曾志紅，時(shí)統(tǒng)業(yè)

（1.廣東第二師范學(xué)院 學(xué)報(bào)編輯部，廣東 廣州 510303；2.海軍指揮學(xué)院，江蘇 南京 211800）

1 引言與預(yù)備知識(shí)

梯形不等式[1]是

其 中 f:［a,b］→R 在（a,b）內(nèi) 二階 可 微且有關(guān)梯形不等式和擾動(dòng)的梯形不等式可參閱文獻(xiàn)[2-6].

Iyengar 不等式[7]是

其中 f:［a,b］→R 是[a,b]上的可微函數(shù)，且存在常數(shù)M ，使得對(duì)任意 x∈［a,b］有有關(guān)Iyengar 型不等式和擾動(dòng)的Iyengar 型不等式可參閱文獻(xiàn)[8-12].

沿用文獻(xiàn)[13]的記號(hào)，設(shè)

定理1[13]設(shè)區(qū)間I?R，I°是I 的內(nèi)部，f: I →R 在I°上二次可微，a,b∈I°，a＜b.若存在常數(shù)M2∈R，使得對(duì)于任意 x∈［a,b］有則有

本文全篇假設(shè)0＜α≤1.文獻(xiàn)[14-15]系統(tǒng)闡述了建立在分形空間上的局部分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)理論.設(shè) Rα是分形實(shí)線的α 型集合，aα,bα,cα∈Rα，則在這個(gè)分形集中有如下運(yùn)算律：

下面使用Gao-Yang-Kang 的方法來(lái)描述局部分?jǐn)?shù)階的導(dǎo)數(shù)和積分.

定義1[16]設(shè) f: R →Rα是不可微函數(shù)，如果對(duì)任意ε＞ 0，存在δ＞ 0，使得當(dāng)時(shí)，有則稱f 在點(diǎn) x0處局部分?jǐn)?shù)階連續(xù).若f 在區(qū)間I?R 上局部分?jǐn)?shù)階連續(xù)，則記為f∈Cα（I）.

定義2[17]設(shè) f∈Cα（a,b），x0∈（a,b），則f 在點(diǎn) x0處的α 階局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

若對(duì)任意x∈I?R 時(shí)存在 f（α）（x），則稱f 在I 上α 階局部分?jǐn)?shù)階可微，記為 f∈Dα（I）.一般地，記如果對(duì)任意x∈I?R，存在則記為其中 k=0,1,2,….

設(shè) f,g∈Dα（I），則對(duì)任意x∈I，有利用這個(gè)局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的乘法法則，有

定義3[18]設(shè) f∈Cα［a,b］，f 在點(diǎn)［a,b］上的α 階局部分?jǐn)?shù)階積分定義為

在閉區(qū)間上局部分?jǐn)?shù)階連續(xù)的函數(shù)是局部分?jǐn)?shù)階可積的.局部分?jǐn)?shù)階定積分有與黎曼定積分類似的性質(zhì)，如線性性質(zhì)、區(qū)間可加性、比較性質(zhì)、絕對(duì)不等式、牛頓-萊布尼茨公式、換元法、分部積分法等[14-18].

引理1[18]1）設(shè)則特別地，若 f （x）恒為常數(shù)c，則有

2）設(shè) f,g∈Dα［a,b］且則

利用引理1 得

文獻(xiàn)[19]引入分形集上廣義凸函數(shù)的概念.

定義4[19]設(shè)I?R，函數(shù) f :I →Rα，若對(duì)任意 u,v∈I和任意 λ∈［0,1］，有

則稱f 是I 上的廣義凸函數(shù).

引理2[19]設(shè) f∈Dα（I），則下面條件等價(jià)：

i）f 是I 上的廣義凸函數(shù)；

ii）對(duì)任意 x1,2x∈I ，有

引理3[19]設(shè) f∈D2α（a,b），則f 是（a,b）上的廣義凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意 x∈（a,b）有 f（2α）（x）≥0α.本文為方便起見(jiàn)，記

本文目的是在分形集上建立關(guān)于擾動(dòng)的梯形積分公式的不等式.為得到本文的主要結(jié)果，需要下面的引理.

引理4設(shè)區(qū)間I?R，I°是I 的內(nèi)部，則有

證明使用局部分?jǐn)?shù)階積分的分部積分法（引理1）得

式（4）除以 2αΓ2（1+α），則式（2）得證.類似可證式（3）.

引理5設(shè)區(qū)間I?R，I°是I 的內(nèi)部，若存在常數(shù) k,K∈Rα，使得對(duì)于任意 x∈［a,b］有 k≤f（2α）（x）≤K ，則有

證明由式（3）得

于是

引理6[17]（局部分?jǐn)?shù)階微分中值定理）設(shè)函數(shù) F （x）在［a,b］上連續(xù)，在（a,b）上α 階局部分?jǐn)?shù)階可微，則對(duì)于任意 x0,x∈［a,b］，x0＜x，存在 ξ∈［x0,x］，使得

2 主要結(jié)果

定理2設(shè)區(qū)間I?R，I°是I 的內(nèi)部，若存在常數(shù) k,K∈Rα，使得對(duì)于任意 x∈［a,b］有 k≤f（2α）（x）≤K ，則有

證明對(duì)任意常數(shù)ε ，由引理4 得

其中

當(dāng) Δα≥0時(shí)，考慮任意有

類似可得

綜合式（6～10）得

其中

于是有

綜合式（11～14），當(dāng) Δα≥0時(shí)，有

當(dāng) Δα≤0時(shí)，考慮任意

通過(guò)這些以往研究可以發(fā)現(xiàn)，從橫向上看，對(duì)于“媒體會(huì)對(duì)政策變遷產(chǎn)生影響”這一觀點(diǎn)，各學(xué)科雖論證方式不同，但已達(dá)成廣泛共識(shí)；從政策學(xué)角度出發(fā)的研究不少，但充分運(yùn)用理論展開(kāi)主體細(xì)致分析的不多。從縱向上看，有研究已發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)媒體與新媒體在影響政策議程、政策變遷上的差異，但缺乏理論指導(dǎo)下的深入比較，也未能結(jié)合當(dāng)下我國(guó)媒介融合的時(shí)代背景。

推論1設(shè)區(qū)間I?R，I°是I 的內(nèi)部，若存在常數(shù)M∈Rα，使得對(duì)于任意 x∈［a,b］有則有

證明在定理2 中取 k=-M,K=M即可得證.

推論2設(shè)f ：[a,b] →R二次可微，f′在[a,b]上連續(xù)，且存在常數(shù)k 和K ，k＜K使得k≤f′≤K，則有

證明在定理2 中取α=1 即可得證.

注1在推論2 中，若存在常數(shù)M2，使得則得到定理1.

定理3設(shè)區(qū)間I?R，I°是I 的內(nèi)部，

證明利用引理3 得：

其中

綜合式（16～17）得

其中

于是有

綜合式（18～21），則式（15）的右邊的兩個(gè)不等式得證.當(dāng) k≤f（2α）≤K 時(shí)，有-K≤（-f）（2α）≤-k.對(duì)函數(shù)-f應(yīng)用已證結(jié)論，則式（15）的左邊的兩個(gè)不等式得證.

推論3設(shè)區(qū)間I?R，I°是I 的內(nèi)部，若存在常數(shù)M∈Rα，使得對(duì)于任意 x∈［a,b］有則有

證明在定理3 中取 k=-M,K=M即可得證.

推論4設(shè)f ：[a,b]→R二次可微，f′在[a,b]上連續(xù)，且存在常數(shù)k 和K ，k＜K使得k≤f′≤K，則有

證明在定理3 中取α=1 即可得證.

注2在推論4 中，若存在常數(shù)M2，使得則有

注3式（1）與式（22）各有強(qiáng)弱.比如取 f （x）=x4，［a,b］=［-1,1］，則 M2=12,T1=4,Δ1=0，顯然式（22）比式（1）好些.又比如取 f （x）=x3，［a,b］=［-1,1］，則 M2=6,T1=0,Δ1=4，由式（1）得由式（22）得因?yàn)楣适剑?）與式（22）好些.