陳華 何佳怡 袁致成 吳奔潮 彭浩天

[摘 要]線性代數(shù)是理工科大學(xué)數(shù)學(xué)教育中的重要組成部分，這門(mén)學(xué)科對(duì)很多備戰(zhàn)考研的學(xué)子來(lái)說(shuō)，最深刻的感覺(jué)就是抽象、概念多、定理多、性質(zhì)多、關(guān)系多。學(xué)生如果對(duì)基礎(chǔ)概念與解題方法掌握不熟練，拿到題就容易不知所措。通常情況下，線性代數(shù)的考題的跨度比較大。一個(gè)題目，表面上看，只是考某一章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)，而處理時(shí)可能會(huì)涉及多個(gè)章節(jié)里面的知識(shí)點(diǎn)，這給考生復(fù)習(xí)帶來(lái)了困難和阻力。但同時(shí)線性代數(shù)的題型和解題方法比較固定，有規(guī)律可循。

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù);考研數(shù)學(xué);特征值;矩陣

[基金項(xiàng)目]2018年度江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“理工類院校高等數(shù)學(xué)研究性教學(xué)與學(xué)生人文素質(zhì)培養(yǎng)的有機(jī)融合與實(shí)踐”（c-b/2018/01/06）;2018年度江蘇省高校數(shù)學(xué)教研會(huì)課題“新工科大學(xué)生人文素質(zhì)培養(yǎng)在數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課程建設(shè)中的有機(jī)融合與實(shí)踐”（JSSXJY201803）;2019年度中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助“數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課研究性教學(xué)探討與實(shí)踐”（2019B52314）

[作者簡(jiǎn)介]陳 華（1978—），男，江蘇揚(yáng)中人，博士，河海大學(xué)理學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事非線性控制、受限控制、輪式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制、分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)控制研究。

[中圖分類號(hào)] G642[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1674-9324（2020）33-0324-02[收稿日期] 2020-03-09

一、引言

矩陣特征值是線性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是考研的熱點(diǎn)，考生在復(fù)習(xí)這塊內(nèi)容時(shí)應(yīng)認(rèn)真仔細(xì)。首先，要理解特征值、特征向量的概念，掌握求矩陣特征值、特征向量的方法;其次，要理解矩陣相似的概念，掌握相關(guān)性質(zhì)，弄明白矩陣能進(jìn)行相似對(duì)角化的條件，掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法;最后，要熟悉應(yīng)用實(shí)對(duì)稱矩陣特征值、特征向量的特殊性質(zhì)，掌握用正交矩陣將實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣的方法。

矩陣的特征值與特征向量，每年考大題時(shí)，都會(huì)涉及這章內(nèi)容，且重點(diǎn)考查三個(gè)方面：一是特征值與特征向量的定義、性質(zhì)及求法;二是矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題;三是實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)及正交相似對(duì)角化的問(wèn)題。

下面通過(guò)對(duì)歷年真題的研究分析，對(duì)真題考點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，對(duì)考研復(fù)習(xí)是大有裨益的。

二、方陣的特征值與特征向量基本概念

定義1 設(shè)A是n階矩陣，若存在數(shù)λ和n維非零列向量x，使得關(guān)系式

Ax=λx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

成立。那么，數(shù)λ可稱為矩陣A的特征值，非零向量x稱為矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。

顯然，（1）式可等價(jià)為

（A-λE）x=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

即

上式是以λ為未知數(shù)的一元n次方程，稱為矩陣A的特征矩陣。其左端式子|A-λE|是λ的n次多項(xiàng)式，記作f（λ），稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式。顯然，A的特征值就是特征方程的解。特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，其個(gè)數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算），因此，n階矩陣A在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)特征值[1]（P120）。

定義2 設(shè)A和B為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得

P-1AP=B

則稱矩陣A和B相似，記作A～B。如果A能與對(duì)角矩陣相似，則稱A可對(duì)角化。

定理1 如果α1，α2，…，αt都是矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量，那么當(dāng)k1α1+k2α2+…+ktαt非零時(shí)，k1α1+k2α2+…+ktαt仍是矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量[2]（P126）。

定理2 設(shè)n階矩陣A=（aij）的特征值為λ1，λ2，…， λn不難證明：

（i）λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann;

（ii）λ1λ2…λn=|A|

由（ii）可知A是可逆矩陣的充分必要條件是它的n個(gè)特征值全不為零。

設(shè)λ=λi為矩陣A的一個(gè)特征值，則由方程

（A-λiE）x=0

可求得非零解x=pi，那么pi便是A的對(duì)應(yīng)于特征值λi的特征向量（若λi為實(shí)數(shù)，則pi可取實(shí)向量;若λi為復(fù)數(shù)，則pi可取復(fù)向量）。[1]（P120）

定理3 如果λ1，λ2，…，λm是矩陣A的互不相同的特征值，α1，α2，…，αm分別是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，則α1，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)[2]（P135）。

定理4 如果A是n階矩陣，λi是A的m重特征值，則對(duì)應(yīng)于λi的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)不超過(guò)m個(gè)[3]。

定理5 n階方陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量[4]（P264）。

推論：若λ是n階矩陣A的特征值，非零向量α為矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量，則是K1A+K2E，Am，A-1，A*，f（A）的特征值;非零向量α是K1A+K2E，Am，A-1，A*，f（A）的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，如下表所示。

A K1A+K2E Am A-1 A* f（A）

λ k1λ+k2 λm f（λ）

α α α α α α

三、歷年考研題中特征值與特征向量的應(yīng)用

例1（2018數(shù)學(xué)一）：設(shè)2階矩陣A有兩個(gè)不同的特征值，α1，α2是A的線性無(wú)關(guān)的特征向量，且滿足A2（α1+α2）=α1+α2，則|A|=? ? ? ? ? ? 。

答案：-1。

解析：設(shè)Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，則A2（α1+α2）=A2α1+ A2α2=λ12α1+λ22α2=α1+α2。由于α1，α2線性無(wú)關(guān)，故λ12=1，λ22=1，從而可得A的兩個(gè)不同的特征值為1，-1，故|A|=λ1λ2=-1。

例2（2015數(shù)學(xué)二）：設(shè)3階矩陣A的特征值為2，-2，1，B=A2-A+E，其中E為3階單位矩陣，則行列式|B|=? ? ? ? ? ? 。

答案：21。

解析：由題設(shè)可知的特征值為4，4，1，所以矩陣B的特征值為3，7，1。

|B|=3×7×1=21。

四、結(jié)論

矩陣的特征值和特征向量相關(guān)知識(shí)在近幾年來(lái)的線性代數(shù)考研中應(yīng)用廣泛，除了求解的基本問(wèn)題，還涉及矩陣相似、相似對(duì)角化，以及用正交矩陣將實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣等。本文對(duì)線性代數(shù)中的重要知識(shí)點(diǎn)特征值和特征向量進(jìn)行了詳細(xì)的歸納總結(jié)，并通過(guò)歷年考研題進(jìn)行分析，靈活應(yīng)用相關(guān)的定理和推論，達(dá)到了簡(jiǎn)化步驟、快速解決較復(fù)雜問(wèn)題的效果。學(xué)生學(xué)習(xí)并熟練掌握矩陣特征值的性質(zhì)，對(duì)考研數(shù)學(xué)解題起到不可忽視的作用。

參考文獻(xiàn)

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[2]李永樂(lè).線性代數(shù)輔導(dǎo)講義[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2010：126.

[3]向以華.矩陣的特征值與特征向量的研究[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，25（3）：135-138.

[4]楊莉.即學(xué)即用 線性代數(shù)十五講[M].北京：中國(guó)時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社，2009：264.

Matrix Eigenvalue Properties and Its Application in the Mathematical Problem Solving

of Postgraduate Entrance Examination

CHEN Huaa， HE Jia-yib， YUAN Zhi-chengc， WU Ben-chaoc， PENG Hao-tianc

（a. College of Science， b. College of Internet of Things Engineering， c. College of Mechanical and Electrical Engineering， Hohai University， Changzhou， Jiangsu 213022， China）

Abstract： Linear algebra is an important part of mathematics education in science and engineering universities. For many students preparing for the postgraduate entrance examination， the most profound feeling of this subject is that it is very abstract， and has many concepts and theorems， many properties， and many relationships. If students are not proficient in basic concepts and problem-solving methods， they are easily at a loss. Under normal circumstances， the span of linear algebra exam questions is relatively large. On the surface， a question is only about the knowledge points of a certain chapter， but actually it involves the knowledge points of many chapters， which brings difficulties to the preparation of students. But at the same time， the problem types and problem-solving methods of linear algebra are relatively fixed， and there are rules to follow.

Key words： linear algebra; mathematics of postgraduate entrance examination; eigenvalue; matrix