溫鵬輝

摘要：分?jǐn)?shù)階傅里葉變換作為傅里葉變換的擴(kuò)展，它在傅里葉變換的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)新的優(yōu)點(diǎn)，它在診斷滾動(dòng)軸承故障時(shí)，可以使不穩(wěn)定的軸承故障信號(hào)的時(shí)頻特性更好的展示出來。再通過分析故障信號(hào)的時(shí)頻特性，從而得出滾動(dòng)軸承故障是外圈故障、內(nèi)圈故障還是滾動(dòng)體故障，并分析其故障程度。

Abstract： As an extension of the Fourier transform， the fractional Fourier transform adds a new advantage to the Fourier transform in diagnosing rolling bearing faults， the time-frequency characteristic of the unstable bearing fault signal can be displayed better. By analyzing the time-frequency characteristics of the fault signal， it can find out whether the rolling bearing fault is the outer ring fault， the Inner Ring Fault or the rolling element fault， and analyze the fault degree.

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階傅里葉變換;滾動(dòng)軸承;故障診斷

Key words： fractional Fourier transform;rolling bearing;fault diagnosis

0? 引言

滾動(dòng)軸承作為現(xiàn)代機(jī)械設(shè)備必不可少的機(jī)械零件之一，滾動(dòng)軸承一旦出現(xiàn)故障，就會(huì)導(dǎo)致機(jī)械設(shè)備的運(yùn)行發(fā)生錯(cuò)誤，從而造成損失，所以我們就要對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行實(shí)時(shí)的檢測(cè)和診斷。如何進(jìn)行診斷，國(guó)內(nèi)外進(jìn)行了許多研究。從20世紀(jì)60年代開始，以美國(guó)為首的國(guó)家就已經(jīng)開始對(duì)滾動(dòng)軸承的故障開始了研究，我國(guó)后來也加入到滾動(dòng)軸承的故障研究的隊(duì)伍中來。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，到現(xiàn)在，已經(jīng)有人研究開發(fā)了基于計(jì)算機(jī)的滾動(dòng)軸承故障診斷系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了滾動(dòng)軸承故障診斷的智能化和自動(dòng)化，擺脫了人為因素的干擾。

滾動(dòng)軸承故障診斷方法一般可以分為以下幾種：溫度診斷法、油樣分析法、聲學(xué)診斷法、振動(dòng)檢測(cè)法、接觸電阻法等。這些方法中，最為人們廣泛接受的是振動(dòng)檢測(cè)法，因?yàn)槠湓\斷結(jié)果相較于其它方法更準(zhǔn)確。

1980年，V.Namias從特征值和特征函數(shù)的角度提出了分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的概念，定義為傳統(tǒng)傅立葉變換的分?jǐn)?shù)冪形式。它是一種在時(shí)頻域內(nèi)研究振動(dòng)信號(hào)的新方法。近年來，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換已經(jīng)成功應(yīng)用在一些機(jī)械設(shè)備的故障診斷中，例如異步電動(dòng)機(jī)的故障診斷。

1? 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

1.1 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的定義

一般情況下，信號(hào)函數(shù)X（t）的p階分?jǐn)?shù)傅里葉變換可以表示為Xp（t）或Fpx（t），其定義為：

其中傅里葉變換的核函數(shù)Kα（u，t），如式（2）所示：

式中：α是旋轉(zhuǎn)角度，與階數(shù)p有以下關(guān)系：α=pπ/2。p的取值在0到1之間，當(dāng)α=0（即p=0）時(shí)，此時(shí)信號(hào)對(duì)應(yīng)初始信號(hào)，當(dāng)α=π/2（即p=1）時(shí)，此時(shí)信號(hào)對(duì)應(yīng)經(jīng)典階傅里葉變換。隨著p值從0到1的變化，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換就把初始信號(hào)變成了經(jīng)典的傅里葉變換，這樣一來，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換就能給出初始信號(hào)從時(shí)域到頻域的所有特性。

1.2 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的物理意義

對(duì)于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的物理意義，Almeida在1993年提出：分?jǐn)?shù)階傅里葉變換是在時(shí)間—頻域平面的旋轉(zhuǎn)，由時(shí)頻分析的一種信號(hào)分析方法。

滾動(dòng)軸承的振動(dòng)信號(hào)是一種有限長(zhǎng)的線性調(diào)頻信號(hào)，是一種典型的非平穩(wěn)信號(hào)，在時(shí)頻平面上的時(shí)寬和帶寬都很大，不適合用處理平穩(wěn)信號(hào)的傅里葉變換來檢測(cè)。線性調(diào)頻信號(hào)在時(shí)間—頻率平面上是背鰭狀的直線，將時(shí)間軸和頻率軸旋轉(zhuǎn)α角后，得到u-Xp（u）的坐標(biāo)系，這樣就讓線性調(diào)頻信號(hào)在Xp（u）軸上的投影凝聚成為一個(gè)點(diǎn)，如圖1所示。

1.3 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的時(shí)頻特性

要想用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換來檢測(cè)軸承故障，就要知道初始振動(dòng)信號(hào)經(jīng)過分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的信號(hào)的時(shí)頻特性，這就要從時(shí)頻分析出發(fā)，研究分?jǐn)?shù)階傅里葉變換與傅里葉變換、短時(shí)傅里葉變換的關(guān)系，就能進(jìn)一步得知分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的時(shí)頻特性。

傅里葉變換是把初始信號(hào)從復(fù)雜的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域信號(hào)，得到信號(hào)的頻域信息。設(shè)X（ω）是x（t）的傅里葉變換，有■。相較于傅里葉變換，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換既有傅里葉變換的性質(zhì)，又因?yàn)槠浯嬖陔A數(shù)，還有其特有的性質(zhì)，其中一個(gè)重要的特點(diǎn)是分?jǐn)?shù)階傅里葉變換具有線性疊加性。這表示在檢測(cè)多分量線性調(diào)頻信號(hào)時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生交叉干擾。

所謂短時(shí)傅里葉變換，就是在初始信號(hào)的基礎(chǔ)上加上窗函數(shù)，截取初始信號(hào)中每一段固定的信號(hào)，再進(jìn)行傅里葉變換，從而分析窗內(nèi)信號(hào)的特性。有研究表明分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的短時(shí)傅里葉變換與初始信號(hào)的短時(shí)傅里葉變換相同，這表明分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的短時(shí)傅里葉變換是由旋轉(zhuǎn)角度α后坐標(biāo)軸所表示的短時(shí)傅里葉變換，其變換關(guān)系如下：

2? 線性調(diào)頻信號(hào)

2.1 線性調(diào)頻信號(hào)的表示

2.2 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的線性調(diào)頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)

由上述可知，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換在檢測(cè)線性調(diào)頻信號(hào)時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生交叉干擾。由上式可知線性調(diào)頻信號(hào)有四個(gè)主要參數(shù)，分別是信號(hào)幅值A(chǔ)、信號(hào)相位φ、初始頻率f0以及調(diào)頻斜率k。其中初始頻率f0以及調(diào)頻斜率k能全面地反映出信號(hào)的變化規(guī)律，所以在參數(shù)估計(jì)時(shí)要重點(diǎn)關(guān)注它們。

由線性調(diào)頻信號(hào)的在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域頻譜的峰值坐標(biāo)（α，mmax），可得：

3? 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的滾動(dòng)軸承故障診斷

根據(jù)上文所述，可以用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換來檢測(cè)發(fā)生故障時(shí)滾動(dòng)軸承的振動(dòng)信號(hào)，從而分析滾動(dòng)軸承的故障所在和故障程度。本文采用美國(guó)西儲(chǔ)大學(xué)實(shí)驗(yàn)室的滾動(dòng)軸承數(shù)據(jù)，分析其時(shí)域和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的波形，從而驗(yàn)證基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的滾動(dòng)軸承故障診斷的方法是否有效。

3.1 初始數(shù)據(jù)的時(shí)域與傅里葉變換

本文選用滾動(dòng)軸承直徑為0.014inch的故障數(shù)據(jù)，進(jìn)行傅里葉變換，用MATLAB軟件得出其時(shí)域與傅里葉變換頻譜波形如圖2-圖4所示。

根據(jù)傅里葉變換頻譜圖，我們可以看出軸承發(fā)生了故障，但不能看出其故障程度，且由于滾動(dòng)軸承發(fā)生小故障時(shí)產(chǎn)生的噪聲與故障信號(hào)頻譜辨別不清，這不利于我們提取滾動(dòng)軸承的故障信號(hào)。同時(shí)噪聲也會(huì)對(duì)檢測(cè)故障信號(hào)中的線性調(diào)頻信號(hào)產(chǎn)生干擾。

3.2 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換頻譜分析

選階數(shù)p=1，對(duì)初始信號(hào)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，得到分?jǐn)?shù)階傅里葉變換頻譜圖，如圖5-圖7所示。

從圖中我們可以看出：相較于傅里葉變換，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換使得故障信號(hào)的故障頻率峰值變得更加清晰，比傅里葉變換的精度更高。

4? 結(jié)語

本文對(duì)基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的滾動(dòng)軸承故障診斷進(jìn)行了研究，解析了分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的定義，剖析了滾動(dòng)軸承故障信號(hào)中的線性調(diào)頻信號(hào)，并給出了分析線性調(diào)頻信號(hào)的方法，成功地用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換對(duì)各種故障的信號(hào)進(jìn)行分析。

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