劉書新

摘 要：拉格朗日乘子法是求解條件極值問題常用的方法，但是乘子的含義并不容易理解。本文利用變分分析的知識(shí)結(jié)合廣義費(fèi)馬定理推導(dǎo)條件極值的必要條件，對(duì)拉格朗日乘子法給出解釋，同時(shí)給出了通用教材中兩個(gè)常見的應(yīng)用實(shí)例。

關(guān)鍵詞：條件極值;拉格朗日乘子法;費(fèi)馬原理

中圖分類號(hào)：O17-4;G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095-9052（2020）03-0182-02

求帶有約束條件的最值問題即條件極值是在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常碰到的一類問題，比如它在經(jīng)濟(jì)學(xué)、機(jī)械加工、金融工程等中就有廣泛應(yīng)用。條件極值更是高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析中的一類重要問題。求解的常用方法和最有效的工具就是拉格朗日乘子法。

1 條件極值必要條件的變分分析證明

考慮下面的條件極值問題：

（1）

其中.在高等數(shù)學(xué)[1]與數(shù)學(xué)分析[2]的教學(xué)中常用的求解方法是構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

問題（1） 的解滿足它的駐點(diǎn)方程

再根據(jù)問題的實(shí)際意義可以確定駐點(diǎn)是否是最小值點(diǎn)，這里符號(hào)表示函數(shù)的梯度。

我們先用隱函數(shù)定理來討論問題（1）解的必要條件。簡(jiǎn)單起見，令和， 假設(shè)是問題（1）的最小值點(diǎn)。和在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)是連續(xù)可微的二元函數(shù)，且.由隱函數(shù)定理，在點(diǎn)附近可以唯一確定一個(gè)連續(xù)可微的顯函數(shù)，將代入，可得.注意到

結(jié)合，可知

，

記，可得極小值點(diǎn)滿足下面的方程

上式的第一個(gè)式子是函數(shù)關(guān)于變量的梯度，所以引入輔助函數(shù)，利用它的駐點(diǎn)方程來求解問題（1）。從上面的討論我們可以得到乘子含義的一些理解，但是并沒有很明確的幾何意義。

下面我們利用變分分析的知識(shí)結(jié)合費(fèi)馬原理推導(dǎo)拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)方程。首先給出下面的定義和引理：

定義1 集合上的指示函數(shù)（Indicator Function），記為，定義為

約定與.t指示函數(shù)是定義在上的函數(shù)，表示其中有哪些元素屬于的子集.

定義2 若函數(shù)是利普希茨連續(xù)函數(shù)，則在點(diǎn)的Clark次微分定義為

，

這里是Clark廣義方向?qū)?shù).

引理1[1] ?（廣義費(fèi)馬定理） 若利普希茨連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)取得最小值，則

.

引理2[2] ?若函數(shù)是利普希茨連續(xù)函數(shù)，則

這里是任意常數(shù).

引理3[3] 若是連續(xù)可微函數(shù)且， 則

其中為閉凸集.

定理1設(shè)點(diǎn)為問題（1）的最小值點(diǎn)，函數(shù)和在點(diǎn)連續(xù)可微且，則滿足下面的方程

證明 ?通過指示函數(shù)，問題（1）可以等價(jià)的表示為

，這里.

容易看出是利普希茨連續(xù)函數(shù)，由引理1，問題（1）的最小值點(diǎn)滿足下面的條件

再由引理2可得

又，結(jié)合引理3有

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有， 所以存在，使得 ，且證畢。

從上面的證明過程可以看出，乘子是指示函數(shù)的廣義梯度，拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)方程可以由廣義的費(fèi)馬定理導(dǎo)出，而可微函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，這樣就可以把條件極值的必要條件和函數(shù)的極值條件統(tǒng)一用費(fèi)馬定理來解釋，在教學(xué)的過程中學(xué)生更容易理解。

2 應(yīng)用舉例

例 1 ?要做一個(gè)開口長(zhǎng)方體水箱，體積為，長(zhǎng)、寬、高分別取多長(zhǎng)才能使用料最省？

解：設(shè)分別為水箱的長(zhǎng)、寬、高，那么要使水箱表面積最小等價(jià)與下面的問題

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

，

解方程組

得唯一駐點(diǎn).

由于合理的設(shè)計(jì)是存在的，所以當(dāng)長(zhǎng)、寬為，高為時(shí)用料最省.

給出以下兩個(gè)思考：

1.當(dāng)水箱是封閉的時(shí)，長(zhǎng)、寬、高分別取多長(zhǎng)才能使用料最??？

2.開口長(zhǎng)方體水箱的側(cè)面造價(jià)是底部造價(jià)的一半時(shí)，長(zhǎng)、寬、高分別取多長(zhǎng)才能使用料最?。?/p>

例 2 求平面與旋轉(zhuǎn)拋物面之間的最短距離.

解：設(shè)為拋物面上任意一點(diǎn)， 則到平面的距離為

則問題等價(jià)的轉(zhuǎn)化為

令， 則

解上面的方程組的唯一駐點(diǎn).

由于問題的最短距離是一定存在的，而我們求得的駐點(diǎn)又是唯一的，所以最短距離在點(diǎn)處取得，簡(jiǎn)單計(jì)算得到最短距離為.

3 結(jié)語(yǔ)

本文給出了條件極值必要條件的變分分析的證明方法，使得拉格朗日乘子法更容易基于費(fèi)馬定理角度去理解，并能夠和無條件極值統(tǒng)一起來理解，幾何意義直觀。特別需要注意的是本文的必要條件只是條件極值問題的駐點(diǎn)條件，在應(yīng)用時(shí)還要對(duì)駐點(diǎn)是不是最值點(diǎn)做出判斷。在文章最后舉了兩個(gè)拉格朗日法的應(yīng)用實(shí)例，因?yàn)橥ㄓ玫母叩葦?shù)學(xué)教材只討論等式約束的情況，所以本文討論條件極值的約束條件時(shí)沒有考慮不等式約束的情況。

參考文獻(xiàn)：

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[2]張立衛(wèi)，吳佳，張藝.變分分析與優(yōu)化[M].北京：科學(xué)出版社，2013：113-117.

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（責(zé)任編輯：李凌峰）