楊云仙,梁衛(wèi)文

(深圳技師學(xué)院 信息與通信學(xué)院，廣東 深圳，518000)

壓縮感知理論自從2006年問世以來[1，2]，引起了全世界學(xué)者的極大關(guān)注。其打破了傳統(tǒng)的對模擬信號幅值進(jìn)行等間隔逐點(diǎn)采樣的方法，將對信號的采樣變成了對信息的采樣，突破了奈奎斯特采樣定理所要求的最低采樣頻率下界，使得人們可以用極低的采樣頻率對模擬信號進(jìn)行采樣。并且，壓縮感知理論表明，當(dāng)信號具有K稀疏性時(shí)，原信號可以通過測量值以高概率精確恢復(fù)。該理論的出現(xiàn)無論對于理論研究還是實(shí)踐應(yīng)用都具有極大的吸引力。例如，對于目前常用的數(shù)碼相機(jī)，像素值動(dòng)輒達(dá)到上千兆，然而實(shí)際更多使用的是經(jīng)過JPEG壓縮之后的圖片。這種對模擬信號進(jìn)行過采樣，再使用壓縮算法進(jìn)行壓縮以丟棄冗余采樣點(diǎn)的采樣方式極大地浪費(fèi)了硬件及軟件資源，為信號的存儲、傳輸帶來極大的不便。

壓縮感知理論的出現(xiàn)，為上述問題的解決提供了一條有效的途徑。然而，對于自然世界中的信號而言，一般是不滿足稀疏性這個(gè)壓縮感知理論應(yīng)用的大前提的，若原始信號不稀疏或在某一正交基下也不稀疏，則利用壓縮感知理論對信號進(jìn)行測量后恢復(fù)出來的信號與原信號誤差較大，這使得壓縮感知理論的應(yīng)用受到了極大的限制。對于此，文獻(xiàn)[3]、[4]針對信號的稀疏表示提出了一些解決算法，從而提升壓縮感知算法的恢復(fù)效果。另外，文獻(xiàn)[5]中根據(jù)小波變換高頻系數(shù)和低頻稀疏的特性提出了基于單層小波變換的壓縮感知算法，較大地提升了壓縮感知對圖像的恢復(fù)質(zhì)量。本文在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將基于單層小波變換的壓縮感知算法改進(jìn)為混合模式的壓縮感知算法，使得算法具有更好的靈活性及實(shí)用性。最后，還將對小波分解層次、測量值數(shù)量的選取進(jìn)行詳盡的實(shí)驗(yàn)分析，為進(jìn)一步的工程實(shí)踐應(yīng)用提供可靠的依據(jù)。

1 壓縮感知理論簡介

設(shè)x∈R×1為一維信號，ψ={ψ1,…,ψN}為一組正交基，則x可由ψ線性表出，即

(1)

其中αk=

由(1)式可知，若信號不稀疏，其經(jīng)過正交變換后，可以得到稀疏的系數(shù)，這即滿足了壓縮感知理論所需的前提，我們可以利用測量矩陣對稀疏系數(shù)進(jìn)行測量，得到測量值(采樣值)，然后對測量值進(jìn)行熵編碼以便于數(shù)據(jù)的存儲及傳輸。在解碼時(shí)，只需對編碼值進(jìn)行熵解碼，然后根據(jù)壓縮感知的理論，利用凸優(yōu)化算法即可得到系數(shù)的稀疏逼近，再利用正交逆變換重構(gòu)原信號。設(shè)Φ={φ1，…，φN}為一M×N，M?N的測量矩陣，則對于稀疏的系數(shù)進(jìn)行測量可得到M個(gè)測量值，即：

y=φα=φψHX

(2)

由此可以看到，壓縮感知將N維信號x降維為M維信號y。由于式(2)中未知數(shù)的個(gè)數(shù)N大于方程個(gè)數(shù)M，因此若直接求解式(2)來重構(gòu)信號x不能得到確切解。但系數(shù)α是K稀疏的，即至多有K個(gè)非零系數(shù)，且K

min‖α‖l0,s.t.φα=y

(3)

而l0范數(shù)的求解是個(gè)NP-hard問題，因此可以將問題轉(zhuǎn)換為[10]：

min‖α‖l1,s.t.φα=y

(4)

對于式(4)中l(wèi)1最小范數(shù)下的最優(yōu)化問題，目前的求解算法有匹配追蹤法[6]、正交匹配追蹤法(OMP)[7]，梯度投影法(GP)[8]、鏈?zhǔn)阶粉櫡╗9]等。

2 基于混合測量模式的壓縮感知算法

在文獻(xiàn)[5]中，由于圖像進(jìn)行小波變換后，低頻系數(shù)不稀疏，高頻系數(shù)稀疏，若對全部的低頻和高頻系數(shù)利用測量矩陣Φ一起進(jìn)行測量，則由于低頻稀疏的不稀疏性會導(dǎo)致壓縮感知重構(gòu)效果較差，因此需要盡可能增大對圖像的小波變換層數(shù)。這一方面帶來了運(yùn)算量的增大，另一方面，即使是使用了最大的小波分解層數(shù)，壓縮感知重構(gòu)的圖像質(zhì)量也不能滿足實(shí)際的需要。由于低頻系數(shù)是原圖像的逼近，其在小波重構(gòu)中具有重要的作用，因此[5]中僅對圖像進(jìn)行一層小波變換，且僅對高頻小波系數(shù)進(jìn)行測量，而保持低頻系數(shù)不變，從而提升圖像重構(gòu)質(zhì)量。這便存在一個(gè)問題，即該方法會極大地限制了壓縮感知算法對高維信號的降維作用，例如，對于一個(gè)256×256的圖像，其經(jīng)過一層小波變換后，得到{LH1, HL1, HH1, LL1}四個(gè)小波子帶系數(shù)，LL1為低頻子帶，其大小為64×64，因此，測量值M必然要滿足M>64×64，即對原圖像的壓縮率至多為1/4。若對于一維信號采用此方法，則壓縮率至多為1/2。因此，在本文中，將單層小波分解進(jìn)一步拓展為多層小波分解，結(jié)合文獻(xiàn)[6]中保留低頻系數(shù)的思想，使得測量值M的選取具有更大的靈活性，在保證一定的信號重構(gòu)質(zhì)量的同時(shí)進(jìn)一步增大壓縮率。

我們改進(jìn)的混合模式的壓縮感知算法思想為：首先對原信號進(jìn)行J層小波變換，得到各層高頻系數(shù)及第J層低頻系數(shù){aJ,dJ,dJ-1,…,d1}，其中aJ為第J層低頻系數(shù)，dj，1≤j≤J為j第層高頻系數(shù)。由于低頻子帶系數(shù)對于信號的小波重構(gòu)起到了很重要的作用，因此對低頻子帶系數(shù)不進(jìn)行測量，以避免由于壓縮感知算法而帶來的誤差；對于{dJ,dJ-1,…,d1}，利用測量矩陣進(jìn)行測量。這樣對低頻不測量僅對各層高頻進(jìn)行測量的混合測量模式能進(jìn)一步增大壓縮感知算法對信號的壓縮率，且由于保持了低頻系數(shù)不變，與經(jīng)典的壓縮感知算法相比，重構(gòu)信號質(zhì)量也能得到有效提升。對一維信號而言，算法具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1， 對N(N=2L)點(diǎn)信號x進(jìn)行J層小波變換，得到各層高頻系數(shù)及第J層低頻系數(shù){aJ,dJ,dJ-1,…,d1}，則aJ有2L-J個(gè)低頻系數(shù)點(diǎn)，各層高頻系數(shù)共有N-2L-J個(gè)系數(shù)點(diǎn)。

步驟2，選擇合適的M值，構(gòu)造M×N-2L-J大小的服從(0,1/N)高斯分布的測量矩陣Φ對{dJ,dJ-1,…,d1}進(jìn)行測量，得到M×1的測量值向量y。低頻子aJ帶系數(shù)則保持不變。

3 仿真結(jié)果

從圖1可以看出，當(dāng)小波分解層次大于等于2層以后，本文算法對各個(gè)信號的重構(gòu)質(zhì)量基本相同，但是這樣可以使得測量值M取小于原信號長度的一半以下，增大了壓縮感知算法對信號的壓縮率。通常，小波分解層次取為4～6層即可。圖2給出了當(dāng)小波分解層次為5層時(shí)，隨著測量值M的增大，各個(gè)信號重構(gòu)的SNR圖，小波函數(shù)同樣使用sym8小波。此處為了敘述方便，對于本文提出的基于混合測量模式的壓縮感知算法而言，M值指的是原信號經(jīng)過J層小波分解后第J層低頻系數(shù)個(gè)數(shù)及對各層高頻系數(shù)測量值個(gè)數(shù)之和。圖1和圖2中明顯看出，由于實(shí)測地震信號非常復(fù)雜，其經(jīng)過小波變換后稀疏度較差，重構(gòu)信號的質(zhì)量較差。

圖1 不同信號在不同小波分解層次下使用本文算法得到的重構(gòu)信號SNR，M=1024

圖2 不同信號在不同測量值點(diǎn)數(shù)下使用本文算法得到的重構(gòu)信號SNR

圖3 不同信號在不同小波分解層次下使用經(jīng)典壓縮感知法得到的重構(gòu)信號SNR，M=1024

圖4 不同信號在不同測量值點(diǎn)數(shù)下使用經(jīng)典壓感知算法得到的重構(gòu)信號SNR

為了便于比較，我們還給出了經(jīng)典基于小波變換的壓縮感知算法對此5種信號的仿真比較圖。在經(jīng)典的壓縮感知算法中，對原信號進(jìn)行J層小波分解，然后對包括低頻系數(shù)在內(nèi)的所有小波系數(shù)利用測量矩陣進(jìn)行測量，得到M個(gè)測量值點(diǎn)，最后再利用凸優(yōu)化算法恢復(fù)。其中小波函數(shù)仍然選用sym8小波，圖3給出了不同的小波分解層次下各個(gè)信號的重構(gòu)SNR，其中測量值點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn)?？梢钥闯?，當(dāng)分解層次大于等于4層以后，重構(gòu)信號SNR基本保持不變。當(dāng)分解層次為5層時(shí)，在不同的測量值點(diǎn)數(shù)下，5個(gè)信號的重構(gòu)信號SNR如圖4所示。

比較圖1和圖3可以看出，當(dāng)小波分解層次大于等于5層之后，本文算法與經(jīng)典的壓縮感知算法重構(gòu)信號質(zhì)量差別不大，這是因?yàn)閷τ?048個(gè)點(diǎn)的原信號，若進(jìn)行5層分解，則第5層的低頻系數(shù)只有64個(gè)，而5層高頻系數(shù)共有1984個(gè)點(diǎn)，低頻系數(shù)個(gè)數(shù)已經(jīng)遠(yuǎn)小于高頻系數(shù)個(gè)數(shù)，因此本文算法中保留低頻系數(shù)的方法不會對SNR有很大的提高。但是在分解層次小于等于4層時(shí)，由圖1和3可以看到，本文算法重構(gòu)信號質(zhì)量與經(jīng)典壓縮感知算法相比有很大的提高。

對于圖2和圖4，可以看到，當(dāng)測量值點(diǎn)數(shù)M較小時(shí)，例如M<500時(shí)，由于本文算法保留了低頻系數(shù)，對于重構(gòu)信號起到了很重要的作用，避免了由于隨機(jī)矩陣測量和凸優(yōu)化算法帶來的重構(gòu)誤差，因此重構(gòu)信號質(zhì)量大大優(yōu)于經(jīng)典壓縮感知算法。當(dāng)M值較大時(shí)，使用經(jīng)典壓縮感知算法也能較好的獲取原信號的信息，因此信號重構(gòu)質(zhì)量與本文算法相當(dāng)。

圖4給出了在地震信號在小波分解層次為3層、M=1400情況下重構(gòu)的地震信號與原始信號的比較圖。圖5給出了同樣條件下doppler信號的時(shí)域比較圖，可以看出，對于doppler信號，已經(jīng)幾乎完全恢復(fù)了原信號。

(a)利用本文算法對實(shí)測地震信號重構(gòu)結(jié)果

(b) 圖3(a)中400～600點(diǎn)放大圖

圖6 利用本文算法對Doppler信號重構(gòu)結(jié)果與原信號比較

4 結(jié)語

本文提出了基于混合測量模式的壓縮感知算法，利用本文算法，可以克服文獻(xiàn)[5]中對于測量值點(diǎn)數(shù)的限制，使得算法更具有實(shí)用性。并且，將經(jīng)典的壓縮感知算法結(jié)合[5]中保留低頻系數(shù)的思想，得到了本文提出的混合測量模式，即對最大低頻層系數(shù)保持不變，只對各層高頻系數(shù)進(jìn)行測量，從而提高壓縮感知算法的壓縮比及重構(gòu)質(zhì)量。最后對算法進(jìn)行了詳細(xì)的仿真，仿真結(jié)果表明本文算法可以較好地對信號進(jìn)行壓縮采樣，且能獲得較好的信號恢復(fù)質(zhì)量。