閆 偉

(廣東省中山市濠頭中學(xué)，528437)

筆者經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),對(duì)于三角形中的最值問題,多數(shù)學(xué)生仍習(xí)慣于依賴復(fù)雜的運(yùn)算和推理過程進(jìn)行解題,解題效力不高.本文從軌跡的視角探求此類最值問題,不但能使問題得以巧妙解答,而且能很好地鍛煉學(xué)生的思維能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、 求角的最值

例1在?ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,已知a+c=2b,則角B的最大值為______.

評(píng)注本題用余弦定理結(jié)合不等式可以求得結(jié)論,但是運(yùn)算相對(duì)復(fù)雜;由條件聯(lián)想橢圓定義,用橢圓的性質(zhì)解題,過程簡(jiǎn)潔明了.

二、求邊的最值或取值范圍

例3在?ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若c=2b,且?ABC的面積為1,則邊a的最小值為______.

評(píng)注本題條件c=2b的幾何背景為阿波羅尼斯圓,上述解答使問題求解更加直觀形象,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性.

例4在銳角?ABC中,BC=2,sinB+sinC=2sinA,則中線AD長(zhǎng)的取值范圍為______.

評(píng)注此題常規(guī)解法相當(dāng)繁瑣,本解法由BC=2以靜制動(dòng),突顯了幾何直觀的優(yōu)越性.

三、求面積的最值

例5在?ABC中,三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2+2c2=8,則?ABC的面積的最大值為______.

評(píng)注本題將AB固定,合理建立坐標(biāo)系,從幾何角度將代數(shù)問題坐標(biāo)化,由點(diǎn)C的軌跡方程將面積轉(zhuǎn)化為邊c的函數(shù),結(jié)合均值不等式求得面積最大值,降低了思維強(qiáng)度,實(shí)現(xiàn)高效解題.

評(píng)注本題仍是利用阿氏圓解題,若借助其他解法,都不如軌跡法運(yùn)算量少、簡(jiǎn)單直觀.

四、求參數(shù)的最值

例7在?ABC中,已知sinA+sinB+λsinAsinB=0,且a+b=2c,則實(shí)數(shù)λ的最大為______.

評(píng)注注意到題設(shè)條件刻畫的是三角形的形狀,可設(shè)定c邊長(zhǎng)度,借助軌跡思想巧妙地避開復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算.通過正弦定理和面積公式將參數(shù)λ表示成橢圓焦點(diǎn)三角形面積的函數(shù),從而快速得到參數(shù)的取值范圍,起到四兩撥千斤的效果.