不確定性原理事實(shí)上并不是一個(gè)單獨(dú)的定理，而是一組定理的統(tǒng)稱，凡是刻劃一個(gè)信號不能在時(shí)空域和頻域上同時(shí)過于集中的命題都可以稱為不確定性原理，“集中”這一性質(zhì)可以有不同的數(shù)學(xué)描述，也就對應(yīng)了不同的數(shù)學(xué)定理，但是在所有冠以“不確定性原理”之名的定理中，最著名的當(dāng)然是由德國物理學(xué)家、量子力學(xué)的主要創(chuàng)始人海森堡（W，Heisenberg）在1927年提出的、影響了物理學(xué)發(fā)展的那個(gè)版本，它的精確描述是：

假定一個(gè)信號的總能量為1.則這個(gè)信號和它的傅立葉變換的能量的方差之積不小于1/16π2換言之，兩者各自的能量都可能很集中，但是不能同時(shí)很集中，如果時(shí)空域中能量的方差很?。醇性谝黄穑敲搭l域上能量的方差就不會太?。幢厝粫浬㈤_），反之亦然。

對這個(gè)定理在量子物理學(xué)中的意義的討論超出了本文的話題范圍，下面簡單羅列一些相關(guān)的歷史事實(shí)：

海森堡在1927年發(fā)表了一篇標(biāo)題為《量子理論運(yùn)動學(xué)和力學(xué)的直觀內(nèi)容》的文章，這篇文章很大程度上是對薛定諤（E，Schrodinger）在1926年提出的薛定諤波動方程的回應(yīng)，相較于海森堡的矩陣力學(xué)而言，薛定諤的方程很快由于它物理上的直觀明晰而得到了越來越多物理學(xué)家的贊賞，海森堡對此感到極為失落，在1926年6月8日寫給物理學(xué)家泡利（W，Pauli）的信中說：“我對薛定諤的理論想得越多我就越覺得惡心，”因此，他迫切需要給自己的理論配上一個(gè)更直觀的圖象。

海森堡的這篇文章給出了后來被人們所熟悉的有關(guān)為什么無法同時(shí)測量一個(gè)電子的位置和動量問題的解釋，但是并未給出任何嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，他把他的結(jié)論籠統(tǒng)地表達(dá)為△x △p≥h，其中x是位置，p是動量，h是普朗克常數(shù)，但他并沒有詳細(xì)說明△x和△p的意思，只針對若干具體情形作了一些直觀的討論。

第一個(gè)從數(shù)學(xué)上證明不確定性原理的是物理學(xué)家E，Kennard，他在1927年證明了文章開頭所描述的定理，指出△x和△p的數(shù)學(xué)意義其實(shí)是方差，這種解釋很快就成了海森堡不確定性原理的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)表達(dá)，海森堡于1930年在芝加哥的演講中也用了這種數(shù)學(xué)推導(dǎo)，來佐證他的立論，需要說明的是，海森堡盡管很快接受了這一數(shù)學(xué)解釋，但是后來人們發(fā)現(xiàn)在他本人原先的論文里所舉的那些例子中，有很多被他用△x和△p籠統(tǒng)概括的含混概念其實(shí)是無法被解釋成方差的，在他的心目中，不確定性原理首先是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，其次才是一個(gè)數(shù)學(xué)定理，

海森堡并未將他的發(fā)現(xiàn)命名為不確定性“原理”，而只是稱為一種“關(guān)系”，英國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家愛丁頓（A，Eddington）在1928年似乎第一個(gè)使用了“原理”一詞，將之稱為principle of indeterminacy，后來uncer-tainty principle這種說法才漸漸流行起來，海森堡本人始終稱之為ungenauigkeitsrelationen/unbestim-mtheitsrelationen（相當(dāng)于英語的inaccuraey/indetermi-nacy relations），直到20世紀(jì)50年代才第一次接受了principle這種稱呼。

有趣的是，即使很多信號處理或者量子力學(xué)領(lǐng)域的專家也不知道自己平時(shí)所討論的不確定性原理和對方所講的其實(shí)是一回事，兩者之間的聯(lián)系的確并不太明顯，一個(gè)關(guān)注信號的時(shí)空和頻域分布，一個(gè)關(guān)注粒子的運(yùn)動和能量，它們之間的相關(guān)性只有從數(shù)學(xué)公式上才看起來比較明顯，在海森堡的時(shí)代當(dāng)然并不存在“信號處理”這一學(xué)科，數(shù)學(xué)家們也只把不確定性原理當(dāng)作一個(gè)純數(shù)學(xué)的結(jié)論來對待，他們什么時(shí)候最先注意到這一定理并不是很清楚，有記錄表明美國應(yīng)用數(shù)學(xué)家維納（N，Wienerl 1925年在哥廷根的一次講座中提到了類似的結(jié)論，但是那次講座并沒有任何書面材料留存下來，德國數(shù)學(xué)家外爾（H，Weyl）在1928年名為《群論與量子力學(xué)》的論著中證明了這一定理，但他將之歸功于泡利的發(fā)現(xiàn)，直到1946年，英國的加博（D，Gabor）發(fā)表了一篇名為《通訊理論》的經(jīng)典論文，才真正讓這個(gè)定理以今天信號處理領(lǐng)域的專家們所熟悉的方式流傳開來。

正如前面所說過的那樣，在數(shù)學(xué)上，不確定性原理不僅僅有海森堡這一個(gè)版本，它其實(shí)是一組定理的統(tǒng)稱，譬如哈代（G，Hardy）在1933年證明了一個(gè)和海森堡原理類似的定理，今天一般稱之為哈代不確定性原理，海森堡和哈代的定理都只約束了信號在時(shí)空域和頻域的大致分布，并沒有限制它們同時(shí)集中在有限大的區(qū)域內(nèi)，M，Benedicks第一個(gè)證明了信號在時(shí)空域和頻域中確實(shí)不能同時(shí)集中在有限大的區(qū)域內(nèi)，而這已經(jīng)是1974年的事情了。

到20世紀(jì)末，人們對“信號”這個(gè)詞的理解已經(jīng)有了微妙的變化，如果在20世紀(jì)上半葉的時(shí)候提到一個(gè)信號，人們還傾向于將它理解為一個(gè)連續(xù)的函數(shù)，而到了下半葉，信號已經(jīng)越來越多地對應(yīng)于一個(gè)離散的數(shù)組，毫無疑問，這是電子計(jì)算機(jī)革命的結(jié)果。

在這樣的背景下，“不確定性原理”也有了新的形式，在連續(xù)情形下，我們可以討論一個(gè)信號是否集中在某個(gè)區(qū)域內(nèi);而在離散情形下，重要的問題變成了信號是否集中在某些離散的位置上，而在其余位置上是零，數(shù)學(xué)家給出了以下有趣的定理：

一個(gè)長度為Ⅳ的離散信號中有a個(gè)非零數(shù)值，而它的傅立葉變換中有b個(gè)非零數(shù)值，那么a+b≥2根號N，也就是說一個(gè)信號和它的傅立葉變換中的非零元素不能都太少，毫無疑問，這也是某種新形式的“不確定性原理”。

在上面的定理中，如果已知Ⅳ是素?cái)?shù)，那么我們得出以下結(jié)論：

—個(gè)長度為素?cái)?shù)N的離散信號中有a個(gè)非零數(shù)值，而它的傅立葉變換中有6個(gè)非零數(shù)值，那么n+b>N。

不幸的是，這里“素?cái)?shù)”的條件是必須的，對于非素?cái)?shù)來說，第二條命題很容易找到反例，這時(shí)第一條命題已經(jīng)是能夠得到的最好結(jié)果了。

這些定理有什么用呢？如果它僅僅能用來說明某些事情做不到，就像它字面意思所反映出的那樣，它的用處當(dāng)然是相對有限的，可這無疑是辯證法的一個(gè)好例證，這樣一系列宣稱“不確定”的定理，事實(shí)上是能夠用來推出某些“確定”的事實(shí)的。

設(shè)想這樣一種情況：假定我們知道一個(gè)信號的總長度為Ⅳ，已知其中有很大一部分值是零，但是不知道是哪一部分（這是很常見的情形，大多數(shù)信號都是如此），與此同時(shí)，我們測量出了這個(gè)信號在頻域空間中的K個(gè)頻率值，但是K

按照傳統(tǒng)的信號處理理論，這是不可能的，因?yàn)檎缜懊嫠f的那樣，頻域空間和原本的時(shí)空域相比，信息量是一樣多的，所以要還原出全部信號，必須知道全部的頻域信息，就像要解出多少個(gè)未知數(shù)就需要多少個(gè)方程一樣，如果只知道一部分頻域信息，就像只知道K個(gè)方程，卻要解出Ⅳ個(gè)未知數(shù)來，任何一個(gè)學(xué)過初等代數(shù)的人都知道，既然K

但是借助不確定性原理，卻可以做到這一點(diǎn)，原因是我們關(guān)于原信號有一個(gè)“很多位置是零”的假設(shè)，那么，假如有兩個(gè)不同的信號碰巧具有相同的K個(gè)頻率值，那么這兩個(gè)信號的差的傅立葉變換在這K個(gè)頻率位置上就是零，另一方面，因?yàn)閮蓚€(gè)不同的信號在原本的時(shí)空域都有很多值是零，它們的差必然在時(shí)空域也包含很多零，不確定性原理（一個(gè)函數(shù)不能在頻域和時(shí)空域都包含很多零）告訴我們，這是不可能的，于是，原信號事實(shí)上是唯一確定的！

這當(dāng)然是一個(gè)非常違反直覺的結(jié)論，它說明在特定的情況下，我們可以用較少的方程解出較多的未知數(shù)來，這在應(yīng)用上極為重要，比如醫(yī)學(xué)核磁共振技術(shù)，核磁共振成像本質(zhì)上就是采集身體圖像的頻域信息來還原空間信息，由于采集的成本很高，所以核磁共振成像很昂貴，也很消耗資源，但是上述推理說明，事實(shí)上核磁共振可以只采集一少部分頻域信息（這樣成本更低、速度也更快），就能完好還原出全部身體圖像，這在醫(yī)學(xué)上的價(jià)值是不可估量的。

今天，類似的思想已經(jīng)被應(yīng)用到很多不同的領(lǐng)域，從醫(yī)學(xué)上的核磁共振和x光斷層掃描到石油勘測和衛(wèi)星遙感，簡言之：不確定性可以讓測量的成本更低、效果更好，雖然這聽起來自相矛盾。

這里的“極大概率”并不是一個(gè)生活用語，而是一個(gè)關(guān)于具體概率的精確的數(shù)學(xué)描述，換言之，雖然在最倒霉的情況下不確定性可以比較小，但是這種情況很罕見，一般來說，不確定性總是很大，于是，可以節(jié)約測量的成本。

這當(dāng)然也是一種“不確定性原理”，而且因?yàn)橐肓穗S機(jī)性，所以在某種意義上來說比原先的定理更“不確定”，在他們工作的基礎(chǔ)上，一種被稱為“壓縮感知”的技術(shù)在最近五六年的時(shí)間內(nèi)很快發(fā)展起來，成為涵蓋信號處理、信息提取、醫(yī)學(xué)成像等多個(gè)工程領(lǐng)域最重要的新興工程技術(shù)之一。

不過，這些后續(xù)的應(yīng)用和發(fā)展估計(jì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出海森堡的本意了。