劉利城

摘要：2020年武漢市中考試卷第20題，是一道無刻度直尺網(wǎng)格作圖題。本文通過新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀網(wǎng)格作圖的背景，并對該題進(jìn)行探究，從不同的角度對該題的第（3）問提出了四種不同的解法。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步思考，在網(wǎng)格中如何過線外一格點(diǎn)作已知直線的對稱點(diǎn)。并提出了平時(shí)教育教學(xué)中學(xué)生需要掌握九大網(wǎng)格作圖基本技能。

關(guān)鍵字：無刻度直尺;網(wǎng)格作圖;對稱;解法探究

一、網(wǎng)格作圖背景解讀

初中階段，網(wǎng)格圖最早出現(xiàn)在人教版課本七年級下“平面直角坐標(biāo)系”里。網(wǎng)格中的幾何作圖題是天津市近幾年探索的新題型，具有立意新穎、綜合性強(qiáng)、思維含量高等特點(diǎn)，能有效的考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在2019年武漢市四月調(diào)考中，武漢市也引入了網(wǎng)格幾何作圖題，從此網(wǎng)格作圖題在中考正式登場，在中考考題中的網(wǎng)格幾何作圖題只允許用無刻度的直尺來進(jìn)行作圖。本文筆者以2020年武漢市中考數(shù)學(xué)試卷第20為例進(jìn)行拓展研究，以期拋磚引玉。

二、試題呈現(xiàn)

在8×5的網(wǎng)格中建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列步驟完成畫圖，并回答問題：

（1）將線段CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對應(yīng)線段CD;

（2）在線段AB上畫點(diǎn)E，使∠BCE=45°（保留畫圖過程的痕跡）;

（3）連接AC，畫點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)F，并簡要說明畫法.

三、解法探究

（1）直接旋轉(zhuǎn)可得，如圖1

（2）思路：由（1）可知 ABC是等腰直角三角形，要作∠BCE=45°，即作∠BDC的角平分線。由等腰三角形三線合一知，取BD的中點(diǎn)即可。

作圖方法：如圖2取格點(diǎn)M、N，連接MN交BD于點(diǎn)H，連CH交AB于點(diǎn)E，E點(diǎn)即為所求。

證明：∵DN∥AB，BM：DN=1：1

∴DH=BH

即H為BD的中點(diǎn)

∵ ABC為等腰直角三角形

∴CH平分∠BCD

∴∠BCE=45°，即E點(diǎn)為所求

（3）分析：若E、F關(guān)于AC對稱，則AC垂直平分EF，即AE=AF，故此問可以傳化為在OA上求作一點(diǎn)F，使得AE=AF。

思路1：四邊形OCBA為菱形，對角線AC平分∠BCO，只需作∠OCH=45°即可。

作法1：取點(diǎn)H（0，5）連接CH交AO于F，F(xiàn)即為所求。

證明：∵OH=OC=5∴ OCH為等腰直角三角形，∠OCH=45°

∵四邊形OCBA為菱形∴AC平分∠OCB，∠OAB

∠ACO=∠ACB，∠OCH=∠BCE=45°

∴∠ACF=∠ACE

∠CAF=∠CAE，AC=AC

∴ CAF≌ CAE

∴AF=AE，CE=CF

∴AC垂直平分EF

即E、F關(guān)于直線AC對稱

思路2：可以通過先算后畫，這也是解決網(wǎng)格作圖問題的一種常用方法

因?yàn)镃E垂直平分BD，所以BE=DE，通過勾股定理計(jì)算出BE的長度，再根據(jù)AE：BE=AF：OF構(gòu)造分點(diǎn)F

作法2：如圖5，取點(diǎn)H，連接CH交OA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為所求。

證明：如圖4，設(shè)BE=x，則HE=HB-BE=7-x

∵CE垂直平分BD ∴BE=DE=x

在 DHE中，DH=1，HE=7-x，DE=x

即

解得：

AE=AB-BE= ，AE：BE=

∵AH∥OC，∴ ∽

∴

OA=AB=5

∴AF=AE

∴AC垂直平分EF

即E、F關(guān)于直線AC對稱

思路3：菱形OABC關(guān)于直線AC成軸對稱圖形，可以根據(jù)對稱性作圖

作法3：如圖6，連接AC、BE交于點(diǎn)H，連接BH交OA于點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求。

證明：由對稱性易知： OCH∽ BCH

∴∠HOC=∠HBC ，∠AOC=∠ABC

∴∠AOE=∠ABF

AO=AB∠OAE=∠BAF

∴ OAE≌ BAF

∴AE=AF

∴AC垂直平分EF

即E、F關(guān)于直線AC對稱

思路4：如圖7，菱形OABC關(guān)于直線AC成軸對稱圖形，可根據(jù)對稱性作圖。如圖7，由第（2）作圖知BD的中點(diǎn)M是小正方形對角線的交點(diǎn)，可根據(jù)對稱性作出M關(guān)于AC的對稱點(diǎn)N，CN與OA的交點(diǎn)F，即為所求。

作法4：如圖7，連接小正方形對角線得交點(diǎn)N，連接CN交OA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為所求。

證明：計(jì)算易知AM=AN= ，CM=CN= ，AC=AC

∴ CAN≌ CAM

∴∠ACF=∠ACE

AC=AC，∠FAC=∠EAC

∴ CAF≌ CAE

∴AF=AE

∴AC垂直平分EF

即E、F關(guān)于直線AC對稱

四、進(jìn)一步思考

題目的解法暫告一段，本題第（3）是作E點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F，是建立在四邊形OABC是菱形的基礎(chǔ)上。筆者進(jìn)一步思考，對于一般的情況，在網(wǎng)格中如何過線外一格點(diǎn)作已知直線的對稱點(diǎn)。

問題：如圖8，作C點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)

分析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。所以，我們想要完成這道題目，需要過點(diǎn)C作線

段AB的垂線段，加倍延長垂線段，就可以了。

作法：如圖9，過C點(diǎn)作CD⊥AB，倍長AC至F，過F作FM∥AB交CD于M，M即為所求。

五、教學(xué)反思

此題屬于“綜合與實(shí)踐”范疇，《義務(wù)教學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》要求達(dá)到

結(jié)合實(shí)際情境、經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決具體問題的方案，并加以實(shí)施的過程，體驗(yàn)建立模型、解決問題的過程，并在此過程中，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題.通過對有關(guān)問題的探討，進(jìn)一步理解有關(guān)知識(shí)發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和能力。筆者認(rèn)為網(wǎng)格作圖包括以下幾種基本技能：作定長線段、線段取定比分點(diǎn)、過直線一點(diǎn)作已知線段的平行線、作已知線段的垂線、作已知線段的垂直平分線、過直線外一點(diǎn)作已知線段的對稱點(diǎn)、作角平分線、作一個(gè)角等于已知角、作旋轉(zhuǎn)指定角等等。課堂教學(xué)是落實(shí)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，教師應(yīng)緊緊圍繞《標(biāo)準(zhǔn)》開展課堂教學(xué)，循序漸進(jìn)地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).針對網(wǎng)格作圖基本技能應(yīng)強(qiáng)化訓(xùn)練，學(xué)生只有熟練掌握基本技能和方法，在遇到同類問題時(shí)才會(huì)顯得游刃有余。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]北京師范大學(xué)出版社，教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]貫忠喜，陳健.多角度探究2017年天津市中考網(wǎng)格作圖題[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2017（12）：39-43.