魏瑛源, 唐應(yīng)輝

(1- 河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅張掖 734000; 2- 四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都 610068)

1 引言

冷貯備可修系統(tǒng)的研究中，已有文獻(xiàn)通常都假定修理設(shè)備是完全可靠的.事實(shí)上，由于磨損和老化等情況，在修理故障部件的過程中，修理設(shè)備也可能會發(fā)生失效，此時(shí)需要被更換后再繼續(xù)工作.另外，部件發(fā)生故障后，要先判斷故障原因，或者修理工不在崗(休假或去做輔助性工作)，使得故障部件不可能立即得到修理.基于這樣的實(shí)際情況，文獻(xiàn)[1–12]把“修理有延遲”或“修理設(shè)備可發(fā)生失效且可更換”的策略引入到可修系統(tǒng)的研究中，這是一類更一般的可修系統(tǒng)，既有實(shí)際應(yīng)用背景，又有理論分析意義.

文獻(xiàn)[13]在假定部件的工作壽命、故障部件的修理時(shí)間和修理延遲時(shí)間都具有概率密度函數(shù)的條件下(這個(gè)假定條件較苛刻)，研究了修理有延遲的兩個(gè)不同型部件組成的冷貯備可修系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)首次故障前時(shí)間和系統(tǒng)的可用度等可靠性指標(biāo).文獻(xiàn)[14]研究了修理設(shè)備可更換的兩個(gè)不同型部件組成的冷貯備可修系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)和修理設(shè)備的一些可靠性指標(biāo).正是在這些文獻(xiàn)研究的綜合啟發(fā)下，本文討論修理設(shè)備可更換且修理有延遲的冷貯備可修系統(tǒng)，其中故障部件的修理時(shí)間和修理延遲時(shí)間、修理設(shè)備失效后的更換時(shí)間都服從任意分布(不一定是連續(xù)型)，擺脫了對一般連續(xù)型分布的依賴性，從模型方面極大地推廣了已有文獻(xiàn)的研究，使得研究的系統(tǒng)更具一般性，其分析也更復(fù)雜.我們使用Markov 更新過程理論、全概率分解技術(shù)、L 變換和LS 變換，給出了系統(tǒng)和修理設(shè)備的可靠性指標(biāo)的表達(dá)式.系統(tǒng)的描述如下：

1) 在系統(tǒng)正常工作期間，修理設(shè)備處于冷關(guān)閉狀態(tài)，不發(fā)生失效；

2) 工作部件發(fā)生故障時(shí)，貯備部件立即去替換而轉(zhuǎn)為工作狀態(tài)，轉(zhuǎn)換開關(guān)是完全可靠的，狀態(tài)轉(zhuǎn)換是瞬時(shí)完成的；

3) 當(dāng)一個(gè)部件故障時(shí)，若修理設(shè)備處于關(guān)閉狀態(tài)，則該部件的修理有延遲；在先故障部件的修理延遲時(shí)間內(nèi)或修理時(shí)間內(nèi)故障的部件，其修理沒有延遲，但是需要等待先故障部件修復(fù)好后再接受修理；

4) 當(dāng)修理設(shè)備失效時(shí)，正在接受修理的部件需等待其更換后再繼續(xù)接受修理，修理設(shè)備更換后立即轉(zhuǎn)為工作狀態(tài)，部件已修理過的時(shí)間依然有效；

5) 當(dāng)部件被修復(fù)好后，若此時(shí)系統(tǒng)中無待修部件，則修理設(shè)備自行關(guān)閉，否則，接著修理待修部件；

6) 修復(fù)好的部件，或進(jìn)入冷貯備狀態(tài)(若此時(shí)另一個(gè)部件正在工作)，或立即進(jìn)入工作狀態(tài)(若此時(shí)另一個(gè)部件已故障)；

7) 故障部件被修復(fù)好后，完全恢復(fù)其功能；

8) Xk, Yk, Wk, U, V, k =1,2 相互獨(dú)立.

其中

注1本文一律用g(s)和g?(s)分別表示G(t)的Laplace-Stieltjes 變換(簡稱LS 變換)和Laplace 變換(簡稱L 變換)，即

G(k)(t)表示G(t)的k 重卷積，且G(0)(t)=1, t ≥0；Z0表示t=0 時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)；?(s)表示復(fù)變數(shù)s 的實(shí)部.

2 更新過程

系統(tǒng)的狀態(tài)定義為：狀態(tài)0(1)表示部件1(2)正在工作，部件2(1)開始冷貯備；狀態(tài)2(3)表示部件2(1)正在工作，部件1(2)開始修理延遲；狀態(tài)4(5)表示部件2(1)正在工作，部件1(2)開始被修理；狀態(tài)6(7)表示部件2(1)正在待修，部件1(2)開始被修理.

用Z(t) = j 表示系統(tǒng)在時(shí)刻t 處于狀態(tài)j, j = 0,1,··· ,7.由負(fù)指數(shù)分布的無記憶性可知，進(jìn)入狀態(tài)0,1,··· ,7 的時(shí)刻都是系統(tǒng)的再生點(diǎn).用Tn表示系統(tǒng)第n 次發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移的時(shí)刻，T0= 0；令Zn= Z(Tn+0)表示系統(tǒng)在第n 次狀態(tài)轉(zhuǎn)移時(shí)所進(jìn)入的狀態(tài).容易驗(yàn)證，{Zn, Tn; n=0,1,···}是一個(gè)狀態(tài)空間為E ={0,1,··· ,7}的齊次Markov 更新過程，{Z(t), t ≥0}是一個(gè)齊次半Markov 過程.由半Markov 核的定義

Qij(t)=P{Zn+1=j, Tn+1?Tn≤t|Zn=i}, i,j =0,1,··· ,7, n=0,1,··· ,

可以計(jì)算出所有半Markov 核為

為下面討論問題方便，引進(jìn)四個(gè)虛設(shè)狀態(tài)：

狀態(tài)8(9)：部件1(2)正處于修理延遲，部件2(1)開始待修；

狀態(tài)10(11)：部件1(2)正在被修理，部件2(1)開始待修.

由于故障部件的修理延遲時(shí)間和修理時(shí)間均服從任意分布，因而進(jìn)入狀態(tài)8, 9, 10, 11的時(shí)刻不是系統(tǒng)的再生點(diǎn).顯然狀態(tài)6,7,··· ,11 都是系統(tǒng)的故障狀態(tài)，且

對以上各式作LS 變換，并記

另外，記

3 系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)

3.1 系統(tǒng)首次故障前時(shí)間的分布

令

如果一個(gè)可修系統(tǒng)一旦發(fā)生故障將產(chǎn)生災(zāi)難性后果，那么系統(tǒng)首次故障前時(shí)間的分布及其均值是該系統(tǒng)最重要的可靠性數(shù)量指標(biāo).另外，根據(jù)Ψi(t)，能得到系統(tǒng)在時(shí)刻t 以前都正常的概率為1 ?Ψi(t) = P{δ > t|Z0= i}，這也是可修系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間(0,t]內(nèi)不故障的概率.

定理1對?(s)>0，Ψi(t)的LS 變換為

其中

且系統(tǒng)首次故障前的平均時(shí)間為

其中

證明 由Ψ2(t)的定義及系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移關(guān)系，得

Ψ2(t)=P{δ ≤t,T1≤t|Z0=2}+P{δ ≤t,T1>t|Z0=2}

=Q24(t)?Ψ4(t)+Q28(t).

類似地，可得

Ψ0(t)=Q02(t)?Ψ2(t), Ψ1(t)=Q13(t)?Ψ3(t), Ψ3(t)=Q35(t)?Ψ5(t)+Q39(t),

Ψ4(t)=Q41(t)?Ψ1(t)+Q4,10(t), Ψ5(t)=Q50(t)?Ψ0(t)+Q5,11(t).

對各式兩端作LS 變換，可得(1)式.再由

可得系統(tǒng)首次故障前平均時(shí)間.

3.2 系統(tǒng)的可用度

對t ≥0，令

定理2對?(s)>0，Ai(t)的L 變換為

其中

η(s)=(1 ?q41q13q37q74)(1 ?q50q02q26q65)?(q41q13q35+q45)(q50q02q24+q54),

η0(s)=q02η2(s)+e0η(s), η1(s)=q13η3(s)+e1η(s),

η2(s)=(q24+q26q65q54)(e1+q41q13e3)+(q41q13q35+q45)(q24e0?q54e2)+(1 ?q41q13q37q74)(q26q65e0+e2),

η3(s)=(q35+q37q74q45)(e0+q50q02e2)+(q50q02q24+q54)(q35e1?q45e3)+(1 ?q50q02q26q65)(q37q74e1+e3),

η4(s)=(q41q13q35+q45)(e0+q50q02e2)+(1 ?q50q02q26q65)(e1+q41q13e3),

η5(s)=(1 ?q41q13q37q74)(e0+q50q02e2)+(q50q02q24+q54)(e1+q41q13e3),

η6(s)=q65η5(s), η7(s)=q74η4(s),

且系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為

與初始狀態(tài)i 無關(guān)，i ∈E，其中

證明 令則由Ai(t)的定義及系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移關(guān)系，得

A2(t)=P{X(t)=1,T1≤t|Z0=2}+P{X(t)=1,T1>t|Z0=2}

=Q24(t)?A4(t)+Q26(t)?A6(t)+1 ?Q24(t)?Q26(t).

類似地，可得

A0(t)=Q02(t)?A2(t)+1 ?Q02(t), A1(t)=Q13(t)?A3(t)+1 ?Q13(t),

A3(t)=Q35(t)?A5(t)+Q37(t)?A7(t)+1 ?Q35(t)?Q39(t),

A4(t)=Q41(t)?A1(t)+Q45(t)?A5(t)+1 ?Q41(t)?Q4,10(t),

A5(t)=Q50(t)?A0(t)+Q54(t)?A4(t)+1 ?Q50(t)?Q5,11(t),

A6(t)=Q65(t)?A5(t), A7(t)=Q74(t)?A4(t).

于是再使用L’Hospital 法則，可得(3)式.

3.3 系統(tǒng)在有限區(qū)間(0,t]內(nèi)發(fā)生故障的平均次數(shù)

定理3對?(s)>0，Mi(t)的LS 變換為

其中

ρ0(s)=q02ρ2(s), ρ1(s)=q13ρ3(s), ρ6(s)=q65ρ5(s), ρ7(s)=q74ρ4(s),

ρ2(s)=(q41q13q35+q45)(q24q5,11?q28q54)+(q41q13q39+q4,10)(q24+q26q65q54)+(1 ?q41q13q37q74)(q26q65q5,11+q28),

ρ3(s)=(q50q02q24+q54)(q35q4,10?q39q45)+(q50q02q28+q5,11)(q35+q37q74q45)+(1 ?q50q02q26q65)(q37q74q4,10+q39),

ρ4(s)=(q41q13q35+q45)(q50q02q28+q5,11)+(1 ?q50q02q26q65)(q41q13q39+q4,10),ρ5(s)=(q50q02q24+q54)(q41q13q39+q4,10)+(1 ?q41q13q37q74)(q50q02q28+q5,11),

且系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)故障頻度為

與初始狀態(tài)i 無關(guān)，i ∈E，其中η 由定理2 給出，

證明 類似于定理2 的證明.

3.4 系統(tǒng)在時(shí)刻t 等待修理的概率

系統(tǒng)在時(shí)刻t 等待修理是指在時(shí)刻t 兩部件都故障，且都沒有被修理.因此，考察時(shí)刻0 系統(tǒng)由狀態(tài)i 出發(fā)，在時(shí)刻t 等待修理的概率，可進(jìn)一步明確系統(tǒng)的不可用度.對t ≥0，令

Di(t)=P{系統(tǒng)在時(shí)刻t 等待修理|Z0=i}, i ∈E.

定理4對?(s)>0，Di(t)的L 變換為

其中

ξ0(s)=q02ξ2(s), ξ1(s)=q13ξ3(s), ξ6(s)=q65ξ5(s), ξ7(s)=q74ξ4(s),

ξ2(s)=(q24+q26q65q54)q41q13(q39?q37)+(q28q26)(1 ?q41q13q37q74?q41q13q35q54?q45q54),

ξ3(s)=(q35+q37q74q45)q50q02(q28?q26)+(q39q37)(1 ?q50q02q26q65?q50q02q24q45?q54q45),

ξ4(s)=(q41q13q35+q45)q50q02(q28?q26)+(1 ?q50q02q26q65)q41q13(q39?q37),

ξ5(s)=(q50q02q24+q54)q41q13(q39?q37)+(1 ?q41q13q37q74)q50q02(q28?q26),

且穩(wěn)態(tài)概率為

與初始狀態(tài)i 無關(guān)，i ∈E，其中η 由定理2 給出，

證明 類似于定理2 的證明.

3.5 修理延遲時(shí)間對δ0, A0 的影響分析

討論修理延遲時(shí)間的改變對系統(tǒng)首次故障前平均時(shí)間和系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度的影響程度.假設(shè)：

(i) 部件1 和部件2 是兩個(gè)同型部件，壽命服從參數(shù)為λ 的負(fù)指數(shù)分布；

(ii) α=0，即修理設(shè)備完全可靠，不發(fā)生失效；

(iv) 部件故障后的修理時(shí)間服從參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布；

(v) Z0=0，即時(shí)刻0 系統(tǒng)從狀態(tài)0(部件1 在工作，部件2 開始冷貯備)開始.

用δ0和A0分別表示系統(tǒng)首次故障前平均時(shí)間和系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度.

表1: μ和γ(γ =)的不同值所對應(yīng)的δAd 的值

表1: μ和γ(γ =)的不同值所對應(yīng)的δAd 的值

μγ 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0 0.05 0.5344 0.1 0.9957 0.9949 0.9860 0.9697 0.9348 0.8352 0.7043 0.3842 0.2 0.9953 0.9903 0.9739 0.9444 0.8846 0.7321 0.5635 0.2657 0.5 0.9914 0.9824 0.9538 0.9048 0.8125 0.6104 0.4271 0.1700 1.0 0.9831 0.9659 0.9143 0.8334 0.7000 0.4643 0.2949 0.1322 2.0 0.9751 0.9504 0.8800 0.7778 0.6250 0.3878 0.2361 0.1120 5.0 0.9673 0.9358 0.9860 0.7333 0.5714 0.3407 0.2029 0.0995 10.0 0.9597 0.9221 0.9860 0.6970 0.5313 0.3088 0.1815 0.0952 20.0 0.9563 0.9161 0.9860 0.6825 0.5161 0.2974 0.1742 0.9545 0.9127 0.9860 0.6748 0.5082 0.2916 0.1704 0.0931

表2: μ和γ(γ =)的不同值所對應(yīng)的AAd 的值

表2: μ和γ(γ =)的不同值所對應(yīng)的AAd 的值

μγ 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0 0.05 0.9958 0.1 0.9996 0.9987 0.9952 0.9915 0.9900 0.9921 0.9942 0.9884 0.2 0.9992 0.9973 0.9904 0.9829 0.9792 0.9822 0.9858 0.9673 0.5 0.9984 0.9946 0.9808 0.9653 0.9563 0.9585 0.9635 0.8837 1.0 0.9959 0.9866 0.9524 0.9130 0.8851 0.8770 0.8801 0.7479 2.0 0.9918 0.9734 0.9074 0.8333 0.7778 0.7507 0.7475 0.5576 5.0 0.9838 0.9480 0.8280 0.7059 0.6195 0.5718 0.5612 0.3098 10.0 0.9604 0.8790 0.6545 0.4811 0.3798 0.3280 0.3150 0.1769 20.0 0.9238 0.7838 0.4847 0.3137 0.2303 0.1908 0.1810 0.8583 0.6442 0.3131 0.1849 0.1287 0.1038 0.0977 0.0951

3.6 修理設(shè)備的失效率和更換率對系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的影響分析

取λ1= 0.2, λ2= 0.5, μ1= 2, μ2= 1, γ1= 3, γ2= 5，圖1 至圖4 給出了以α 為自變量的δ0, A0, M 和D 的變化圖形，四條曲線分別對應(yīng)于β =0.1, β = 1, β =2, β =5.從圖1 至圖4 可以看出，δ0, A0, M 和D 隨著α 的增大而減小，并逐漸趨于穩(wěn)定值；另外，當(dāng)修理設(shè)備失效后的平均更換時(shí)間β 越來越短時(shí)，δ0, A0,M 和D 有所增大.

圖1: 以α 為自變量的δ0 的圖形

圖2: 以α 為自變量的A0 的圖形

圖3: 以α 為自變量的M 的圖形

圖4: 以α 為自變量的D 的圖形

4 修理設(shè)備的可靠性指標(biāo)

4.1 修理設(shè)備的閑期和“廣義忙期”

定理5對?(s)>0，則R(t)和R0(t)的LS 變換為

且修理設(shè)備閑期的平均長度為

其中

對上式作LS 變換，可得(8)式.再由

可得修理設(shè)備閑期的平均長度.

且

為“廣義忙期”的平均長度.

修理設(shè)備的“廣義忙期”這段時(shí)間是修理設(shè)備連續(xù)繁忙的時(shí)間，它反映了系統(tǒng)中修理設(shè)備的工作強(qiáng)度.均值E[b]表示系統(tǒng)經(jīng)過長期運(yùn)行，大約有E[b]長的時(shí)間修理設(shè)備是繁忙的，它是反映修理能力的配備是否合理的一個(gè)數(shù)量指標(biāo).

定理6對?(s)>0，則B(t)的LS 變換為

且“廣義忙期”的平均長度為

其中p1, p2由定理5 給出，

證明

從而得

類似于定理5 的證明，可得

作LS 變換，得(9)式.再由

得(10)式.

對t ≥0，令

且穩(wěn)態(tài)概率為

證明 根據(jù)模型的描述，修理設(shè)備的閑期與“廣義忙期”構(gòu)成一個(gè)延遲交替更新過程，故根據(jù)延遲交替更新過程理論[16,17]可得.

4.2 修理設(shè)備的不可用度

由單部件組成的可修系統(tǒng)是最簡單的可修系統(tǒng)，當(dāng)部件工作時(shí)系統(tǒng)工作，當(dāng)部件故障時(shí)系統(tǒng)故障.假設(shè)部件的壽命U 服從參數(shù)為α 的負(fù)指數(shù)分布U(t) = 1 ?e?αt, t ≥0，部件故障后立即被修理，其修理時(shí)間V 服從任意分布V(t), t ≥0，平均修理時(shí)間為β.部件修復(fù)好后，其壽命與新部件相同，并立即進(jìn)入工作狀態(tài)，進(jìn)一步假設(shè)時(shí)刻0 部件是新的，且U 與V 相互獨(dú)立.對t ≥0，令

而且有穩(wěn)態(tài)結(jié)果

下面，我們討論修理設(shè)備在時(shí)刻t 發(fā)生失效且處于更換狀態(tài)的概率，即修理設(shè)備的不可用度.

對t ≥0，令

Φ(t)=P{修理設(shè)備在時(shí)刻t 發(fā)生失效且處于更換狀態(tài)}.

定理8對?(s)>0，Φ(t)的L 變換為

且穩(wěn)態(tài)概率為

證明 1) 令τj, bj分別表示修理設(shè)備的第j 個(gè)閑期與第j 個(gè)“廣義忙期”，j =1,2,···.根據(jù)模型的描述，修理設(shè)備在其閑期內(nèi)是不會發(fā)生失效的，而且在每個(gè)“廣義忙期”開始的時(shí)刻和結(jié)束的時(shí)刻都正常，其壽命仍然為U，所以修理設(shè)備在時(shí)刻t 發(fā)生失效且處于更換狀態(tài)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)刻t 落入某個(gè)“廣義忙期”中，并且修理設(shè)備在時(shí)刻t 發(fā)生失效，從而有

其中

S(t)=P{0 ≤t

2) 對t ≥0，有

4.3 在廣義忙期內(nèi)修理設(shè)備修復(fù)好的故障部件數(shù)

定理9令K 表示在“廣義忙期”內(nèi)修理設(shè)備修復(fù)好的故障部件數(shù)，則其概率分布函數(shù)為

且均值為

根據(jù)

定理得證.

4.4 修理設(shè)備發(fā)生失效所需的更換次數(shù)

定理10對?(s)>0，M(t)的LS 變換為

且穩(wěn)態(tài)更換頻度為

證明 1) 令

則有

2) 因?yàn)樾蘩碓O(shè)備僅在“廣義忙期”中發(fā)生失效，所以

對各式兩端分別作LS 變換，整理可得(17)式.

5 結(jié)論

本文在由兩個(gè)不同型部件組成的冷貯備可修系統(tǒng)中，考慮了“修理有延遲”和“修理設(shè)備在修理故障部件的過程中可能發(fā)生失效而需要被更換”的策略，使得推廣的模型更符合實(shí)際應(yīng)用背景.利用Markov 更新過程理論，得到了一些可靠性指標(biāo)，并且通過數(shù)值實(shí)例分析了修理延遲時(shí)間和修理設(shè)備的失效率對相關(guān)指標(biāo)的影響，使得所得的理論結(jié)果有更清晰的應(yīng)用意義.

致謝：本文作者對審稿人表示衷心感謝！