郭尊光, 李明濤, 常利利, 張 娟, 梁 娟, 邢國榮, 張 偉, 孫桂全3,,?

(1- 中北大學(xué)大數(shù)據(jù)學(xué)院，太原 030051; 2- 太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系，太原 030008;3- 中北大學(xué)理學(xué)院，太原 030051; 4- 太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024;5- 山西大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)研究所，太原 030006;6- 疾病防控的數(shù)學(xué)技術(shù)與大數(shù)據(jù)分析山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原 030006)

1 引言

傳染病自古以來就是危害人類健康的主要敵人之一，預(yù)防和控制傳染病仍然是當(dāng)今世界的重要課題.冠狀病毒是一類具有包膜、基因組為線性單股正鏈的RNA 病毒，這種病毒會引起疾病，患者表現(xiàn)為從普通感冒到重度肺部感染等不同臨床癥狀.根據(jù)武漢市衛(wèi)健委通報(bào)的武漢肺炎情況，新型冠狀病毒是一類β 屬的冠狀病毒，有包膜、呈圓形或橢圓形顆粒，直徑60–140 nm.感染新型冠狀病毒主要表現(xiàn)發(fā)熱、干咳、乏力.潛伏期為1–14 天，多為一周左右.重癥患者出現(xiàn)呼吸困難，嚴(yán)重者表現(xiàn)為急性呼吸窘迫綜合征、膿毒癥休克及多器官功能衰竭.新型冠狀病毒肺炎已被納入《中華人民共和國傳染病防治法》規(guī)定的乙類傳染病.為防止新型冠狀病毒肺炎疫情傳播和擴(kuò)散，最大限度的保障人民群眾的健康，為加強(qiáng)全國面上的疫情防控工作.先后有30 個(gè)省啟動(dòng)了突發(fā)公共衛(wèi)生事件的一級響應(yīng).世衛(wèi)組織總干事2020 年3 月13 日在2019 冠狀病毒病(COVID-19)疫情媒體通報(bào)會上的講話中提及，全球確診病例已超過13 萬人，死亡病例達(dá)5000 多例，波及120 多個(gè)國家，已形成全球大流行的事實(shí).

為研究新型冠狀病毒(COVID-19)的傳播規(guī)律，全世界的醫(yī)務(wù)工作者和生物數(shù)學(xué)的科研工作者已投入其中.在武漢發(fā)生新型冠狀病毒肺炎初期，Lin 等人[1]分析了最初的425 例確診病例的臨床資料，確定了新冠肺炎的一些流行病學(xué)特征.Chinazzi 等人[2]研究了旅游限制對新型冠狀病毒爆發(fā)傳播的影響，使用全球集合種群疾病傳播模型來預(yù)測旅行限制對該流行病的國內(nèi)和國際傳播的影響.Lin 等人[3]考慮了個(gè)人的行為反應(yīng)和政府的行動(dòng)，提出了一種SEIRNDC 概念模型，研究了疫情的發(fā)展趨勢.黃森忠等人[4]運(yùn)用SEIR 模型對新冠肺炎疫情進(jìn)行了預(yù)測并對控制策略的效率進(jìn)行了評估.唐三一等人[5]提出了新型的七倉室的離散隨機(jī)模型，分析了不同的參數(shù)對疾病二次爆發(fā)風(fēng)險(xiǎn)的影響并給出了相應(yīng)策略.嚴(yán)閱等人[6]提出了基于時(shí)滯微分方程的傳染病模型并模擬了疫情的趨勢.王霞等人[7]構(gòu)建了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型對武漢周邊地區(qū)何時(shí)復(fù)工進(jìn)行了研究.Yang 等人[8]提出了一種修正的SEIR 模型，得到中國的疫情將在2 月底達(dá)到頂峰，4 月底呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢，如果推遲5 天實(shí)施封城中國大陸的疫情規(guī)模將會擴(kuò)大3 倍.還有一些醫(yī)務(wù)工作者進(jìn)行了臨床研究[9–14].然而，現(xiàn)有的研究都是基于常微分方程、時(shí)滯常微分方程或是統(tǒng)計(jì)方法和臨床病例研究，沒有考慮到個(gè)體的空間擴(kuò)散.事實(shí)上，空間擴(kuò)散模型更能反應(yīng)新型冠狀病毒在時(shí)間和空間上的傳播動(dòng)力學(xué)規(guī)律.因此，本文主要是基于空間擴(kuò)散的新型冠狀病毒肺炎模型研究武漢的早期傳播情況.

本文主要研究了武漢市2020 年1 月5 日之前的新型冠狀病毒傳染病的傳播動(dòng)力學(xué)，本文的傳染病數(shù)據(jù)是2019 年12 月8 日至2020 年1 月5 日武漢市首批105 例確診病例(數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[1]).在傳播早期，國家和武漢市還沒有采取嚴(yán)格措施，可以認(rèn)為人在空間上是自由擴(kuò)散的.基于此我們建立了含有空間擴(kuò)散的傳染病模型，結(jié)合現(xiàn)有的文獻(xiàn)及各種新聞報(bào)道，基于早期染病者數(shù)據(jù)和最小二乘法，我們對反應(yīng)擴(kuò)散方程進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)，找到了模型的最優(yōu)參數(shù)，分析了染病者數(shù)量和潛伏者的擴(kuò)散系數(shù)的敏感性.

本文的結(jié)構(gòu)如下：第2 部分基于空間擴(kuò)散建立了反應(yīng)擴(kuò)散傳染病模型，并對模型的參數(shù)進(jìn)行了解釋，第3 部分針對模型我們給出了主要結(jié)果，包含參數(shù)估計(jì)和參數(shù)的敏感性分析，第4 部分給出了結(jié)論.

2 模型

在新型冠狀病毒傳染病傳播的初期，不考慮人口動(dòng)力學(xué)，即沒有自然出生和死亡.目前所見傳染源主要是新型冠狀病毒感染的患者，且潛伏期具有傳染性，傳染途徑主要是接觸傳播.根據(jù)流行病學(xué)特征，我們將研究人群分為：易感者S、潛伏者E、染病者I、移出者R 四類.這四類人群的轉(zhuǎn)移關(guān)系可用倉室圖1 表示.

圖1: 易感者、潛伏者、染病者及移出者倉室轉(zhuǎn)移圖

考慮到空間各倉室個(gè)體的空間擴(kuò)散，我們建立如下傳染病模型

模型(1)各符號解釋，見表1.

表1: 模型符號說明

在新冠肺炎傳播的過程中，易感者與潛伏者或染病者接觸會有一定概率的被傳染.被傳染的初期會有一定的潛伏期，經(jīng)過潛伏期后轉(zhuǎn)化為染病者，經(jīng)過治療或自我免疫會有一定比例的移出.接下來我們結(jié)合數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行研究.

3 主要結(jié)果

3.1 參數(shù)估計(jì)

本節(jié)將對模型(1)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，方法基于最小二乘估計(jì).具體過程是先將模型離散化，對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)使用向前差分，空間二階導(dǎo)數(shù)使用中心差分格式，得到模型離散格式

模擬時(shí)，我們將武漢市假設(shè)成一個(gè)方形區(qū)域[0,102]×[0,102]，選取網(wǎng)格剖分

xi=ih, i=0,1,2,··· ,M, Mh=102,

yj=jh, j =0,1,2,··· ,M, Mh=102,

tn=100nτ, n=0,1,2,··· ,N.

研究武漢市早期新冠肺炎情況，可以考慮齊次紐曼邊界條件(即零流邊界)，邊界的離散格式為：左邊界

S0,j=S2,j, E0,j=E2,j, I0,j=I2,j, R0,j=R2,j, 0 ≤j ≤M.

右邊界

SM,j=SM?2,j, EM,j=EM?2,j, IM,j=IM?2,j, RM,j=RM?2,j, 0 ≤j ≤M.

上邊界

Si,M=Si,M?2, Ei,M=Ei,M?2, Ii,M=Ii,M?2, Ri,M=Ri,M?2, 0 ≤i ≤M.

下邊界

Si,0=Si,2, Ei,0=Ei,2, Ii,0=Ii,2, Ri,0=Ri,2, 0 ≤i ≤M.

模擬時(shí)將1500 萬人口均勻分布在方形區(qū)域除邊界的內(nèi)部格點(diǎn)上，共有內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為101×101 = 10201，所以初始時(shí)刻每個(gè)格點(diǎn)上易感者數(shù)量約為1470，基于目前的流行病學(xué)調(diào)查，潛伏期為1–14 天，多為3–7 天(出自中國疾控中心文件《新型冠狀病毒肺炎公眾防護(hù)指南(第2 版)》[15]).我們?nèi)摲谥形粩?shù)(5 天)得到δ = 0.2，染病者的移出率[16]γ = 0.05，由于新型冠狀病毒肺炎初期人們對疾病了解甚少，潛伏者可能表現(xiàn)輕微癥狀使其活動(dòng)能力較正常人低，會引起潛伏者的擴(kuò)散速度低于易感者，染病者以發(fā)熱、干咳、乏力為主要表現(xiàn)，一部分患者同時(shí)伴有鼻塞、流涕、咽痛和腹瀉等癥狀，會導(dǎo)致染病者的擴(kuò)散速度小于潛伏者的擴(kuò)散速度，參考移出者的實(shí)際情況，我們假設(shè)這四類人的擴(kuò)散速率有關(guān)系dS> dE> dR> dI.模擬時(shí)分別取dS= 10, dE= 9, dR= 1.5, dI= 1，假設(shè)潛伏者的傳染率與染病者的傳染率相等，在首個(gè)患者被確診時(shí)假設(shè)已有潛伏者數(shù)量E =5.模擬時(shí)時(shí)間步長和空間步長分別取為τ =0.01 和h=1.

記

圖2: 單點(diǎn)爆發(fā)下局部模型的染病者和真實(shí)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化情況

圖3: 潛伏者隨時(shí)間在空間中的分布情況

圖4: 染病者隨時(shí)間在空間中的分布情況

3.2 參數(shù)敏感性分析

為了更好的控制傳染病的傳播，需要研究模型中各個(gè)參數(shù)對染病者數(shù)量影響的大小.若其余參數(shù)固定的情況下改變某一個(gè)參數(shù)的值引起染病者數(shù)量的相對改變量較大，此時(shí)稱染病者數(shù)量對該參數(shù)敏感性較大，否則，稱敏感性較低.本節(jié)我們將研究染病者累計(jì)數(shù)量對對潛伏者擴(kuò)散系數(shù)dE、潛伏者的傳染率β1、染病者的傳染率β2的敏感性.由于這三個(gè)系數(shù)耦合在模型中，所以我們可以通過改變參數(shù)的數(shù)值，對模型進(jìn)行數(shù)值求解，通過得到的整個(gè)空間上的染病者累計(jì)數(shù)量來研究敏感性的大小.敏感性指數(shù)的大小可以對疾病的防控措施提供一等的理論支持，對于敏感性較大的參數(shù)，疾病的防控要特別重視，敏感性的大小可以通過圖形反應(yīng)出來，下面我們將對潛伏者的擴(kuò)散率、潛伏者和染病者的傳染率進(jìn)行敏感性分析，并根據(jù)敏感性的大小提出相應(yīng)的預(yù)防和控制措施.

3.2.1 針對潛伏者的擴(kuò)散率dE 的敏感性分析

任何一種人際傳播的傳染病，人口的自由擴(kuò)散速度會影響傳染病的傳播.傳染病防控重點(diǎn)是管理好傳染源，切斷傳染途徑，針對新型冠狀病毒肺炎傳染病，由于潛伏者也可以傳播，所以傳染源包括染病者和潛伏者.由于潛伏者前期無癥狀或是癥狀不明顯，所以潛伏者不容易被發(fā)現(xiàn)，但潛伏者的擴(kuò)散會引起傳染病的傳播，防控潛伏者的傳播對疫情的防空非常重要.

我們固定參數(shù)值dS=10, dI=1, dR=1.5, β1=0.1316, β2=0.1316, δ =0.2, γ =0.05，潛伏者的擴(kuò)散率dE分別取dE= 0, dE= 1 和dE= 10，得到2019 年12 月8 日到2010 年1 月5 日的敏感性.我們將結(jié)果展示在圖5 中，為了更易看清楚染病者數(shù)量隨潛伏者擴(kuò)散系數(shù)的敏感性，將圖5 中(a)的部分局部放大得(b)圖.這幅圖中清楚的看到，隨著潛伏者擴(kuò)散系數(shù)的增加染病者數(shù)量也在增加，再次說明控制潛伏者的空間移動(dòng)對傳染病的防控至關(guān)重要，若傳染病的早期及時(shí)控制潛伏者的空間擴(kuò)散可以有效降低染病者的數(shù)量.為居家隔離等措施提供了理論依據(jù).

圖5: 染病者數(shù)量對潛伏者的擴(kuò)散系數(shù)的敏感性

3.2.2 針對傳染率β1 的敏感性分析

我們固定參數(shù)值dS= 10, dE= 9, dI= 1, dR= 1.5, β2= 0.1316, δ = 0.2, γ =0.05，潛伏者的傳染率β1分別取0.07, 0.1 和0.13，得到2019 年12 月8 日到2010 年1 月5日的敏感性.結(jié)果展示在圖6 和圖7 中.從圖中可以看出染病者數(shù)量隨潛伏者的傳染率增大而增加，所以為防止新冠肺炎的傳播應(yīng)控制潛伏者的傳染率，盡量減少與潛伏者的接觸.所以早期居家隔離，減少去公共場所，減少走親訪友都是有效降低接觸率的有效措施.

3.2.3 針對傳染率β2 的敏感性分析

我們固定參數(shù)值dS= 10, dE= 9, dI= 1, dR= 1.5, β1= 0.1316, δ =0.2, γ = 0.05，染 病 者 的 傳 染 率β2分 別 取0.12, 0.15 和0.18，得 到2019 年12 月8 日到2010 年1 月5 日的敏感性，結(jié)果展示在圖8 和圖9 中.從圖中同樣可以看出，染病者的數(shù)量隨染病者傳染率的增大而顯著增加.在這個(gè)意義上而言，如何降低染病者的傳染率是傳染病防控的重要課題.比如外出佩戴口罩，減少無必須去醫(yī)院的次數(shù)，對染病者及時(shí)進(jìn)行集中隔離，對染病者接觸人員進(jìn)行有效追蹤及時(shí)隔離等措施都可以有效控制染病者的傳染率.

圖6: 染病者數(shù)量對潛伏者傳染率β1 的敏感性

圖8: 染病者數(shù)量對潛伏者傳染率β2 的敏感性

圖9: 染病者數(shù)量對潛伏者傳染率β2 的敏感性(2020 年1 月3 日的空間分布)，從這三幅圖中可以看出隨β2 的增加，每個(gè)固定位置的染病者數(shù)量同樣會升高，并且會有更多的空間位置出現(xiàn)染病者，意味著新冠肺炎會隨傳染率的升高而向空間四面八方擴(kuò)散

4 結(jié)論

本文研究了新型冠狀病毒(COVID-19)肺炎在武漢早期傳播情況.在武漢封城之前，所有個(gè)體在空間上都是自由的，可以認(rèn)為個(gè)體是隨機(jī)游走，在空間上存在著擴(kuò)散行為.基于此，我們建立了含有空間擴(kuò)散的反應(yīng)擴(kuò)散方程傳染病模型，在假設(shè)潛伏者和染病者的傳染率相同的情況下，通過參數(shù)估計(jì)尋找到了最優(yōu)的傳染率.對模型采用有限差分格式進(jìn)行了數(shù)值模擬，染病者和潛伏者隨時(shí)間在空間中的傳播情況我們通過三維圖形進(jìn)行了呈現(xiàn).并對潛伏者的擴(kuò)散系數(shù)、潛伏者的傳染率和染病者的傳染率進(jìn)行了敏感性分析，結(jié)果顯示對擴(kuò)散系數(shù)敏感性偏小，對傳染率的敏感性較大，所以在疫情防控方面要不僅要控制患者的擴(kuò)散，而且需要重視如何降低潛伏者和染病者的傳染率.因此，為了有效防控新型冠狀病毒肺炎，應(yīng)該盡量不去傳染病爆發(fā)的區(qū)域，避免直接與患者的接觸，做好充分的保護(hù)措施，減少外出暴露機(jī)會.對于突發(fā)傳染病，早發(fā)現(xiàn)早隔離，及時(shí)切斷傳染源，有效降低傳染率是防控防治傳染的重要舉措.

本文聚焦于研究傳染病的早期傳播特征，即沒有干預(yù)措施或者干預(yù)措施不明顯的時(shí)間階段.而對于后期防控和治療的介入，所構(gòu)建的反應(yīng)擴(kuò)散模型是需要修正的.比如，居家隔離使得人群在空間無法形成擴(kuò)散，進(jìn)而使得人群以不同的社區(qū)尺度被隔離，需要研究傳染病在社區(qū)是如何形成傳染的.在這種情況下，基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的集合種群模型更適合去描述傳染病的傳播.