辛鵬飛，吳躍民，榮吉利，危清清，劉 賓，劉 鑫

（1. 空間智能機器人系統(tǒng)技術與應用北京市重點實驗室，北京 100094；2. 北京空間飛行器總體設計部，北京 1000941；3. 北京理工大學 宇航學院，北京 100081）

引 言

載人登月是人類深空探測活動中的重要一步，選擇高效、可靠、大收納比的太陽翼能夠為月面著陸器及未來的月球基地提供充足的能源保證[1]，這一直以來是載人登月研究的重點之一。尤其是在月球極區(qū)環(huán)境下，光照條件差，對高效太陽翼的需求更加顯著。而圓形薄膜太陽翼具有結(jié)構緊湊、質(zhì)量輕、功率質(zhì)量比高、低轉(zhuǎn)動慣量、展開剛度高、可重復展收和擴展性好等特點[2]，非常適應用于深空探測。美國國家航空航天局（National Aeronautics and Space Administration，NASA）在新的載人登月路線圖中，公布了搭載圓形薄膜太陽翼的月面探測器構型，效果如圖1所示。

圓形薄膜太陽翼最早由美國AEC-able公司（現(xiàn)為諾格公司）研發(fā)，由移動箱板、固定箱板、展開機構、薄膜分片等組成，如圖2所示，收攏體積小、展開可靠性高。到目前為止，世界上僅美國開展了該領域的深入研究，并成功發(fā)射了多組圓形薄膜太陽翼。太陽翼工程樣機由三角形柔性薄膜分片組成[3]，在2007年發(fā)射的“鳳凰號”（Phoenix）火星著陸器以及2018年發(fā)射的“洞察號”（Insight）火星探測器上均配套了2個直徑為2.1 m的圓形薄膜太陽翼（展開效果如圖3所示）并成功實現(xiàn)了展開應用。從2015年開始，NASA一直在為“天鵝座”-OG5飛船設計配套的圓形薄膜太陽翼。

在薄膜結(jié)構的動力學建模分析方面，許多學者分別基于流固耦合方法[4]、多剛體動力學方法[5]以及能量–動量模型方法[6]對薄膜結(jié)構開展研究，展現(xiàn)出在特殊情況下的充氣薄膜動力學特性。Liu等[7]采用絕對節(jié)點坐標方法對薄膜結(jié)構進行建模，研究了薄膜結(jié)構的褶皺、屈曲等動力學特性，仿真結(jié)果與其他理論研究方法及相關實驗結(jié)果較好吻合。2007年，NASA在圓形薄膜太陽翼實驗中，利用單點激振以及激光測振儀在真空環(huán)境下對半徑為1.6 m的圓形薄膜太陽翼縮比模型進行了模態(tài)測試[4]；之后又利用單點激振以及加速度傳感器對采集的實驗數(shù)據(jù)進行了進一步分析；2013年，NASA利用有限元軟件對圓形薄膜太陽翼進行模態(tài)分析[9]，充分考慮到重力懸吊系統(tǒng)及空氣作用的影響，得到了太陽翼前三階整體模態(tài)。盡管美國對該型薄膜太陽翼進行了大量的理論分析和試驗分析，但測試數(shù)據(jù)、研究成果發(fā)表極少。

圖1 NASA展示的載人登月效果圖Fig. 1 The artist’s rendering NASA released

圖2 圓形薄膜太陽翼構型Fig. 2 Configuration of circular

圖3 “洞察號”上的圓形薄膜太陽翼Fig. 3 Insight’s circular membrane solar array

薄膜結(jié)構在月面低重力環(huán)境下展開復雜，地面試驗難以準確模擬，若采用實際任務測試實驗的方法在成本上難以承受[10]；同時圓形薄膜太陽翼展開動力學試驗較難操作，實驗數(shù)據(jù)獲取困難。因此只有精確地完成月面環(huán)境下圓形薄膜太陽翼結(jié)構的有序展開動力學特性分析，才能有效提高圓形薄膜太陽翼的展開可靠性和展開精度[11]，建模仿真分析工作具有重要的理論意義和實際工程價值。

1 展開動力學建模

1.1 數(shù)值建?；A

本文采用絕對節(jié)點坐標法搭建圓形薄膜太陽翼動力學模型，該方法具有簡潔的動力學方程形式[13]，可以完成對復雜結(jié)構精確的剛?cè)狁詈蟿恿W分析。

一個絕對節(jié)點坐標全參數(shù)梁單元如圖4所示，其單元上任一點的全局位置矢量定義為

其中：rP為任一點P的全局位置矢量；x、y和z是點P的局部坐標；S為單元形函數(shù)。

單元節(jié)點坐標e可以表示為

其中：ri，x表示r對x的偏導數(shù)，依次類推。

由式（2）可知，該單元任一節(jié)點坐標均包含一個位置矢量與3個斜率矢量，共計采用24個廣義坐標來描述。

圖4 基于絕對節(jié)點坐標法的全參數(shù)梁單元Fig. 4 Full parameterization beam element based on ANCF

與此類似，本文采用考慮Kirchhoff假設的絕對節(jié)點坐標矩形縮減薄板單元搭建大面積薄膜結(jié)構數(shù)值模型[14]。如圖5所示，該單元類型略去了板沿厚度方向的變形，即節(jié)點廣義坐標不包含沿厚度方向的梯度向量，以A點為例，該點的節(jié)點廣義坐標為

圖5 縮減絕對節(jié)點坐標矩形薄板單元Fig. 5 Reduced rectangular thin plate element based on ANCF

每個縮減薄板單元包含4個節(jié)點，合計36個節(jié)點自由度，具體形函數(shù)形式等可參考文獻[14]中的相關內(nèi)容。基于以上絕對節(jié)點坐標單元類型，本文中圓形薄膜太陽翼的支撐肋條結(jié)構采用絕對節(jié)點坐標梁單元進行建模，薄膜太陽翼結(jié)構采用縮減絕對節(jié)點坐標薄板單元進行建模，搭建完整結(jié)構的動力學數(shù)值仿真模型，如圖6所示。

圖6 完整結(jié)構動力學仿真模型示意圖Fig. 6 Demonstration of full structure dynamics model

通過第一類拉格朗日方程，可以推導系統(tǒng)方程為

其中：M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣；q為系統(tǒng)廣義坐標；C為系統(tǒng)約束方程；Cq為系統(tǒng)約束方程對廣義坐標的雅克比矩陣；λ為拉格朗日乘子；Q（q）為系統(tǒng)廣義外力矩陣；F（q）為系統(tǒng)彈性力矩陣。本文中，采用廣義alpha方法[15]求解該方程組。

1.2 接觸碰撞檢測算法

在太陽翼展開過程中，薄膜分片間以及薄膜與肋條之間存在復雜的接觸碰撞現(xiàn)象。為了高效檢測薄膜間的接觸碰撞，將整個接觸檢測過程分為兩步執(zhí)行，即全局檢測階段和局部檢測階段[16]。在全局檢測中，基于層次包圍盒思想，構造包圍盒樹狀層次結(jié)構，如圖7所示，快速匹配彼此靠近的四邊形接觸塊，判斷接觸可能性，形成潛在接觸對；在局部檢測中，通過檢測點與四邊形接觸塊之間的接觸，得到點與曲面間接觸的粗略碰撞信息，以此作為初值進行迭代，得到薄膜結(jié)構間的精確碰撞點。

圖7 層次包圍樹結(jié)構示意圖Fig. 7 Demonstration of hierarchical bounding volumes

圖8為兩個可能發(fā)生接觸的絕對節(jié)點坐標薄板單元，通過全局檢測，得到加粗的曲線，表示的2個四邊形接觸塊（潛在測試對）在彼此靠近。

此時需要在絕對節(jié)點坐標單元2上找到一點Q，使得接觸塊a上的接觸點P到Q的距離為點P到單元2的最短距離，一次判斷具體接觸情況。設Q在單元2上的局部坐標為（ξQ，ηQ），若點Q為單元2內(nèi)一點，則有

其中：S為薄膜單元的形函數(shù)；rP為P點的全局位置矢量；e2為單元2的廣義坐標。

圖8 局部檢測示意圖Fig. 8 Demonstration of local detection

略去高階小量后，式（5）可以快速求解單元間的最短距離，進而獲得接觸點及接觸力信息[17]。

2 關節(jié)展開軌跡規(guī)劃

2.1 關節(jié)空間軌跡規(guī)劃定義

圓形薄膜太陽翼結(jié)構的展開機構僅有一個自由度，定義電機驅(qū)動軌跡函數(shù)，實際上就是定義了圓形薄膜太陽翼的展開軌跡。

通常稱電機函數(shù)設計空間為關節(jié)空間。一般地，在起點到終點的運動過程中，由靜止狀態(tài)開始，在規(guī)定的運動時間內(nèi)運動到目標位置后保持靜止。

為了更好、更靈活地控制軌跡曲線，本文采用貝塞爾（Bézier）曲線作為電機驅(qū)動函數(shù)，貝塞爾曲線是能夠描述復雜形狀的一種曲線，現(xiàn)在已成為計算機圖形學相當重要的參數(shù)曲線，在計算機輔助設計（Computer Aided Design，CAD）領域廣泛應用[18]。選擇貝塞爾曲線進行軌跡規(guī)劃有以下優(yōu)點：

1）軌跡能夠滿足運動學約束，軌跡、速度和加速度連續(xù)；

2）軌跡方便可調(diào)，且不影響上述準則。

貝塞爾曲線由數(shù)據(jù)點和控制點兩部分組成，數(shù)據(jù)點控制曲線的起點和終點，控制點控制曲線軌跡的彎曲程度。一般地，數(shù)據(jù)點和控制點也統(tǒng)稱為控制點。假設曲線為n次曲線，則控制點數(shù)量為n+1，控制點編號為Pi（i= 0，1，···，n），其中：P0為曲線起點；直線P0P1為起點切線方向；Pn為曲線終點；直線Pn-1Pn為終點切線方向。除首尾控制點外，其他控制點通常不在曲線上。

因此，定義空間n+1點的位置Pi，則n+1階（即n次）貝塞爾曲線的描述為

其中：Bi,n（u）是n次Bernstein基函數(shù)，且滿足

其中i= 0，1，2，···，n。

根據(jù)式（6）定義，期望初始及終止時刻關節(jié)速度均為零，需要貝塞爾曲線的前兩個控制點重合，后兩個控制點重合，以使得兩個位置上的斜率均為零，即速度為零。另外還需要至少兩個控制點控制曲線的彎曲程度，本文中采用的軌跡規(guī)劃函數(shù)為五次貝塞爾函數(shù)（共6個控制點），即電機的驅(qū)動函數(shù)。根據(jù)上述仿真條件，得到的電機驅(qū)動轉(zhuǎn)角隨時間變化曲線如圖9所示。

圖9 貝塞爾曲線轉(zhuǎn)角軌跡Fig. 9 Rotation trajectory based on Bézier curve

2.2 關節(jié)驅(qū)動展開數(shù)值仿真

電機驅(qū)動展開圓形薄膜太陽翼的數(shù)值仿真條件設置為：初始狀態(tài)為時間零點、轉(zhuǎn)角值為零度；在本算例中，為凸顯結(jié)構展開的振動效果，運動規(guī)劃時間和仿真總時間均設置較小，分別設為10 s和15 s，后5 s的時間用于考察殘余振動效果；終止狀態(tài)為時間結(jié)束、轉(zhuǎn)角值為2π（完全展開）；轉(zhuǎn)角中π出現(xiàn)的時刻為5 s時刻。

圓形薄膜仿真模型主要參考美國“鳳凰號”（Phoenix）太陽翼測試樣機數(shù)據(jù)。系統(tǒng)內(nèi)剛體包括箱板結(jié)構、短粗連接件機構等，數(shù)量為30，柔性肋條數(shù)目為9，彈性模量為70 GPA，泊松比為0.33，每根肋條長度為1.05 m，均劃分為45個絕對節(jié)點坐標梁單元；薄膜分片數(shù)量為10，每個分片薄膜共包含126個縮減絕對節(jié)點坐標薄板單元。系統(tǒng)總單元個數(shù)為1 695，廣義坐標數(shù)量為55 440。

NASA選用了聚酰亞胺Kapton作為特種薄膜材料。該材料具有優(yōu)良的化學穩(wěn)定性、耐高溫性、堅韌性、耐磨性、阻燃性、電絕緣性等，目前廣泛應用于航空航天器領域，其基本材料參數(shù)如表1所示。

表1 薄膜材料參數(shù)Table 1 Parameters of membrane material

為了評估所采用的貝塞爾函數(shù)方法在軌跡規(guī)劃效果以及殘余振動抑制方面的作用，采用工程中常用的Sine軌跡函數(shù)作為電機驅(qū)動軌跡，進行展開控制對比分析。

在數(shù)值仿真分析中，分析結(jié)果考察柔性中間肋條在大范圍運動中的轉(zhuǎn)動軌跡誤差，軌跡誤差φ定義如圖10所示，為肋條實際構型末端點切線與預定構型的夾角。

圖10 誤差轉(zhuǎn)角定義Fig. 10 Definition of rotation angle error

圖11為柔性中間肋條末端偏離預定軌跡的誤差曲線，圖12為單獨提取的10 ～ 15 s殘余振動誤差曲線。從圖11～12中觀察得到以下結(jié)論：所提出的五次貝塞爾函數(shù)轉(zhuǎn)動規(guī)劃軌跡在初始階段和終止階段均較為平緩，對電機驅(qū)動的要求低，適合工程應用；在軌跡運動過程中，貝塞爾曲線控制下的肋條振動較大；但在殘余振動過程中，Sine軌跡函數(shù)控制的殘余振動關節(jié)角誤差幅值最大為0.026 rad，而貝塞爾軌跡誤差幅值最大為0.006 rad，誤差比例為1∶0.23，即在殘余振動過程中，貝塞爾曲線規(guī)劃函數(shù)能有效地降低殘余振動，控制軌跡誤差。

圖11 中間肋條軌跡誤差曲線Fig. 11 Curves of trajectory error of middle ribs

圖12 中間肋條殘余振動誤差對比Fig. 12 Comparison of residual vibration error of middle ribs

2.3 貝塞爾曲線優(yōu)化設計

貝塞爾曲線還可以通過局部調(diào)整控制點的位置來調(diào)整曲線局部的特征。經(jīng)不斷調(diào)整，在僅調(diào)節(jié)中間兩個控制點的情況下，圖13為控制點調(diào)整后的貝塞爾曲線圖?？梢钥闯鲈谄鹗己徒K止時刻，曲線更加平緩，這意味著這兩段時刻，電機轉(zhuǎn)動角速度更小，對工程應用更加友好。

圖14為關節(jié)角誤差結(jié)果顯示曲線，可以得到以下結(jié)論：調(diào)整后的貝塞爾曲線在運動過程中的軌跡跟蹤誤差方面表現(xiàn)不佳，最大關節(jié)角誤差由0.098 rad增加到0.107 rad，變化9.18%。圖15為殘余振動階段關節(jié)角誤差結(jié)果顯示曲線，調(diào)整后的貝塞爾曲線在殘余振動階段抑制殘余振動方面有所提升，最大關節(jié)角振動幅值由0.006 rad進一步降低到0.005 3 rad，變化11.67%。結(jié)果從幅值來看降低幅度不大，效果并不明顯；調(diào)整貝塞爾曲線的控制點對殘余振動抑制方面影響不大，通常還伴隨著運動過程中關節(jié)角誤差增大。

圖13 貝塞爾曲線調(diào)整Fig. 13 Adjustment of Bezier curve

圖14 中間肋條軌跡誤差曲線Fig. 14 Curves of trajectory error of middle ribs

圖15 中間肋條殘余振動誤差對比Fig. 15 Comparison of residual vibration error of middle ribs

單獨采用五次貝塞爾曲線規(guī)劃函數(shù)驅(qū)動圓形薄膜太陽翼結(jié)構實際展開，數(shù)值仿真結(jié)果表明該軌跡規(guī)劃函數(shù)能夠提高柔性肋條末端軌跡的運動精度，降低柔性振動幅值，使得結(jié)構展開過程更為可控和精準。但由于函數(shù)本身的特點以及結(jié)構柔性的存在，運動過程中實際軌跡與規(guī)劃軌跡之間的誤差較大。單獨優(yōu)化貝塞爾曲線本身對運動過程跟蹤和殘余振動抑制作用不大。

3 前饋–反饋聯(lián)合展開控制

3.1 前饋–反饋聯(lián)合展開控制算法

軌跡跟蹤控制研究一般需要軌跡規(guī)劃方法與控制算法相結(jié)合進行處理[19]。而在現(xiàn)有的軌跡跟蹤控制理論中，應用最廣泛的兩類控制方法分別是前饋控制和反饋控制，這兩種控制方法都有一定的優(yōu)點，同時也伴隨著一定的缺點。

在此基礎上，本文采用前饋–反饋聯(lián)合控制方法對圓形薄膜太陽翼結(jié)構進行展開控制研究。針對基于絕對節(jié)點坐標方法建立的數(shù)值仿真模型，首先求解得到驅(qū)動約束對應的約束反力/力矩，即為所需要的前饋力/力矩。而反饋控制采用工程中常用的PID（Proportion Integral Derivative）控制方法，易于實現(xiàn)，且對系統(tǒng)模型精確度要求不高。

文獻[20]中推導的關節(jié)轉(zhuǎn)動副前饋力/力矩公式形式簡單，計算方便，不僅適用于轉(zhuǎn)動關節(jié)，也適用于其他驅(qū)動關節(jié)的求解。關節(jié)轉(zhuǎn)動軸ξ方向即為力矩方向，力矩大小為

式（8）的推導方法也能推廣至其他約束形式對應的前饋力/力矩的求解。

為了得到光滑的前饋力/力矩從而避免引起系統(tǒng)過大的振動，Liu等[20]進行了深入研究，結(jié)果表明，高彈性模量的模型本質(zhì)上更接近于多剛體模型，以高頻振動為主，因此建議采用多剛體模型的前饋力/力矩。本文所研究的圓形薄膜太陽翼結(jié)構柔性肋條及箱板均屬于高彈性模量材料，采用上述結(jié)論，利用剛體模型進行逆動力學分析，從而得到前饋力/力矩。反饋控制方法采用工程上容易實現(xiàn)、效果良好的PID控制方法。前饋–反饋聯(lián)合控制方法的方框圖如圖16所示。

圖16 前饋–反饋聯(lián)合控制方法流程Fig. 16 Flow chart of forward-feedback joint control

基于以上所述的前饋力/力矩和PID控制策略，前饋–反饋聯(lián)合控制方法在驅(qū)動關節(jié)處施加的力/力矩大小為

其中：Tf為計算的前饋力/力矩；θp和θ分別是規(guī)劃的轉(zhuǎn)角軌跡和實際的轉(zhuǎn)角軌跡；Kp、Ki、Kd分別為PID反饋增益。

3.2 前饋–反饋聯(lián)合展開控制算例

圓形薄膜太陽翼結(jié)構幾何參數(shù)和材料參數(shù)同樣如前文所示，關節(jié)轉(zhuǎn)動副的結(jié)構參數(shù)與幾何參數(shù)如表2所示，所述的關節(jié)均為單自由度、繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的關節(jié)，齒輪副中的固定齒輪和關節(jié)的軸瓦固結(jié)，軸瓦、固定齒輪與固定箱板均固結(jié)于初始位置。

表2 關節(jié)轉(zhuǎn)動副幾何及材料參數(shù)Table 2 Geometric and material parameters of joint

關節(jié)轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)角規(guī)劃函數(shù)如公式相同。Kp、Ki、Kd分別取值為0.465、16.3、4.03。為了對比分析前饋–反饋聯(lián)合控制方法的控制精度問題，另外分別采用僅前饋控制、僅PID反饋控制對圓形薄膜太陽翼結(jié)構展開過程進行控制對比研究。

基于搭建的動力學仿真數(shù)值模型，進行月面重力環(huán)境下的圓形薄膜展開過程動力學分析。求解得到圓形薄膜展開過程構型如所示，結(jié)果表明，采用的展開控制策略能夠驅(qū)動結(jié)構有序展開。展開過程構型如圖17所示。

圖17 月球重力工況展開過程示意圖Fig. 17 Deployment under micro-gravity atmosphere

圖18～19結(jié)果曲線顯示：①3種控制策略都能有效跟蹤關節(jié)轉(zhuǎn)動的預定軌跡，但控制精度有所差別，聯(lián)合控制策略控制精度在展開開始時誤差較大，但之后迅速降低，精度高、衰減快；②僅采用前饋控制的情況下，實際軌跡存在振蕩情況，并沒有穩(wěn)定，誤差與不施加任何控制方式的結(jié)果基本相同；③采用PID反饋控制需要多次試驗才能得到合適的反饋增益，展開控制精度相對較高；④而前饋–反饋聯(lián)合控制方法對增益系數(shù)并不敏感，少量試驗后即可得到較好的控制效果；⑤在殘余振動階段，采用前饋–反饋聯(lián)合控制方法得到的控制誤差幾乎為零，顯示了該方法在殘余振動階段具有顯著的抑振作用。

圖18 軌跡跟蹤關節(jié)角誤差Fig. 18 Curves of trajectory tracking errors

圖19 殘余振動關節(jié)角誤差對比Fig. 19 Comparison of residual vibration error

太陽翼驅(qū)動展開過程中，面向展開過程的控制精度和殘余振動的抑制能力等任務需求，可以采用前饋–反饋聯(lián)合控制方法配合電機軌跡規(guī)劃函數(shù)，能夠經(jīng)過少量仿真試驗得到較好的控制參數(shù)，展開過程和殘余振動階段都獲得較好的控制精度。

獲得的電機驅(qū)動力矩如圖20所示，隨著結(jié)構展開，電機的驅(qū)動力矩也逐漸增大，最大值達到287 N·m。完全展開太陽翼結(jié)構后，驅(qū)動力矩迅速降低，直至為零。

圖20 電機驅(qū)動力矩時間歷程曲線Fig. 20 Times history of motor drive torque

4 結(jié) 論

對于圓形薄膜太陽翼結(jié)力學仿真分析困難、薄膜展開過程復雜的問題，本文利用絕對節(jié)點坐標方法搭建了NASA樣機尺寸的圓形薄膜太陽翼動力學數(shù)值分析模型，基于貝塞爾曲線對關節(jié)空間軌跡進行規(guī)劃，并結(jié)合前饋–反饋聯(lián)合控制策略進行了結(jié)構展開動力學數(shù)值仿真分析。仿真結(jié)果表明：該展開驅(qū)動策略能夠高精度、有序、穩(wěn)定地展開圓形薄膜太陽翼結(jié)構，并對殘余振動具有顯著地抑制作用；展開驅(qū)動力矩最大值為287 N·m；薄膜運動復雜，張緊–回彈現(xiàn)象明顯，最終隨結(jié)構展開而趨于穩(wěn)定。