摘?要：本文通過三例說明在向量問題中找出軌跡圓對解題的作用.

關(guān)鍵詞：向量;圓

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0058-02

收稿日期：2020-05-05

作者簡介：俞新龍（1976-），男，浙江省紹興人，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

向量作為高考必考的知識點已經(jīng)成為高考命題者嘗試創(chuàng)新命題的一個重要陣地.近年來在高考和各省市模擬卷中出現(xiàn)了不少有新意的考題，其中有一些考題若能挖掘出題中隱含的“圓”，則問題便能較好的求解.下面舉三例說明.

例1?（2018年浙江高考9）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為π3，向量b滿足b2-4e·b+3=0，則|a-b|的最小值是（）.

A.3-1B.3+1C.2D.2-3

解析我們知道向量是數(shù)形結(jié)合體，故一般向量問題都會有兩種解決辦法：代數(shù)法和幾何法.下面我們就從這兩個方面來進行求解.

代數(shù)法（坐標法）：如圖1建立平面直角坐標系，設(shè)e=OE=（1，0），a=OA，b=OB=（x，y），則可知A在射線y=3x（x>0）上.又根據(jù)等式b2-4e·b+3=0可得（x-2）2+y2=1，所以知B在以2，0為圓心、1為半徑的圓上.|a-b|的幾何意義是線段AB的長，即圓（x-2）2+y2=1上任意一點B與射線y=3x（x>0）上任意一點A的距離，故|a-b|的最小值顯然是圓心2，0到射線y=3xx>0的距離3減去圓半徑1.

故答案為A.

幾何法：因為b2-4e·b+3=b2-4e·b+3e2=b-e·b-3e=0，即BE·BD=0，

所以BE⊥BD，如圖1所示.則可知B在以ED為直徑的圓上，即得B的軌跡為（x-2）2+y2=1，其余做法同代數(shù)法，略.

評注?代數(shù)法中的圓從方程中能夠直觀得到，但幾何法中的圓需要結(jié)合直角三角形直角頂點一定在以斜邊為直徑的圓上這個性質(zhì).

例2?已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足|c-a|=12，則a+b-c+2c-b的最小值為.

解析?如圖2，以O(shè)A=a，OB=b，則a+b-c+2c-b=CD+2CB.設(shè)C（x，y），由|c-a|=12得（x-1）2+y2=14.則根據(jù)阿波羅尼斯圓知可在AD上找一點E（1，m）使CD=2CE，即x-12+（y-1）2=2x-12+（y-m）2，化簡得x2-2x+y2-8m-23y+4m2+23=0，此方程與點C軌跡方程是一樣的，則8m-23=0，4m2+23=34，解得E（1，14），則a+b-c+2c-b=2CE+2CB≥2BE，故a+b-c+2c-b≥52.

評注?阿波羅尼斯圓的正用不難，難的是逆用甚至變用，一般求兩條比例為1：λ（λ≠1）的線段和就可以試著用阿波羅尼斯圓的性質(zhì)進行求解.

例3?已知平面向量a，b，c滿足c=4，a·c-a=b·c-b=3，當a與b的夾角最大時，a·b=.

解析設(shè)c=OC=（4，0），由條件等式a·c-a=b·c-b=3整理得a-c22=b-c22=1，即知向量a與b是2，0為圓心、1為半徑的圓上的兩個動點.記a=OA，b=OB，如圖3所示，OA、OB與圓相切時向量a與b的夾角最大，此時A（32，32），B（32，-32），所以a·b=94-34=32.

評注?配方是個難點，從配方式子中看出軌跡是圓是關(guān)鍵點.

參考文獻：

[1]韓文美.你若盛開，“隱圓”自來[J].高中生之友，2019（1-2）：64-65.

[責任編輯：李?璟]