張 燕，程先宬，陳伯孝，周志剛

(1. 上海無線電設(shè)備研究所， 上海 200090；2. 西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 陜西西安 710071)

0 引言

為適應(yīng)未來戰(zhàn)爭(zhēng)的防御需求，雷達(dá)系統(tǒng)需要有效提升探測(cè)能力和參數(shù)估計(jì)性能。采用更大孔徑的均勻天線陣列可有效實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)精度和覆蓋范圍的要求，然而，采用大孔徑均勻陣列會(huì)使得系統(tǒng)成本驟增且陣元間耦合加劇。超稀疏陣列在提升陣列孔徑的同時(shí)可大幅度減少陣元數(shù)目，有效地解決了系統(tǒng)成本和探測(cè)性能間的矛盾。

目前，針對(duì)稀疏陣列的研究主要分為兩大類：一類是具有固定構(gòu)造結(jié)構(gòu)的稀疏陣列，例如互質(zhì)陣列、嵌套陣列、最小冗余陣[1-3]等。這類陣列通常具有固定的構(gòu)造方式，利用其特定的結(jié)構(gòu)可等效重構(gòu)出同孔徑下均勻陣列對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，該類方法往往需要較大的快拍數(shù)，在雷達(dá)系統(tǒng)中往往無法滿足，主要應(yīng)用于天文探測(cè)這類觀測(cè)時(shí)間長(zhǎng)、快拍數(shù)多的應(yīng)用場(chǎng)景。第二類是隨機(jī)陣列結(jié)構(gòu)，即通過構(gòu)造特定的約束準(zhǔn)則[4]，優(yōu)化求解滿足約束的最優(yōu)陣列分布。該類方法在雷達(dá)中具有良好的應(yīng)用前景和實(shí)際價(jià)值，本文主要針對(duì)稀疏陣列綜合的算法進(jìn)行介紹討論。

針對(duì)大孔徑的稀疏陣列綜合問題主要分為兩種，一種是孔徑和陣元數(shù)目受限條件下的副瓣電平優(yōu)化算法，另一種是副瓣電平和孔徑約束下的陣列最稀疏解問題。本文介紹的算法屬于后者。此類問題的研究由于屬于NP-hard問題，難以求得全局最優(yōu)解，經(jīng)典的算法往往采用智能優(yōu)化算法[5-7]，類似遺傳算法、退火算法以及粒子群算法等進(jìn)行隨機(jī)優(yōu)化搜索。該類方法在孔徑較小時(shí)具有較高可行性，然而由于其運(yùn)算量隨著陣列孔徑增大呈指數(shù)增長(zhǎng)，因此在孔徑較大時(shí)時(shí)間成本過高，無法進(jìn)行優(yōu)化。采用國(guó)外學(xué)者Nai提出的凸優(yōu)化方法[8]可有效降低運(yùn)算復(fù)雜度，但是在孔徑較大時(shí)仍具有同樣的困境。

本文針對(duì)大孔徑稀疏陣列優(yōu)化問題展開了研究，通過采用交替方向乘子[9]的優(yōu)化思想進(jìn)行快速初始化，并構(gòu)建鄰域空間進(jìn)行二次優(yōu)化，從而快速得到更優(yōu)的稀疏解。仿真實(shí)驗(yàn)證明了算法的有效性。

1 算法原理

假設(shè)稀疏線陣孔徑為L(zhǎng)，分布于區(qū)間[0,L]上的N個(gè)陣元對(duì)應(yīng)的位置矢量記為x=[x1,…,xN]T，初始位置矢量由遠(yuǎn)小于半波長(zhǎng)的間隔d對(duì)區(qū)間[0,L]進(jìn)行均勻采樣得出，各陣元對(duì)應(yīng)的權(quán)值為w=[w1,…,wN]T,因此，此時(shí)陣列方向圖可表示為

(1)

為了后續(xù)推導(dǎo)方便，式(1)中的方向圖可用矩陣形式進(jìn)行表示，即

F=Aw

(2)

式中，矩陣A中的元素為a(i,j)=ejκxjsin(θi)。

稀疏線陣最優(yōu)稀疏解問題，即尋找滿足主副瓣電平要求的最小陣元數(shù)N。則在上述模型的基礎(chǔ)上，稀疏線陣稀疏化問題可建模如下：

s.t. |Aw|≤Mup

(3)

a0w=1

式中，||w||0表示w的l0范數(shù)，Mup為陣列方向圖上界約束條件，a0為方向圖主瓣方向所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量。

由于上式中的目標(biāo)函數(shù)w的l0范數(shù)，為非凸優(yōu)化問題，難以得到全局最優(yōu)解。為了對(duì)式(4)中的問題進(jìn)行求解，可采用l1范數(shù)進(jìn)行如下近似：

s.t. |Awp|≤Mup

(4)

a0wp=1

其中，hp⊙wp為向量h和w的Hadamard積， ||q||1表示向量q的l1范數(shù)，上標(biāo)p表示第p次迭代。每次迭代時(shí)的向量h由下式進(jìn)行更新：

(5)

式中，ε為非常小的常量，可選為0.01。

通過式(4)和式(5)進(jìn)行迭代求解，在小孔徑時(shí)可快速有效地獲得效果良好的可行解。然而，對(duì)于孔徑較大的情況而言，采用上式進(jìn)行優(yōu)化的運(yùn)算量將大幅提升，優(yōu)化效果急劇惡化甚至失效。

(6)

該問題可按照采用如下步驟進(jìn)行優(yōu)化：

對(duì)于式(6)至式(8)的優(yōu)化過程采用的分為兩塊進(jìn)行求解，但是理論上在單步優(yōu)化可行的前提下可對(duì)大孔徑情況對(duì)應(yīng)的搜索空間進(jìn)行多次劃分。

2 計(jì)算機(jī)仿真

仿真一：陣列孔徑L=200λ的線陣綜合結(jié)果。其副瓣電平要求不高于-20 dB(|θ|≥0.28°)，主瓣指向0°，陣列初始間隔d=λ/10。優(yōu)化得到的陣列方向圖和陣元位置及權(quán)值分布如圖1所示，其中圖1(b)為圖1(a)主瓣區(qū)域局部放大圖。

(a) 陣列方向圖

(b) 陣列方向圖主瓣放大圖

(c) 陣元位置及權(quán)值分布圖1 陣列方向圖和陣元位置及權(quán)值分布

優(yōu)化后陣元個(gè)數(shù)僅為129個(gè)，稀疏率為32.1%，且由圖1可以看出，副瓣電平符合預(yù)期約束條件，且波束無展寬。

仿真二：陣列孔徑L=400λ的線陣綜合結(jié)果。副瓣電平低于-18.7 dB(|θ|≥0.17°)，主瓣指向0°，陣列初始間隔d=λ/10。優(yōu)化得到的陣列方向圖和陣元位置及權(quán)值分布如圖2所示，其中圖2(b)為圖2(a)主瓣區(qū)域局部放大圖。

(a) 陣列方向圖

(b) 陣列方向圖主瓣放大圖

(c) 陣元位置和權(quán)值分布圖2 陣列方向圖和陣元位置及權(quán)值分布

優(yōu)化后的陣元個(gè)數(shù)為153個(gè)，稀疏率僅為19.1%。且由圖2(b)可看出副瓣電平滿足約束條件。

仿真三：陣列孔徑L=500λ的線陣綜合結(jié)果。副瓣電平低于-20.4 dB(|θ|≥0.114°)，主瓣指向0°，陣列初始間隔d=λ/10。文獻(xiàn)[10]對(duì)該條件下的陣列進(jìn)行了優(yōu)化，其優(yōu)化結(jié)果如圖3所示。

(a) 陣列方向圖

(b) 陣元位置和權(quán)值分布圖3 陣列方向圖和陣元位置分布圖

而利用本算法優(yōu)化后的結(jié)果如圖4所示，其中圖4(b)為圖4(a)主瓣區(qū)域局部放大圖。相較于文獻(xiàn)[10]，利用本文所提算法，陣元個(gè)數(shù)僅為188個(gè)，稀疏率為18.8%，且由主瓣區(qū)域放大圖可以看出并無主瓣展寬，副瓣電平也符合預(yù)期目標(biāo)。

(a) 陣列方向圖

(b) 陣列方向圖主瓣放大圖

(c) 陣元位置及權(quán)值分布圖圖4 陣列方向圖和陣元位置及權(quán)值分布

3 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種針對(duì)大孔徑稀疏陣列綜合的算法。通過利用交替方向乘子的思想使其快速得到初始可行解，并構(gòu)建相鄰域形成新的解空間進(jìn)行搜索，從而求得更優(yōu)的稀疏解。文中所提出的算法可有效地實(shí)現(xiàn)大孔徑下的稀疏陣列的綜合并得到相較傳統(tǒng)算法更優(yōu)的布陣結(jié)果。通過對(duì)若干不同孔徑條件下的仿真實(shí)驗(yàn)，證明了算法的有效性。