紀(jì)定春

摘?要：導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，在高考數(shù)學(xué)中具有廣泛而重要的應(yīng)用價(jià)值.通過“裂項(xiàng)”構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義，對近年高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的求“不定式”極限試題進(jìn)行解析與評注.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);不定式極限;導(dǎo)數(shù)定義;裂項(xiàng)

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0002-03

一、導(dǎo)數(shù)定義與不定式極限簡介

導(dǎo)數(shù)是高中重要的知識模塊，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).目前，大部分高中數(shù)學(xué)教師并不重視對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，正如章建躍先生所講：“當(dāng)下的概念課教學(xué)多是一種走‘形式化’的過程，以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的現(xiàn)象比較普遍.”不僅僅是數(shù)學(xué)概念的教學(xué)已經(jīng)“形式化”，而是對數(shù)學(xué)本質(zhì)的學(xué)習(xí)已大幅度削弱，如對數(shù)學(xué)中的定義、定理、命題、推理等的學(xué)習(xí).大部分的數(shù)學(xué)教學(xué)都是知識講解與解題訓(xùn)練相結(jié)合，這對短期內(nèi)提升學(xué)生學(xué)習(xí)成績是有意義的，但是從長遠(yuǎn)來看，勢必會嚴(yán)重阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，應(yīng)該值得深思.接下來，將對導(dǎo)數(shù)的定義和不定式極限作簡單的介紹.

導(dǎo)數(shù)定義?設(shè)函數(shù)y=f（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率為

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx.

則稱它是函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作y=f ′（x0），即

f ′（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx.

這就是函數(shù)定義在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù).

不定式極限?若函數(shù)f和g滿足：

（1）當(dāng)limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=0;（2）limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=∞.

求（1）或（2）中l(wèi)imx→x0f（x）g（x）極限，或可化為上述極限的，簡稱不定式極限.

注意?可以將x→x0換成x→x+0、x→x-0、x→±∞、x→∞，都是不定式極限，此處不再給出.

二、巧用“裂項(xiàng)”構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義求不定式極限

1.含參數(shù)恒成立問題

例1?（2016年四川高考理科卷第21題）設(shè)函數(shù)

f（x）=ax2-a-lnx，其中a∈R.

（1）略;

（2）確定a的所有可能取值，使得f（x）>1x-e1-x在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立（e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)）.

解析?問題（1）解答，略.

對問題（2），求f（x）>1x-e1-x在區(qū)間（1，+∞）恒成立時(shí)，a的取值范圍，等價(jià)求ax2-a-lnx>1x-e1-x在區(qū)間（1，+∞）恒成立時(shí)，a的取值范圍.

分離參數(shù)，可得a>x-1-e1-x+lnxx2-1.令g（x）=x-1-e1-x+lnxx2-1，要使得不等式在區(qū)間（1，+∞）恒成立，則需要a>g（x）max.

利用導(dǎo)數(shù)，可以研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性和最值（極值）點(diǎn)，可得函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，故g（x）max=limx→1+g（x）=limx→1+x-1-e1-x+lnxx2-1.

因?yàn)閘imx→1+（x2-1）=0，limx→1+（x-1-e1-x+lnx）=0，所以該極限為不定式極限，此處考慮使用“裂項(xiàng)”法.

因?yàn)?x2-1=12（1x-1-1x+1），所以

limx→1+x-1-e1-x+lnxx2-1=12limx→1+（x-1-e1-x+lnxx-1-x-1-e1-x+lnxx+1）

=12limx→1+x-1-e1-x+lnxx-1-12limx→1+x-1-e1-x+lnxx+1.

顯然12limx→1+x-1-e1-x+lnxx+1=02=0，

故limx→1+g（x）=12limx→1+x-1-e1-x+lnxx-1.

令h（x）=x-1-e1-x+lnx，顯然h（1）=0.

則有12limx→1+x-1-e1-x+lnxx-1=12limx→1+h（x）-h（1）x-1.

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，limx→1+g（x）=12limx→1+h′（x）=12.

于是a的取值范圍為[12，+∞）.

評注?該方法是巧用“裂項(xiàng)”法，將極限為零的分式結(jié)構(gòu)裂項(xiàng)，把原極限問題轉(zhuǎn)化成正常極限和導(dǎo)數(shù)的定義，通過導(dǎo)數(shù)定義將分式結(jié)構(gòu)極限問題?；烧綐O限問題，利用導(dǎo)數(shù)定義作為橋梁，建立分式極限與整式極限之間的關(guān)系，充分體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想.

2.求參數(shù)的最值問題

例2?（2015年北京高考數(shù)學(xué)理科卷第18題）已知函數(shù)f（x）=ln1+x1-x.

（1）略;（2）略;

（3）設(shè)實(shí)數(shù)k使得f（x）>k（x+x33）對x∈（0，1）恒成立，求k的最大值.

解析?問題（1）、（2）解答，略.對問題（3），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，有x+x33>0恒成立，考慮分離參數(shù)k.由f（x）>k（x+x33），得ln1+x1-x>k（x+x33）.

因?yàn)閘n1+x1-x=ln（1+x）-ln（1-x），所以分離參數(shù)k，可得k<ln（1+x）-ln（1-x）x+3-1x3.

令g（x）=ln（1+x）-ln（1-x）x+3-1x3，利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)g（x）在區(qū)間x∈（0，1）上的單調(diào)性，可得函數(shù)g（x）在區(qū)間x∈（0，1）上為單調(diào)遞增函數(shù).故k<g（x）min=limx→0+g（x）.

顯然，limx→0+[ln（1+x）-ln（1-x）]=0，limx→0+（x+3-1x3）=0.可知該極限為一個(gè)不定式極限，此處考慮使用“裂項(xiàng)”法構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義來解決.

因?yàn)?x+3-1x3=1x-xx2+3，

所以limx→0+g（x）=limx→0+ln（1+x）-ln（1-x）（x+3-1x3）

=limx→0+（ln（1+x）-ln（1-x）x

-x[ln（1+x）-ln（1-x）]x2+3）.

顯然，limx→0+x[ln（1+x）-ln（1-x）]x2+3=0，所以limx→0+g（x）=limx→0+ln（1+x）-ln（1-x）x.

令函數(shù)h（x）=ln（1+x）-ln（1-x），則有h（0）=ln（1+0）-ln（1-0）=0.

所以limx→0+g（x）=limx→0+h（x）-h（0）x-0，該極限為函數(shù)h（x）在x=0處的導(dǎo)函數(shù)的定義.

故limx→0+g（x）=limx→0+h′（x）=h′（0）=2，即k的最大值為2.

評注?該方法巧用“裂項(xiàng)”法，將分母結(jié)構(gòu)裂成兩項(xiàng)之差，然后構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義，把不定式（分式）極限問題轉(zhuǎn)化成整式極限問題，展現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)定義在求不定式極限問題中的重要作用和地位，充分地體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想.

3.求參數(shù)的取值范圍

例3?（2015年山東理科數(shù)學(xué)第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（1）略;（2）若x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍.

解析?問題（1）解答，略.對于問題（2），對x>0，f（x）≥0成立，等價(jià)對任意x>0，ln（x+1）+a（x2-x）≥0恒成立.考慮分離參數(shù)a，則需分類討論.

當(dāng)x=1時(shí)，顯然有l(wèi)n2+a（1-1）=ln2≥0，即a∈R.

當(dāng)0<x<1時(shí)，分離參數(shù)可得a≤ln（1+x）x（1-x）.

當(dāng)x>1時(shí)，分離參數(shù)可得a≥ln（1+x）x（1-x）.

令g（x）=ln（1+x）x（1-x），原問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求g（x）在0<x<1上的最小值與g（x）在x>1上的最大值.利用導(dǎo)數(shù)，可以研究函數(shù)g（x）的性質(zhì)，可得函數(shù)g（x）在0<x<1上單調(diào)遞增，故g（x）的最小值為limx→0+g（x）=limx→0+ln（1+x）x（1-x）.

函數(shù)g（x）在x>1上單調(diào)遞增，故g（x）的最大值為limx→+∞g（x）=limx→+∞ln（1+x）x（1-x）.

先研究g（x）的最小值.顯然，limx→0+ln（1+x）=0，limx→0+x（1-x）=0，該極限為不定式極限，此處考慮使用“裂項(xiàng)”法構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義解決.

因?yàn)?x（1-x）=1x-1x-1，

所以limx→0+ln（1+x）x（1-x）

=limx→0+（1x-1x-1）ln（1+x）

=limx→0+ln（1+x）x-limx→0+ln（1+x）x-1.

顯然，可得limx→0+ln（1+x）x-1=0，

故limx→0+g（x）=limx→0+ln（1+x）x（1-x）=limx→0+ln（1+x）x.

令h（x）=ln（1+x），則h（0）=ln（1+0）=0.

即limx→0+ln（1+x）x=limx→0+h（x）-h（0）x-0=limx→0+h′（x）=1.

現(xiàn)在來看g（x）在x>1上的最大值，顯然limx→+∞g（x）=limx→+∞ln（1+x）x（1-x）=0.

綜上所述，參數(shù)a的取值范圍為[0，1].

評注?該方法巧用分類參數(shù)法和“裂項(xiàng)”法，將一個(gè)不定式極限問題轉(zhuǎn)化成可求極限的導(dǎo)數(shù)定義問題，降低了思維的難度，同時(shí)也說明高中數(shù)學(xué)教學(xué)要注重概念的教學(xué).

例4?（2011年全國數(shù)學(xué)卷第21題）已知函數(shù)f（x）=alnxx+1+bx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.

（1）略;

（2）如果當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，f（x）>lnxx-1+kx，求k的取值范圍.

解析?問題（1）解答，略.對于問題（2），由問題（1）可知，a=1，b=1.

問題等價(jià)于當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，lnxx+1+1x>lnxx-1+kx，求k的范圍.

分離參數(shù)k，可得k<-2xlnx+x2-1x2-1.

令g（x）=-2xlnx+x2-1x2-1，可得k<g（x）min.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）性質(zhì)，可知函數(shù)g（x）的最小值在x=1處取得，所以g（x）min=limx→1g（x）.

由limx→1（x2-1）=0，limx→1（-2xlnx+x2-1）=0，可知limx→1g（x）為不定式極限，此處考慮用“裂項(xiàng)”法構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義解決.

由1x2-1=12（1x-1-1x+1），可得

limx→1g（x）=12limx→1（1x-1-1x+1）（-2xlnx+x2-1）

=12limx→1-2xlnx+x2-1x-1-12limx→1-2xlnx+x2-1x+1.

因?yàn)?2limx→1-2xlnx+x2-1x+1=0，所以

limx→1g（x）=12limx→1-2xlnx+x2-1x-1.

令g（x）=-2xlnx+x2-1，可得g（1）=0.

limx→1g（x）=12limx→1g（x）-g（1）x-1

=12limx→1g′（x）=0.

綜上所述，k的取值范圍為（-∞，0].

評注?該方法先分離參數(shù)，再用“裂項(xiàng)”法將不定式極限轉(zhuǎn)化成導(dǎo)數(shù)的定義，最后利用導(dǎo)數(shù)的定義將一個(gè)分式極限轉(zhuǎn)化成整式極限.

李邦河院士在獲得華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的報(bào)告中就指出：“數(shù)學(xué)玩的是概念，而不是純粹的技巧.”在一些難題、技巧上下功夫，是一種舍本逐末的做法.數(shù)學(xué)概念作為學(xué)生數(shù)學(xué)生長發(fā)育的細(xì)胞，是建構(gòu)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)生長發(fā)育“干細(xì)胞”的教學(xué)，因此數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是注重?cái)?shù)學(xué)概念的教學(xué).導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)，要深度地剖析導(dǎo)數(shù)的定義內(nèi)涵與外延、導(dǎo)數(shù)定義的構(gòu)成要素、導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)等，讓學(xué)生深刻地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與代數(shù)形式.

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)該是注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，是數(shù)學(xué)方法、思想、精神的深度教學(xué)，而不是走“形式化”的解題教學(xué).正如著名的數(shù)學(xué)家米山國臧所說：“縱然把數(shù)學(xué)知識忘記了，但數(shù)學(xué)的精神、思想、方法也會深深地銘刻在頭腦里.”數(shù)學(xué)知識是具體化的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)中的精華部分，掌握了數(shù)學(xué)的方法、思想和精神也就統(tǒng)領(lǐng)了數(shù)學(xué)知識.例如，在導(dǎo)數(shù)定義的教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生體會分割的思想、極限（逼近）的思想、整體到局部的思想、從特殊到一般的思想等，讓學(xué)生的思維方式由靜態(tài)向動態(tài)轉(zhuǎn)變，感受無限的魅力，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍，陶維林.概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過程[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2010，49（10）：25-29，33.

[2]李邦河.數(shù)的概念的發(fā)展[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2009，48（8）：1-3，9.

[3]米山國藏.數(shù)學(xué)精神、思想和方法[M].成都：四川教育出版社，1986.

[責(zé)任編輯：楊惠民]