◎ 孫 虎

一、引言

教學設(shè)計是教師進行課堂教學的必要準備，也是提高教學質(zhì)量的重要方式之一。對于數(shù)學學科，通過單元教學設(shè)計可以讓單元教學更加系統(tǒng)化、科學化；通過對課程目標的細化，對教學環(huán)節(jié)的設(shè)計，可以有效縮減課程實施過程中產(chǎn)生的落差；通過對學習者的分析，可以進一步在教學組織、認知方式以及活動方式等角度完善課堂教學，使基于學生學的數(shù)學教學與學習過程效率更高。

本文以滬教版《數(shù)學》六年級第二學期第五章“有理數(shù)”的單元教學設(shè)計為例，從數(shù)系發(fā)展的角度闡述學生對數(shù)的發(fā)展性認識、對數(shù)學符號蘊含意義的了解以及在解決問題過程中如何培養(yǎng)學生的運算素養(yǎng)。

二、指向培養(yǎng)運算素養(yǎng)的單元教學設(shè)計

單元教學設(shè)計的基本環(huán)節(jié)一般包括單元教學要素分析和教學目標的確定兩個環(huán)節(jié)。

（一）單元教學要素分析

對單元教學要素進行分析是厘清所涉及單元知識以及與單元知識相關(guān)的課程標準、教學基本要求、教材體系、學情、重難點、所用教學方法等內(nèi)容的必要環(huán)節(jié)。

1.數(shù)學知識分析

從數(shù)系發(fā)展的角度看，學生已經(jīng)在小學階段對負數(shù)有所了解，在六年級第一學期也已經(jīng)對“分數(shù)”進行深入學習。本章在進一步厘清有理數(shù)分類的基礎(chǔ)上，引入數(shù)軸、絕對值、乘方以及科學計數(shù)法等內(nèi)容，在讓學生認識運算符號的意義、掌握有理數(shù)的混合運算法則的基礎(chǔ)上，體會在數(shù)系的發(fā)展歷程中對較大數(shù)進行簡潔性表示的必要性。通過對有理數(shù)分類的系統(tǒng)歸納，讓學生體會自然數(shù)中的四則運算在有理數(shù)范圍內(nèi)就可以暢通無阻，除了為進一步學習數(shù)、式、方程等知識打下基礎(chǔ)，也為學生在后續(xù)學習數(shù)系的擴充（包括七年級的實數(shù)、高中階段的無理數(shù)）打下基礎(chǔ)。

2. 課程標準分析

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）提出，在數(shù)學課程中，應(yīng)當注重發(fā)展學生的十個核心概念，［1］其中數(shù)感、符號意識、運算能力、推理能力等都在“有理數(shù)”單元有較多體現(xiàn)，而這些能力都是運算素養(yǎng)的具體表現(xiàn)。例如，建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系；建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式。

3.教材體系分析

滬教版教材中“有理數(shù)”單元分為“有理數(shù)”和“有理數(shù)的運算”兩大節(jié)，共10小節(jié)，章節(jié)后附加活動設(shè)計。其中有理數(shù)的意義、數(shù)軸以及絕對值3小節(jié)可以看作是根據(jù)數(shù)（系）的發(fā)展需要而延伸的新內(nèi)容；有理數(shù)的加、減、乘、除以及混合運算5小節(jié)可以看作是數(shù)的運算需要而提供的學習內(nèi)容；有理數(shù)的乘方、科學計數(shù)法2小節(jié)則兼具數(shù)（系）發(fā)展以及為了科學、便捷表示數(shù)而產(chǎn)生以及參與運算的特點；章節(jié)后的活動以及閱讀材料則是對有理數(shù)的綜合運用。本單元的具體內(nèi)容概括見表1。

表1 “有理數(shù)”單元體系

4. 學情分析

六年級學生雖然已經(jīng)學習了整數(shù)和分數(shù)的知識，但是他們的運算能力依然較弱，仍處于從具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡時期，因而這種思維發(fā)展水平還不足以容易理解具有多重身份的事物，學生在運用數(shù)學知識解決實際問題和自己提出問題等方面的意識和能力均很薄弱。［2］這一階段的學生在數(shù)的意義的理解方面表現(xiàn)最好，運算意義的理解表現(xiàn)次之，其次為恰當策略（如估算、分解和重組數(shù)字等）的運用，再次是對數(shù)與數(shù)之間多種關(guān)系的理解，而基準量的運用是學生最為薄弱的方面。［3］

5. 重難點分析

《上海市初中數(shù)學學科教學基本要求（試驗本）》提出，通過本章的學習，要懂得有理數(shù)和絕對值的概念；懂得數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應(yīng)關(guān)系；懂得用科學計數(shù)法表示一個數(shù)；掌握比較有理數(shù)大小的方法；掌握有理數(shù)的加減、乘除、乘方等運算。［4］從數(shù)學自身發(fā)展角度來看，數(shù)系從自然數(shù)擴充到有理數(shù)后，需要研究自然數(shù)中的運算法則在有理數(shù)中是否依然適用。符號“-”擁有了包括運算“減”、性質(zhì)“負號”以及“相反”等多重意義，絕對值符號“∣∣”也被賦予了“距離”的意義，而學生對絕對值的非負性以及與數(shù)軸上的位置關(guān)系的認知缺陷也常導(dǎo)致在運算過程中出錯。同時，對“負負得正”這一運算法則的理解也是這一章節(jié)的難點。

基于上述分析，本單元的難點按照呈現(xiàn)順序可以歸納為：①對負數(shù)概念的理解，既要依靠情境的具體運算，又要脫離情境達到演繹層次；②對絕對值意義的理解，了解其表示“距離”等意義，并能夠在數(shù)軸上正確標示出所在位置；③對有理數(shù)運算法則，特別是加法和乘法的理解。

6. 教學方法分析

本單元的教學方式應(yīng)該注重實際問題情境的設(shè)計，引導(dǎo)學生充分理解負號“-”、絕對值“∣∣”等符號的意義與性質(zhì)，充分把握四則運算的本質(zhì)特征。同時鼓勵學生自己解決問題、引導(dǎo)學生充分表達對符號以及運算的認識，借此為學生提供更多獨立思考、自主探究的機會，這樣在以后遇到新符號及新運算時就可以用已有方法解決問題，這將有利于增強學生的理解力和知識的遷移應(yīng)用能力。

（二）教學目標的確定

基于以上分析，本單元的教學目標最終確定如下。

（1） 理解有理數(shù)、相反數(shù)和絕對值的概念。

（2）會用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，完善有理數(shù)大小的比較方法，體會數(shù)形結(jié)合的思想。

（3）經(jīng)歷確立有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運算法則的過程，掌握有理數(shù)加、減、乘、除的運算發(fā)展和運算律以及有理數(shù)乘方的概念和運算法則，會用科學計數(shù)法表示較大的數(shù)。

（4）能夠正確、合理地運用有理數(shù)的運算法則和運算律進行運算，會用計算器解決較為繁難的問題。

（5）在學習探索的過程中，增強相互合作的意識，提高運用數(shù)學語言進行表達與交流的能力，養(yǎng)成良好的學習習慣。

（三）教學活動設(shè)計舉例

1.教學設(shè)計——促進絕對值幾何意義理解的“點與點之間的距離表示”

絕對值是有理數(shù)學習階段的一個重要的知識點。在教學過程中，教師可以引導(dǎo)學生借助數(shù)軸對絕對值的意義進行理解，同時滲透數(shù)形結(jié)合的思想。合理的教學設(shè)計可以讓學生準確認識絕對值的內(nèi)涵與本質(zhì)。

我們知道，絕對值可以看成是數(shù)軸上的一個點到原點的距離，如圖2所示，∣a∣可以表示動點A到原點的距離，當點A在原點左側(cè)時，∣a∣= - a；當點A不在原點左側(cè)時，∣a∣= a。按照這樣的理解，動點A與定點B（表示1的點）的長度可以表示為∣a -1∣或者∣1- a∣，當AB的長度為3時，可以列出等式∣a -1∣=3或者∣1- a∣=3。同理，動點A與任意定點（表示m的點）的長度則可以表示為∣a - m∣或者∣m - a∣。

圖 2 關(guān)于絕對值的示例

有了上述理解，∣a -1∣就可以看成數(shù)軸上表示數(shù)a的點到表示數(shù)1的點的距離，∣a -m∣就可以看成數(shù)軸上表示數(shù)a的點到表示數(shù)m的點的距離，學生在以后解決絕對值問題時便多了一種方法。

2.問題設(shè)計——促進“負負得正”意義理解的有理數(shù)乘法情境創(chuàng)設(shè)

如果把現(xiàn)在的時間當作分界點，那么“現(xiàn)在以前”與“現(xiàn)在之后”就是相反意義的量?，F(xiàn)規(guī)定“現(xiàn)在以前”為負，則“現(xiàn)在之后”為正，那么就可以在數(shù)軸上用含有符號的數(shù)字表示出具有“時間意義”的量（見圖3）。同樣，如果把小明現(xiàn)在所在的位置當作分界點，小明左右兩邊的里程就是相反意義的量。規(guī)定“左側(cè)”為負，則“右側(cè)”為正，同樣也可以在數(shù)軸上用含有符號的數(shù)字表示出具有“方向意義”的量（見圖4）。

圖3 表示具有“時間意義”的量

圖4 表示具有“方向意義”的量

相應(yīng)地，問題串設(shè)計如下。

（1）如果小明一直以每秒2米的速度向右步行，3秒后他在什么位置？

（2）如果小明一直以每秒2米的速度向左步行，3秒后他在什么位置？

（3）如果小明一直以每秒2米的速度向右步行，3秒前他在什么位置？

（4）如果小明一直以每秒2米的速度向左步行，3秒前他在什么位置？

（5）觀察你所列出的上述四個算式，你能夠歸納出哪些有理數(shù)乘法的結(jié)論？

上述（1）—（4）題的列式可以借助數(shù)軸表示（見圖5）。通過對這4個問題的符號觀察，學生自己歸納有理數(shù)乘法中各個乘數(shù)的符號與結(jié)果的關(guān)系，得出結(jié)論。

圖5 借助數(shù)軸表示結(jié)果

“負負得正”是有理數(shù)乘法中最難以理解也是最重要的法則之一，所以在設(shè)計相關(guān)問題時要關(guān)注學生對有理數(shù)乘法的意義的建構(gòu)。一方面，通過上述設(shè)計讓學生感受到在現(xiàn)實生活情境中，具有相反意義的量也可以分別用含有相反的數(shù)學符號“+”和“-”的數(shù)值表示，通過這一途徑，將數(shù)學符號賦予實際意義從而幫助學生理解。另一方面，通過將“時間”“方向”“位置”這三者之間的關(guān)系與有理數(shù)的乘法進行類比，讓學生對有理數(shù)的乘法，特別是“負負得正”的實際意義進行內(nèi)化，幫助學生理解發(fā)展其對有理數(shù)乘法的進一步認識。

3.活動設(shè)計——培養(yǎng)運算素養(yǎng)的有理數(shù)四則運算之“新24點游戲”

“24點游戲”規(guī)則為：用一副去除了大王、小王和所有J、Q、K的撲克牌，隨機分發(fā)給班級所有學生，然后全班學生每四人一組任意組合，組內(nèi)四人同時展示自己所攜帶的撲克牌，并規(guī)定：花色為紅色的數(shù)值取其本身，花色為黑色的學生取其相反數(shù)，每組內(nèi)由教師隨機指定一人取其絕對值，然后根據(jù)牌面數(shù)字進行轉(zhuǎn)換以后的新數(shù)字進行加、減、乘、除混合運算（每個數(shù)字只能用一次），使其運算結(jié)果為24（A算作1），先算出的小組為獲勝小組。

通過對撲克牌中的數(shù)字進行轉(zhuǎn)換，使自然數(shù)范圍內(nèi)的四則運算轉(zhuǎn)換為有理數(shù)范圍內(nèi)的四則運算，并通過教師的指定，在運算過程中引入絕對值，讓自然數(shù)范圍的“24點游戲”成為有理數(shù)范圍內(nèi)的“新24點游戲”。通過小組合作的形式，在互相幫助的過程中，增強學生對有理數(shù)范圍內(nèi)的算理的認識，培養(yǎng)學生的運算素養(yǎng)。同時，以團隊配合的形式，增強團隊合作意識和集體榮譽感。

三、指向培養(yǎng)運算素養(yǎng)的單元教學實施建議

《課標》對運算的要求可以歸納為：在有理數(shù)或?qū)崝?shù)范圍內(nèi)，有運用數(shù)表示數(shù)據(jù)以及數(shù)量關(guān)系的能力，能判斷并能進行數(shù)、式的各種運算，具有選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行計算的經(jīng)驗，能依據(jù)所給的數(shù)據(jù)進行推理、得出結(jié)論，并對結(jié)論的準確性和可靠性進行檢驗，等等。這正是本單元需要重點培養(yǎng)的運算素養(yǎng)。

（一）教學過程實施建議

（1）引導(dǎo)學生獲得有理數(shù)的概念。教師在教學過程中可以適當?shù)叵驅(qū)W生介紹有理數(shù)系的發(fā)展歷史，讓學生在有理數(shù)的學習過程中，體會數(shù)系發(fā)展的必要性以及運算法則在一定范圍內(nèi)的封閉性，讓學生獲得“數(shù)系是持續(xù)發(fā)展”的體驗。為后續(xù)學習階段引入無理數(shù)、虛數(shù)做好思想上的鋪墊。

（2）注重對運算意義理解的培養(yǎng)。對運算意義理解的培養(yǎng)既需要直觀經(jīng)驗的理解，也需要理性結(jié)合的思考。教師在教學過程中，需要注重學生對數(shù)學符號以及運算律意義的理解，可以通過讓學生充分表達交流而感悟運算的意義，也可以通過實際問題的解決來培養(yǎng)學生對運算意義的理解。

（3）鼓勵學生多角度思考問題。本章中涉及的有理數(shù)的不同分類方法、同一個算式中的符號可能表示的不同意義、絕對值的逆運算中可能產(chǎn)生的不同結(jié)果、結(jié)合現(xiàn)實情境運算中的不同思考角度等都可以成為教學過程中的良好素材。

（4）在教學中滲透“數(shù)形結(jié)合”與“化歸”的思想。在“數(shù)軸的表示”這一小節(jié)中，教師引導(dǎo)學生正確在數(shù)軸上表示數(shù)，體會數(shù)軸上的點與有理數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，感悟“數(shù)形結(jié)合”的思想；在有理數(shù)的運算教學過程中，通過對加法和乘法的轉(zhuǎn)化，感悟“化歸”思想。

（5）引導(dǎo)學生掌握運算法則、加深對算理的理解。有研究表明，學生在小學階段對加法算理的理解就不夠深入，而這一認知缺陷也會影響到中學階段對有理數(shù)算理的理解。這表現(xiàn)為絕大部分學生都知道怎樣算，而對于計算背后的道理知道較少。［5］

（二）教學評價建議

評價是檢驗?zāi)繕诉_成程度的重要手段，單元評價應(yīng)該打破僅有紙筆測試的壁壘，采取以過程性評價結(jié)合紙筆測試評價的雙重評價，尤其關(guān)注學生運算素養(yǎng)等相關(guān)高階思維的發(fā)展，重點關(guān)注以下三個方面：①關(guān)注學生在探索、學習過程中的參與度、思維水平和歸納能力；②關(guān)注學生學習習慣的養(yǎng)成，關(guān)注在數(shù)學活動過程中與他人合作的能力，關(guān)注在交流過程中運用數(shù)學語言進行表達的能力；③關(guān)注其解決問題的過程，對運算符號、性質(zhì)符號的理解程度，對運算法則和運算律的掌握以及數(shù)學思想方法的把握。