2 鄰接公共邊界控制頂點(diǎn)

由測(cè)地線的幾何性質(zhì)可知，插值曲面沿測(cè)地線Ci(t)的跨界切矢可表示為:

(14)

其中，

根據(jù)跨界切矢計(jì)算插值曲面鄰接邊界線的控制頂點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)P0附近會(huì)產(chǎn)生切矢和扭矢相容問題。

(1)切矢相容

解得

(15)

(2) 扭矢相容

(16)

(17)

(18)

其中，

(19)

其中，

根據(jù)式(14)和(19)，跨界切矢Di(t)可用如下三次Bézier曲線表達(dá):

(20)

其中

(21)

3.3 組合曲面自由控制頂點(diǎn)

(22)

(23)

其中，

3.4 插值曲面優(yōu)化設(shè)計(jì)算法步驟

基于以上分析，構(gòu)造組合雙三次Bézier曲面插值曲線網(wǎng)Ci(i=1，2，…，n)為曲面邊界測(cè)地線網(wǎng)的步驟與如下:

4 計(jì)算實(shí)例與比較

利用3.4節(jié)的算法，本節(jié)給出插值不同條數(shù)測(cè)地線網(wǎng)的曲面構(gòu)造實(shí)例，并與傳統(tǒng)的Coons方法[15-16]作比較。由于本文曲面僅插值兩條相鄰邊及跨界切矢，Coons曲面構(gòu)造格式如下:

Ri(u，v)=R1(u，v)+R2(u，v)-R0(u，v)

(24)

其中，

Hi(t) (i=0，1，2，3)為三次Hermite基。

顯然曲面(24)中跨界切矢Di(t)的自由參數(shù)一旦確定，曲面將唯一確定，即自由參數(shù)對(duì)曲面形狀影響具有全局性。對(duì)比本文提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法，Di(t)的自由參數(shù)僅影響鄰接公共邊界的控制頂點(diǎn)，即自由參數(shù)對(duì)曲面的影響是局部的，曲面的形狀還受其他控制頂點(diǎn)的影響。

圖2，3，4分別給出了測(cè)地線網(wǎng)中曲線條數(shù)n=4，5，6的計(jì)算實(shí)例。(圖中漸變色條的數(shù)值表示曲面高度)

5 結(jié)論

本文分析了存在曲面插值三次Bézier曲線網(wǎng)為曲面的邊界測(cè)地線網(wǎng)的三類約束條件，該約束本質(zhì)上是對(duì)曲線網(wǎng)控制頂點(diǎn)的約束。并提出了一種構(gòu)造組合雙三次Bézier曲面插值該曲線網(wǎng)為曲面上測(cè)地線網(wǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法。與傳統(tǒng)的Coons方法相比，本文采用分步和優(yōu)化計(jì)算控制頂點(diǎn)的策略，使自由參數(shù)對(duì)曲面形狀的影響具有局部性，曲面形狀易控制且具有整體最優(yōu)性。同時(shí)插值曲面表示為標(biāo)準(zhǔn)的張量積Bézier形式，與CAD系統(tǒng)兼容，方便交互操作。該算法可擴(kuò)展到過任意拓?fù)漕愋蜏y(cè)地線網(wǎng)的插值曲面構(gòu)造中去。