田常青

勾股定理是連結(jié)代數(shù)與幾何的橋梁，是研究幾何圖形問題的重要工具，但是很多學(xué)生在運(yùn)用勾股定理解題時(shí)常常發(fā)生這樣那樣的錯(cuò)誤，分析其原因主要是因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)沒有準(zhǔn)確的理解勾股定理的定義以及運(yùn)用定理的內(nèi)容，為了能夠幫助學(xué)生避免在應(yīng)用勾股定理是發(fā)生錯(cuò)誤，本文對(duì)學(xué)生在運(yùn)用勾股定理解題時(shí)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行剖析。

一、不能正確的分辨直角三角形的直角邊與斜邊

針對(duì)直角邊與斜邊的錯(cuò)誤，以兩道題為例，為學(xué)生剖析在這個(gè)問題上學(xué)生經(jīng)常發(fā)生的錯(cuò)誤。

例1：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=3，那么AC的長為多少？

很多學(xué)生受到勾股定理“勾三股四弦五”的影響，看到題目第一反應(yīng)就是AC一定是斜邊，想當(dāng)然的認(rèn)為BC=3，AB=4，那么AC一定等于5。而正確的解答過程應(yīng)該如下：首先審好題，題中說到∠C=90°，那么最長的斜邊應(yīng)該是AB，當(dāng)學(xué)生辨別好直角邊與斜邊后在運(yùn)用勾股定理解題，可得出AC=。

例2：在直角三角形ABC中，∠B=90°，a=6，B=8，求c邊長。

很多學(xué)生對(duì)勾股定理沒有掌握好，只知道a2+b2=c2，看到題目后，直接套入公式，得出c==10。這是錯(cuò)誤的解法。題目中已知∠B=90°，所以b為斜邊，直角邊是a、c，弄清直角邊與斜邊后在運(yùn)用a2+b2=c2來解題。正確解法為：由∠B=90°可知b為斜邊，由a2+c2=b2來計(jì)算，c2=b2-a2=28，所以c=2。

二、忽略勾股定理的應(yīng)用條件

勾股定理僅限于在直角三角形中使用，有些學(xué)生對(duì)該定理的應(yīng)用有所混淆，認(rèn)為勾股定理在任何三角形中都適用，這樣就使得學(xué)生在解題中發(fā)生了錯(cuò)誤。

例3：已知三角形ABC，a、b、c為該三角形的三邊長，且長度為整數(shù)，a=3，b=4，那么c長為多少？

學(xué)生看到題目中出現(xiàn)了3、4，想當(dāng)然認(rèn)為c=5。勾股定理只能在直角三角形中使用，學(xué)生看到3和4，受到勾股定理“勾三股四弦五”的影響，就把該三角形認(rèn)為是直角三角形，得出了第三邊長為5。而正切的解法如下：由三角形三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊”得出c的長度為1

例4：在三角形ABC中，已知AB>AC，AC=8，BC=3，三邊長均為整數(shù)，求AB的長度。

學(xué)生在解答這題時(shí)，錯(cuò)誤的認(rèn)為因?yàn)锳B>AC，AC=8，BC=3，所以AB>AC>BC，根據(jù)勾股定理得出AC2+BC2=AB2=73，得出AB=。

題目中并沒有明確的說明該三角形是否為直角三角形，而是一般三角形，勾股定理只在直角三角形中才成立，所以這道題不能用勾股定理來解答，需要用一般三角形三邊關(guān)系定理來解題。該題的正確解答如下：由三角形三邊關(guān)系得出AC

三、未分清勾股定理及其逆定理

勾股定理是指“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”。而勾股定理的逆定理是指“如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形”。勾股定理的逆定理是判斷三角形是否是直角三角形、銳角三角形以及鈍角三角形最簡單的方法。但是，很多學(xué)生經(jīng)常會(huì)將勾股定理與勾股定理逆定理相混淆，未注意二者的區(qū)別，導(dǎo)致在解題的過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例5：已知三角形ABC的三邊a=5、b=12、c=13，試問三角形ABC是什么三角形？

此題乍一看a、b、c的長分別為5、12、13，剛好符合52+122=132，即a2+b2=c2，由勾股定理可判斷，三角形ABC為直角三角形。

這是錯(cuò)誤的理解。勾股定理是已知三角形為直角三角形，從而能夠推導(dǎo)直角三角形三邊關(guān)系為a2+b2=c2，這是直角三角形的性質(zhì)定理。而三角形的逆定理是由三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系推算出該三角形是直角三角形，這是直角三角形的判定定理。所以這道題的推導(dǎo)過程應(yīng)該是這樣的：因?yàn)?2+122=132，即a2+b2=c2，所以由勾股定理的逆定理可知，該三角形為直角三角形。三角形的定理與逆定理千萬不可混淆。簡單的說勾股定理是由“形”推導(dǎo)得出“數(shù)”，逆定理是由“數(shù)”推算得出“形”。

四、分類討論問題

有一些題目需要分情況討論，而學(xué)生在解題時(shí)只考慮到一種情況，因而導(dǎo)致解題不全面。

例6：在直角三角形ABC中，∠A=90°，兩條直角邊分別為20與15，AD⊥BC，求BD的長。

大多學(xué)生只考慮到圖1這種情況，由勾股定理得BC=25，根據(jù)等面積法可得AD=12，再由勾股定理得出BD=16。

此題有兩種情況，只想到AB=20而忽略了還有一種情況是AC=20，所以此題還有一種結(jié)果，即為：當(dāng)AC=20時(shí)，如圖2，BC=25，等面積法得AD=12，根據(jù)右股定理得BD=9。

結(jié)束語：綜上所述，學(xué)生在使用勾股定理解題時(shí)會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤多是由于學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)沒有很好的掌握勾股定理的前提條件，未留心只有在三角形為直角三角形時(shí)才可使用該定理，對(duì)斜邊、直角邊所有的多種分類理解不透徹，沒有更好的理解勾股定理與逆定理的聯(lián)系與區(qū)別等。因此，在日常學(xué)習(xí)中，教師一定要對(duì)勾股定理的基礎(chǔ)知識(shí)加以強(qiáng)化，針對(duì)學(xué)生經(jīng)常發(fā)生錯(cuò)誤的知識(shí)點(diǎn)加強(qiáng)練習(xí)才能有效的避免發(fā)生錯(cuò)誤。

參考文獻(xiàn)

[1]廖銘.初中數(shù)學(xué)勾股定理的解題研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（16）：133.