宋嘉奇 陶海紅

(西安電子科技大學(xué)雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

1 引言

根據(jù)天線手冊[1]，在天線陣列中心到 2 D2/λ的空間范圍內(nèi)的信號源被認為是近場源，其中D是天線孔徑， λ為工作波長。大多數(shù)參數(shù)估計問題均假設(shè)信號源位于天線遠場區(qū)域，而在很多實際應(yīng)用中，存在感興趣的信號位于天線陣列近場區(qū)域這一情況，此時應(yīng)用傳統(tǒng)遠場的參數(shù)估計算法會導(dǎo)致性能下降，甚至完全失效。

隨著陣列信號處理技術(shù)的不斷發(fā)展，近場源的參數(shù)估計問題越來越受到廣大學(xué)者的關(guān)注。文獻[2]提出了一種角度-距離的兩維MUSIC(MUltiple SIgnal Classification)方法，有效實現(xiàn)了近場源的超分辨參數(shù)估計，但兩維譜峰搜索的運算量巨大。文獻[3]引入了4階累積量矩陣，并基于ESPRIT(Estimation of Signal Parameter via Rotational Invariance Technique)算法提出了總體最小二乘的ESPRIT-like算法，然而構(gòu)建累積量矩陣同樣需要耗費巨大的運算量。此外，文獻[4]提出了一種經(jīng)典的基于2階統(tǒng)計量的GESPRIT(Generalized ESPRIT)近場源定位算法。但此算法存在一半的陣列孔徑損失，因此估計精度有所降低并且可估計信源的個數(shù)減少了1/2[5]。

非圓信號廣泛應(yīng)用于雷達、通信等領(lǐng)域，如BPSK(Binary Phase Shift Keying), PAM(Pulse Amplitude Modulation)以及ASK(Amplitude Shift Keying)等。近年來，大量參數(shù)估計算法采用非圓信號以提高估計性能[6,7]，但將非圓信號應(yīng)用到近場源定位問題中的相關(guān)工作還比較少。文獻[8]利用非圓信號和對稱線陣的性質(zhì)，提出了一種實值非圓降秩算法(Real-Valued Non-Circular RAnk RE-duction, RVNCRARE)。文獻[9]將多維搜索問題解耦成兩個一維搜索問題，依次估計近場源的角度和距離參數(shù)，有效避免了多維搜索。文獻[10]提出了一種非圓GESPRIT(Non-Circular Generalized ESPRIT, NCGESPRIT)算法，首先利用信號非圓特性構(gòu)造增廣的陣列數(shù)據(jù)矩陣，其次利用GESPRIT方法估計出信號的到達角度，最后通過對距離譜函數(shù)的一維搜索得到信源的距離估計。該算法只需構(gòu)造2階統(tǒng)計量矩陣和一維搜索，運算復(fù)雜度低，同時避免了GESPRIT算法帶來的孔徑損失。西北工業(yè)大學(xué)的況梅東等人[11]在此基礎(chǔ)上提出了針對部分極化的非圓近場參數(shù)估計算法。寧波大學(xué)的陳華等人[12,13]利用對稱均勻線陣以及非圓信號特性提出了兩種遠近場混合源的非圓參數(shù)估計新方法。本文基于降秩定理和多項式求根方法，對近場目標的角度和距離參數(shù)分別進行估計，有效降低了構(gòu)造高階統(tǒng)計量和多維參數(shù)搜索所帶來的計算復(fù)雜度。通過與GESPRIT算法和NCGESPRIT算法的性能對比，證明所提算法增加了可分辨信號源的個數(shù)，參數(shù)估計性能較好，且運算復(fù)雜度較低。

2 近場源信號模型

假設(shè)在近場區(qū)域存在K個獨立窄帶非圓信號同時照射到空間陣列上，空間陣列如圖1所示，由N =2M +1個全向天線陣元組成，各個陣元的位 置 坐 標 可 以 表 示 為[-Md,-(M -1)d,··,0,··,(M -1)d,Md]， 其中 d為陣元間距。

不失一般性，選取對稱陣列的中心陣元(0號陣元)為參考陣元，則 t時 刻第 m個陣元的接收信號xm(t)可以表示為

其中， sk(t)表 示第 k 個 入射信號， nm(t)為 第 m個陣元在 t時刻的噪聲， τmk表 示 sk(t)在 第 m個陣元相對于參考陣元的傳播時延，具體的傳播時延表達式為

其中， θk和 rk是 sk(t)的角度和距離參數(shù)。由于傳播時延表達式過于復(fù)雜，不便于計算，根據(jù)菲涅爾近似[2]，傳播時延可以近似為

其中，

因此，式(1)的接收信號 xm(t)可以簡化為

圖 1 近場參數(shù)估計示意圖Fig. 1 Schematic diagram of near-field parameter estimation

將天線陣列接收信號的數(shù)據(jù)改寫成矩陣形式，可以表示為

其中，x(t)=[x-M(t),x-M+1(t),··,x0(t),··,xM-1(t),xM(t)]T為陣列接收數(shù)據(jù)矩陣，上標T表示對矩陣取轉(zhuǎn)置。n(t)=[n-M(t),n-M+1(t),··,n0(t),··,nM-1(t),nM(t)]T為 加性噪聲矩陣。 A表示陣列的導(dǎo)向矢量矩陣，其詳細形式為

近 場 導(dǎo) 向 矢 量a(θk,rk)=[ak,-M,ak,-M+1,··,s(t)=[s1(t),s2(t),··,sK(t)]T表示近場非圓信號矩陣，根據(jù)入射信號的非圓特性，信號矩陣 s (t)可表示為

其 中 ， s0(t)=[s0,1(t),s0,2(t),··,s0,K(t)]T∈ RK×1,s0,k(t) 是 sk(t) 零 初相的實信號。對角矩陣Ψ =diag{ejψ1,ejψ2,··,ejψK} , ψk為信號 sk(t )的初相。

3 近場非圓信號快速參數(shù)估計算法

為了充分利用信號的非圓特性，對陣列接收的多快拍數(shù)據(jù)進行擴展處理，將陣列輸出矩陣與其共軛進行拼接，得到增廣的陣列接收數(shù)據(jù)矩陣。

其中，上標*表示對矩陣取共軛， Aˉ =[A A*Ψ*]T，表示擴展的導(dǎo)向矢量矩陣Aˉ=[aˉ(θ1,r1,ψ1),aˉ(θ2,r2,ψ2),··,aˉ(θK,rK,ψK)], Nˉ(t)=[N(t) N*(t)]T

其中， US和 UN分別為特征向量張成的信號子空間和噪聲子空間， Λs為 K個主特征值構(gòu)成的對角矩陣， ΛN為 剩余 2N -K個次特征值構(gòu)成的對角矩陣。傳統(tǒng)子空間算法的思路是在角度-距離兩維參數(shù)域 (θ ,r)中 進行譜峰搜索，搜索下列譜函數(shù)的 K個最小值來得到信號源的位置參數(shù)。

但高維譜峰搜索的運算復(fù)雜度大，為了有效降低算法運算復(fù)雜度，本文提出了基于多項式求根的近場非圓信號源快速參數(shù)估計算法，對擴展的導(dǎo)向矢量矩陣進行解耦，然后利用多項式求根方法依次對信號源的角度和距離進行估計。

3.1 角度估計

首先，對近場信號源的角度進行估計，根據(jù)陣列的對稱性對導(dǎo)向矢量矩陣進行解耦，可得

故擴展的近場導(dǎo)向矢量矩陣可以改寫成為

矩陣 C (θ)的維數(shù)取決于陣元個數(shù)，若陣元個數(shù)N =2M +1， 則矩陣 C (θ)為 2( M +1)× 2(M +1)維。以三陣元線陣為例，此時 z =ejγ, γ =-2πd sin θ/λ

由于 UN的 矩陣維數(shù)為 (2 N ×(2N -K))，令UN1=UN(1:N,:) , UN2=UN(N +1:2N,:)。則

求得 M矩陣的行列式表達式后，對多項式det(C(z))=0進行求解，尋找單位圓內(nèi)最靠近單位圓的 K 個點，即為所求的 z的值 z?k，從而根據(jù)式(20)反推出近場源的角度估計值：

定理3 設(shè)Cφ是Βψ,0上的有界復(fù)合算子，則Cφ在Βψ,0上下有界當且僅當存在ε>0，使得Gε=φ(Ωε)是Bn上的一個樣本集，其中

當陣元數(shù)增多時，矩陣行列式的表達式可以通過矩陣分塊來求得

除此之外，也可以利用MATLAB軟件的符號函數(shù)syms來計算。

3.2 距離估計

根據(jù)信號的非圓特性，近場的導(dǎo)向矢量矩陣可以解耦為

表 1 矩陣M中的元素Tab. 1 Elements of matrix M

由于矩陣 Q為2階矩陣，其行列式的表達式很容易得出，利用多項式求根的方法找出最靠近單位圓的K個估計值 f?k，再根據(jù)式(29)反推出信號源的距離參數(shù)。

3.3 算法流程

(1) 獲取接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣 R；

(2) 對 R矩陣進行特征值分解；

(3) 構(gòu)造 M 矩陣，根據(jù)式(19)求出 d et(M(z))的表達式；

(4) 求解 d et(C(z))=0，選取單位圓內(nèi)靠近單位圓的 K 個，根據(jù)由反推出；

(5) 構(gòu)造 Q矩陣，根據(jù)式(25)求出 d et(Q(z))的表達式；

4 性能分析與實驗仿真

4.1 性能分析

4.1.1 可估計信源數(shù)分析

本節(jié)主要討論GESPRIT算法[4]、NCGESPRIT算法[10]以及本文所提算法可分辨信號源的最大數(shù)目。為便于分析，假設(shè)3種算法均采用陣元數(shù)為N =2M +1的均勻線陣。由于噪聲子空間至少需要一個特征向量所張成，且GESPRIT算法會損失1/2的陣列孔徑，故GESPRIT算法最多可分辨 M個信號源；NCGESPRIT算法與本文所提算法利用了信號的非圓特性，擴展了信號子空間，沒有陣列孔徑損失，而需要張成噪聲子空間的特征向量不變，因此可分辨最多 2 M個信號。

4.1.2 運算復(fù)雜度分析

在本節(jié)的計算復(fù)雜度分析中，只討論運算量耗費較大的幾部分，其中包括統(tǒng)計量矩陣的構(gòu)建、特征值分解以及譜峰搜索。假設(shè)角度和距離的搜索范圍分 別 為 θ ∈[-90°,90°] 和 r ∈ [0.62(D3/λ)1/2,2D2/λ]，其中搜索步長為 Δθ和 Δr。陣列的陣元數(shù)目為N，快拍數(shù)為L。GESPRIT算法估計信號源的角度和距離參數(shù)需要構(gòu)建兩個 N ×N的2階累積量矩陣，進行兩次特征值分解，以及兩次譜搜索。NCGESPRIT算法則需要構(gòu)建一個 2 N ×2N的2階累積量矩陣，進行一次特征值分解和兩次譜搜索。本算法構(gòu)建的是一個 2 N ×2N的2階實值累積量矩陣，也需要進行一次特征值分解，無需譜峰搜索。表2詳細給出了3種算法各種運算所需的運算量。

由表2可以看出，所提算法雖然在構(gòu)造統(tǒng)計量矩陣與特征值分解兩部分運算量略高于GESPRIT算法，但本文算法無需譜峰搜索，有效降低了算法的運算復(fù)雜度，而NCGESPRIT算法所需的運算復(fù)雜度最高。

4.1.3 近場非圓信號參數(shù)估計的克拉美羅界

將未知參量寫成矢量記作 η =[θTrTρTσn2]T。其中，θ =[θ1,θ2,··,θK]T是 DOA參數(shù)矢量，r =[r1,r2,··,rK]T是距離參數(shù)矢量，

根據(jù)近場非圓信號模型以及非圓復(fù)高斯信號的假設(shè)，費舍爾信息矩陣具體表達形式為[15]

其中，RY是 Y (t)的協(xié)方差矩陣。由于本文僅關(guān)心信源的位置參數(shù) θ和r，因此根據(jù)文獻[15]的式(10)可得

對于非圓信號，文獻[15]的式(15)由式(33)替換

表 2 算法運算復(fù)雜度比較Tab. 2 Algorithm complexity comparison

相應(yīng)地，可以繼續(xù)推導(dǎo)出

4.2 實驗仿真

為了驗證本文所提算法的有效性及參數(shù)估計性能，將其與GESPRIT算法[4]以及NCGESPRIT算法[10]進行實驗仿真對比。在下列仿真實驗中，假設(shè)天線陣列是由7個各向同性陣元(M =3)組成的對稱均勻線陣，陣元間距 d =λ/4。信源入射到陣列的信號均為等功率、統(tǒng)計獨立的BPSK信號。參數(shù)估計性能通過均方根誤差來衡量，均方根誤差的表達式為

其中， yk表 示信號源的角度參數(shù) θk或 距離參數(shù) rk，示第 n次 試驗中本算法對 yk的估計值，總的蒙特卡洛試驗次數(shù)為200。

4.2.1 仿真實驗1

仿真實驗1主要研究信噪比對參數(shù)估計性能的影 響 。 假 設(shè) 信 號 源 位 于 ( -30°,2λ) , (- 1 0°,3λ),(20°,4λ)，快拍數(shù)為200。信噪比以步長5 dB從0 dB到40 dB逐漸增加。圖2展示的是DOA和距離估計的均方根誤差隨信噪比變化的曲線，同時給出了近場非圓信號參數(shù)估計的CRB。顯然可以看出，由于利用了信號的非圓信息，所提算法與NCGESPRIT的DOA估計性能幾乎一致，距離估計性能略優(yōu)于非圓GESPRIT，且兩者均能很好地趨近CRB。另外，所提算法與NCGESPRIT的性能均明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的GESPRIT算法。

4.2.2 仿真實驗2

仿真實驗2主要研究快拍數(shù)對參數(shù)估計性能的影響。信號源參數(shù)與仿真實驗1相同，信噪比固定為20 dB，快拍數(shù)從10～1000變化。3種算法的估計性能及CRB隨快拍數(shù)的變化曲線圖如圖3所示?？梢钥闯?，隨著快拍數(shù)的增加，角度和距離的估計性能逐漸提高，本文所提算法的RMSE曲線更靠近CRB，說明所提算法具有更高的參數(shù)估計精度。此外，由于本文所提算法與NCGESPRIT算法充分利用了信號的非圓特性，陣列的虛擬孔徑增大，其參數(shù)估計性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的GESPRIT算法，且RMSE曲線能夠很好地趨近CRB。

4.2.3 仿真實驗3

圖 2 RMSE-信噪比曲線圖Fig. 2 RMSE-signal to noise ratio curve

圖 3 RMSE-快拍數(shù)曲線圖Fig. 3 RMSE-snapshots curve

仿真實驗3中，對3種算法的運算復(fù)雜度進行比較。假設(shè)近場區(qū)域僅存在一個信號源，信噪比為20 dB，角度與距離的搜索步長分別為1°和 0 .01λ，圖4為算法運行100次的平均時間隨陣元個數(shù)變化的曲線(CPU：酷睿i5 2.4 GHz，內(nèi)存：8 G)?？梢钥闯?，陣元數(shù)少的時候，所提算法與GESPRIT運算量相當，隨著陣元數(shù)的增加，本算法的運算復(fù)雜度略高于GESPRIT算法，但始終低于NCGESPRIT算法。這是由于所提算法和NCGESPRIT算法構(gòu)造的擴展協(xié)方差矩陣的維數(shù)是GESPRIT算法的兩倍，因此陣元數(shù)增多時所提算法的運算復(fù)雜度略高于傳統(tǒng)GESPRIT算法。同時，由于本文所提算法采用了多項式求根技術(shù)，有效避免了譜搜索，因此運算復(fù)雜度較之于NCGESPRIT相比計算復(fù)雜度更低。

5 結(jié)論

圖 4 三種算法的運算時間比較Fig. 4 Comparison of operation time of three algorithms

本文基于對稱的均勻線陣提出了一種新的近場非圓信號的快速估計算法。通過對近場陣列的多維參數(shù)解耦與多項式求根方法，近場源的DOA和距離參數(shù)依次估計得出。本算法避免了高階統(tǒng)計量的計算與譜峰搜索，有效地降低了運算量，并利用非圓信號提升了參數(shù)估計的自由度。通過仿真實驗結(jié)果驗證可得本算法能夠在提升參數(shù)估計精度的同時將運算復(fù)雜度保持在較低水平，同時可檢測信號源數(shù)目也得到提升。