李瑞翔，包立平，吳立群

(杭州電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，浙江 杭州 310018)

0 引 言

Kdv-Burgers方程常用于描述弛豫介質(zhì)中有限振幅波的傳播。Kdv-Burgers方程可以用來(lái)表述孤波，引起人們高度關(guān)注。孤波的形成是由于同時(shí)含有頻散和非線性效應(yīng)，兩種效應(yīng)最終達(dá)到互補(bǔ)從而形成一個(gè)形狀不變的穩(wěn)定局部擾動(dòng)向前傳播。文獻(xiàn)[1]使用tanh方法給出Burgers方程、Kdv-Burgers方程的復(fù)解。文獻(xiàn)[2]使用逆散射法求解攝動(dòng)Kdv方程，給出精確的N-孤子解，并進(jìn)一步研究2-孤子解情況下孤子的運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[3-4]研究廣義Burgers-Kdv方程行波的存在性和漸近性，給出相關(guān)常微分方程的異宿軌道，并用幾何方法證明Burgers-Kdv方程行波解的存在性。文獻(xiàn)[5]通過(guò)求解具有邊界條件、行波速度、非線性強(qiáng)度和色散系數(shù)的橢圓方程，在零邊界條件下，發(fā)現(xiàn)了孤立波。文獻(xiàn)[6]使用Lyapunov-Schmidt方法，證明一類奇攝動(dòng)非線性Schr?dinger方程孤波解的存在，這些解集中在其勢(shì)函數(shù)的非退化臨界點(diǎn)處。但是，以上研究未涉及方程中的頻散項(xiàng)，主要是通過(guò)逆散射、幾何奇攝動(dòng)等方法求解幾類帶高階項(xiàng)的奇攝動(dòng)問(wèn)題。本文研究一類吸收項(xiàng)和弛豫項(xiàng)均帶小參數(shù)的Kdv-Burgers方程，目的在于討論吸收項(xiàng)和弛豫項(xiàng)對(duì)Kdv-Burgers方程產(chǎn)生擾動(dòng)(孤子)的影響。

1 形式展開(kāi)

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，在弛豫介質(zhì)中，有限振幅波的傳播方程可以表示為帶小參數(shù)ε的Kdv-Burgers方程：

(1)

式中，a，b是正常數(shù)，ε是非零小參數(shù)。假設(shè)φ(x)是與ε無(wú)關(guān)的函數(shù)且至少三階連續(xù)可微。

求方程(1)的退化解

并代入方程(1)，可得：

(2)

定理1方程(2)的解為u0=φ(x+u0t)。

證明方程(2)的特征方程為

求得隱函數(shù)解

u0=Ψ(x+u0t)

(3)

式中，函數(shù)Ψ是任意函數(shù)。式(3)代入方程(1)中的初值條件可知

u0(x,0)=Ψ(x)=φ(x)

因此式(3)可以寫(xiě)為：

u0=φ(x+u0t)

證畢。

根據(jù)定理1，求得方程(1)的外解。

接著求方程(1)的內(nèi)解。對(duì)方程(1)做合成展開(kāi)式，其零次冪項(xiàng)為：

(4)

式中，ξ=(x-ct)/ε，常數(shù)c是行波速。將式(4)代入方程(1)得：

(5)

定理2方程(5)存在孤子解。

證明在ξ是有限的情況下，x趨于0，此時(shí)

u0(x,t)=u0(ξε+ct,t)

(6)

式(6)按ε展開(kāi)后取零次冪近似，有

u0(x,t)≈u0(ct,t)

(7)

式(7)右端是只與t有關(guān)的函數(shù)。方程(5)兩邊對(duì)ξ積分得：

(8)

(9)

再對(duì)式(9)兩端積分并整理得：

因此

最終可得：

證畢。

根據(jù)定理2，求得方程(1)的內(nèi)解。

2 余項(xiàng)估計(jì)

定理3方程(1)的漸近解的余項(xiàng)R滿足

證明考慮方程(1)的余項(xiàng)

代入方程(1)得

化簡(jiǎn)得

(10)

令R=eλtP，λ為任意常數(shù)，代入式(10)得

(11)

令

其中，D=suppφ=[-N,N]×[0,T],D1=[-N-δ,-N]∪[N,N+δ]×[-δ,0]∪[T,T+δ]，N是足夠大的正常數(shù)，δ是足夠小的正常數(shù)。

定義算子Lε，對(duì)滿足式(11)的函數(shù)P，有

(12)

式中，(x,t)∈D。

事實(shí)上，對(duì)滿足式(11)的任意函數(shù)ω，有

由式(12)得

因此

可得

(13)

式(13)右端與N無(wú)關(guān)，所以當(dāng)N→∞時(shí)，等式依然成立。最終可得U(x,t,ε)在無(wú)界區(qū)域的漸近解一致有效。證畢。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文討論一類奇攝動(dòng)Kdv-Burgers方程在無(wú)界區(qū)域上帶初值條件的波運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，計(jì)算其形式漸近解，得到簡(jiǎn)單波與孤子解，并證明解的一致有效性，這表明該方程仍能在外解的某間斷處產(chǎn)生孤子解。后期將對(duì)內(nèi)外解展開(kāi)式的高階項(xiàng)做進(jìn)一步研究，確定孤子解出現(xiàn)的位置，并研究高維奇攝動(dòng)Kdv-Burgers方程問(wèn)題。