沈 劍，王少龍，寧益晨，陳國光，田曉麗，閆小龍

(1 中北大學(xué)機電工程學(xué)院， 太原 030051； 2 西北工業(yè)集團有限公司質(zhì)量管理部， 西安 710048；3 北方華安工業(yè)集團有限公司， 黑龍江齊齊哈爾 161046)

0 引言

電磁軌道炮是利用電磁發(fā)射技術(shù)制成的一種先進的動能殺傷武器，與傳統(tǒng)的火炮相比，有著彈丸初速高、體積小、重量輕、戰(zhàn)場生存能力強等優(yōu)勢，使得它在軍事領(lǐng)域的應(yīng)用前景十分廣闊[1]。電磁軌道炮所使用的彈藥類型之一是超高速彈丸。BAE系統(tǒng)公司研制的一體化超高速射彈HVP(hyper velocity projectile)，具有通用化、低風(fēng)阻、可執(zhí)行多任務(wù)等特點，在美軍電磁軌道炮、127 mm海軍艦炮和155 mm陸軍榴彈炮上均可以發(fā)射，具備一定的通用性[2]。

電磁軌道炮發(fā)射環(huán)境要更加復(fù)雜，受多物理場耦合作用更加明顯，彈丸在膛內(nèi)運動的穩(wěn)定性擾動因素更多[3]。因此，需要研究超高速彈藥(含電樞、彈托和彈丸等)在電磁、熱和力多場耦合作用下的運動狀態(tài)。在穩(wěn)定性分析領(lǐng)域，應(yīng)用較多的是Lyapunov指數(shù)法。在工程應(yīng)用方面，Tanaka等通過多Lyapunov函數(shù)的模糊來解決Takagi-Sugeno模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和穩(wěn)定性問題[4]；徐曉惠采用Lyapunov函數(shù)法和數(shù)學(xué)歸納法分析車輛縱向跟隨系統(tǒng)的穩(wěn)定性，驗證了穩(wěn)定性判據(jù)的合理性[5]；魏軍強等建立了Lyapunov函數(shù)計算電力系統(tǒng)隨機穩(wěn)定性，證明了文中構(gòu)造函數(shù)方法的優(yōu)勢[6]；張碩基于Lyapunov方法對分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)分析及控制進行了研究，并從理論和實驗驗證其魯棒性[7]；陳誠建立無人飛行器結(jié)構(gòu)參數(shù)與系統(tǒng)運動穩(wěn)定性之間的量化關(guān)系,以四旋翼無人飛行器起飛和偏航階段為對象,通過實驗驗證理論仿真分析得到的結(jié)論[8]。

文中以超高速彈丸為研究對象，對彈丸進行動力學(xué)建模，在此基礎(chǔ)上使用Lyapunov指數(shù)法建立起電磁軌道發(fā)射系統(tǒng)電流趨膚效應(yīng)、膛內(nèi)空氣擾動、電樞與軌道間高速滑動摩擦與超高速彈藥運動穩(wěn)定性之間的量化關(guān)系，通過計算分析得出以上因素對彈丸運動穩(wěn)定性的影響。

1 影響超高速彈丸膛內(nèi)運動的因素

1.1 趨膚效應(yīng)

在電磁軌道炮內(nèi)發(fā)射時，作用在彈丸上的力為電樞提供的電磁推力，而電磁推力的大小主要取決于導(dǎo)軌的電感梯度和流經(jīng)導(dǎo)軌的電流大小。電磁推力的表達式為：

(1)

式中：L′為電感梯度；I為導(dǎo)軌電流。

隨著電樞的推進，彈丸沿身管軸線方向的位移遞增，相應(yīng)的導(dǎo)軌電阻和電感增加，公式如下：

Rx=R0+R′(t)x

(2)

Lx=L0+L′(t)x

(3)

式中：R0為初始電阻；L0為初始電感；R′(t)為電阻梯度。

電磁炮脈沖電源提供的電流作用時間短，電流集中于導(dǎo)軌和電樞的表層，產(chǎn)生趨膚效應(yīng)。超高速彈丸速度越高，這種趨膚效應(yīng)就越明顯。趨膚效應(yīng)造成導(dǎo)軌、電樞電流分布不均，產(chǎn)生焦耳熱損失，引起電阻梯度變化[9-10]。

1.2 膛內(nèi)空氣阻力

彈丸在洛倫茲力的作用下沿導(dǎo)軌運動，此外，彈丸還受到膛內(nèi)空氣阻力及導(dǎo)軌滑動摩擦阻力作用。膛內(nèi)空氣阻力主要受膛內(nèi)空氣密度、超高速彈丸尺寸、速度和位置的影響。膛內(nèi)空氣阻力公式為[11-12]：

(4)

式中：γ為空氣比熱比；ρa為膛內(nèi)空氣密度；S為電樞橫截面積；v為彈丸速度；x為彈丸沿身管軸向的位置；a為彈丸加速度；Cf2為空氣粘滯摩擦系數(shù)；L為電樞長度。

1.3 電樞與軌道間高速滑動摩擦阻力

彈托在導(dǎo)軌上高速滑動，受摩擦阻力作用，滑動阻力與彈托-導(dǎo)軌間摩擦系數(shù)、正壓力、電磁推力和空氣阻力有關(guān)。

彈托在導(dǎo)軌上滑動摩擦阻力的公式為[13]：

(5)

式中：c為彈托-導(dǎo)軌滑動摩擦系數(shù)；Fp為彈托-導(dǎo)軌初始壓力；μ為彈托材料泊松比；Sk為超高速彈丸彈底截面積；D為超高速彈丸彈徑；FL為洛倫茲力。

2 HVP運動穩(wěn)定性分析模型

2.1 電磁軌道炮系統(tǒng)方程

HVP在電磁軌道炮中的運動如圖1所示。在膛內(nèi)運動時，HVP受到電磁、熱和力多場耦合作用，運動過程復(fù)雜，受擾動因素較多。為了更全面分析問題，文中綜合考慮第一節(jié)中的各個影響參量，將HVP運動過程中的空氣阻力、電樞和導(dǎo)軌之間的摩擦力都考慮進去，同時忽略溫度對軌道和電樞的影響，并認(rèn)為軌道電阻和電感與軌道接入的長度成線性關(guān)系[14]。

圖1 HVP在電磁軌道炮中的運動示意圖

建立電磁軌道炮的系統(tǒng)方程：

(6)

引入電流的微分方程：

(7)

式中：L′為電感梯度；R′為電阻梯度；v為彈丸速度。

引入彈丸速度、位移和電勢的微分方程：

(8)

將式(1)、式(4)～式(8)聯(lián)立之后得到的方程組就是電磁軌道炮總系統(tǒng)方程：

(9)

針對式(9)的一階微分方程組，采用四階龍格庫塔法求解。文中采用Matlab軟件編程求解電磁軌道炮的系統(tǒng)方程組。

2.2 Lyapunov指數(shù)法

Lyapunov指數(shù)的概念在現(xiàn)代非線性動力學(xué)理論中扮演著重要的角色，它是衡量系統(tǒng)動力學(xué)特性的一個重要定量指標(biāo)，并且可以描述受干擾后的狀態(tài)空間發(fā)散或收斂的平均指數(shù)率[15]。

進行動力學(xué)建模后，將得到的彈丸狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，將此狀態(tài)方程代入計算方程內(nèi)，就可以計算得出系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜。選定計算時間步長，確定迭代次數(shù)后，計算過程為：

1)在模塊化的基礎(chǔ)上構(gòu)建運動學(xué)及動力學(xué)方程：

(10)

(11)

2)將動力學(xué)的方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程：

(12)

3)計算Jacobian矩陣得：

|df(X)/dX|Xi

(13)

4)計算Lyapunov指數(shù)譜：

(14)

其中，Lyapunov指數(shù)的大小是由函數(shù)f(X)在Xi處的雅克比矩陣|df(X)/dX|決定的，狀態(tài)方程d(X)(t)/dt=f(X(t))是通過非線性系統(tǒng)的動力學(xué)方程得到的。

Lyapunov指數(shù)譜的符號通常被用來分析系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性：λ<0，說明系統(tǒng)趨于到達穩(wěn)定狀態(tài)；λ=0，系統(tǒng)在Lyapunov意義上表現(xiàn)出穩(wěn)定性；λ>0，表明系統(tǒng)是不穩(wěn)定或者混純。

3 仿真分析

3.1 電磁炮系統(tǒng)仿真

根據(jù)式(9)建立的系統(tǒng)模型，仿真計算得到基本的電磁炮系統(tǒng)工作特征。計算初始參數(shù)如表1所示[14]，計算結(jié)果如圖2～圖4所示。

表1 計算初始參數(shù)

圖2 導(dǎo)軌電流-時間曲線

圖3 彈丸速度-時間曲線圖

圖4 彈丸位移-時間曲線圖

圖2、圖3和圖4分別是導(dǎo)軌電流、彈丸速度以及彈丸位移隨時間變化的曲線。從以上三圖可以看出：在t=1.32 ms 時，軌道電流的峰值為669.2 kA，并在t=2.71 ms時電流降為0；當(dāng)t=3 ms時，彈丸恰好可以從4 m長導(dǎo)軌上射出；膛內(nèi)運動最大速度2 396 m/s，出炮口速度2 214 m/s。

3.2 HVP膛內(nèi)運動穩(wěn)定性分析

根據(jù)式(10)～式(14)，計算HVP膛內(nèi)運動的Lyapunov指數(shù)。在3.1節(jié)計算中發(fā)現(xiàn)，電磁推力對彈丸運動的影響比空氣阻力、滑動摩擦阻力更加明顯，因此，本節(jié)僅選取電阻梯度、摩擦系數(shù)來分析參數(shù)變化對于彈丸速度、位移Lyapunov指數(shù)的影響。計算結(jié)果如圖5～圖8所示。

圖5 電阻梯度變化對于彈丸速度Lyapunov指數(shù)的影響

圖6 電阻梯度變化對于彈丸位移Lyapunov指數(shù)的影響

圖7 摩擦系數(shù)變化對于彈丸速度Lyapunov指數(shù)的影響

圖8 摩擦系數(shù)變化對于彈丸位移Lyapunov指數(shù)的影響

對比結(jié)果發(fā)現(xiàn)，電阻梯度的變化對彈丸運動穩(wěn)定性的影響較摩擦系數(shù)變化更大。當(dāng)電阻梯度增大到1.2×10-2Ω/m時，彈丸速度趨于不穩(wěn)定狀態(tài)；電阻梯度為1.2×10-3Ω/m時，彈丸速度趨于穩(wěn)定狀態(tài)；電阻梯度為1.2×10-4Ω/m時，彈丸速度處于穩(wěn)定狀態(tài)。電阻梯度在[1.2×10-4Ω/m, 1.2×10-2Ω/m]內(nèi)變化對彈丸位移穩(wěn)定性影響較小。摩擦系數(shù)在[0.3,0.5]內(nèi)變化對彈丸速度、位移Lyapunov指數(shù)的影響保持在萬分之一以內(nèi)。

4 結(jié)論

通過分析超高速彈丸在電磁軌道炮內(nèi)運動的穩(wěn)定性影響因素，確定以趨膚效應(yīng)、膛內(nèi)空氣阻力和電樞與軌道間高速滑動摩擦阻力為研究對象，分析三種因素對彈丸膛內(nèi)運動穩(wěn)定性的影響。建立電磁軌道炮系統(tǒng)動力學(xué)方程和超高速彈丸運動穩(wěn)定性分析模型，通過仿真計算得到超高速彈丸在電磁軌道炮內(nèi)的基本工作特征；通過調(diào)整電阻梯度和摩擦系數(shù)，計算參數(shù)變化對于彈丸速度、位移Lyapunov指數(shù)的影響。計算結(jié)果表明，電阻梯度的變化對于超高速彈丸在電磁軌道炮內(nèi)運動穩(wěn)定性影響明顯。因此，在電磁軌道炮的研制過程中應(yīng)通過一定措施控制趨膚效應(yīng)對于彈丸膛內(nèi)運動穩(wěn)定性的影響。