蘇夢(mèng)珂，孔祥智

江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122

1 引言

1965 年，Zadeh 提出模糊集[1]這一理論用于處理具有模糊性和不確定性的問題，此后，各界學(xué)者開始對(duì)其進(jìn)行研究：Atanassov 通過同時(shí)考慮隸屬度、非隸屬度、猶豫度提出直覺模糊集[2]這一概念；Torra考慮到?jīng)Q策者在決策過程中可能會(huì)對(duì)隸屬度值存在猶豫這一現(xiàn)象，提出了猶豫模糊集[3]這一概念；Zhu 等人通過定義可能隸屬度與可能非隸屬度提出對(duì)偶猶豫模糊集[4]這一概念。近幾年來(lái)，模糊集理論發(fā)展十分迅速，已經(jīng)取得了許多重要的成果。

對(duì)偶猶豫模糊集是猶豫模糊集的一個(gè)擴(kuò)展，有關(guān)猶豫模糊集的研究已經(jīng)十分廣泛[5-12]。文獻(xiàn)[13-14]研究了對(duì)偶猶豫模糊集的聚合算子及其基本運(yùn)算；Bahram[15]研究了對(duì)偶猶豫模糊集的相關(guān)系數(shù)，在其基礎(chǔ)上提出了區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集這一新的概念，并研究了其相關(guān)系數(shù)；Zhao等人[16]首先研究了對(duì)偶猶豫模糊集的的熵應(yīng)滿足的公理化要求，然后構(gòu)造了對(duì)偶猶豫模糊集熵的公式，最后建立了熵模型；Li 等人[17]擴(kuò)大了對(duì)偶猶豫模糊集相關(guān)系數(shù)的取值范圍，首次給出相關(guān)系數(shù)上下界的公式，將改進(jìn)后的相關(guān)系數(shù)應(yīng)用于醫(yī)療診斷與投資決策等實(shí)際問題中; Wu 等人[18]研究了對(duì)偶猶豫模糊集的相關(guān)系數(shù)，并討論了其基本性質(zhì)；Li等人[19-20]研究了對(duì)偶猶豫模糊集距離測(cè)度、相關(guān)系數(shù)等概念，并給出了基于對(duì)偶猶豫模糊集的多屬性決策方法；隨后，同一作者，還研究了區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集的熵和相似性測(cè)度；Song 等人[21]基于對(duì)偶猶豫模糊集的概念及運(yùn)算性質(zhì)，引入了對(duì)偶猶豫模糊集截集的定義并給出了具體的性質(zhì)。

Wu 等人[22]在直覺模糊集[23-26]與對(duì)偶猶豫模糊集的基礎(chǔ)上，利用實(shí)數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合來(lái)表示隸屬度與非隸屬度，提出直覺對(duì)偶猶豫模糊集這一概念，研究了直覺對(duì)偶猶豫模糊集的集結(jié)算子的性質(zhì)，并給出了具體的例子進(jìn)行說明。由于直覺對(duì)偶猶豫模糊集既同時(shí)考慮隸屬度、非隸屬度，包含了猶豫模糊集隸屬度的不確定性，又對(duì)其非隸屬度進(jìn)行補(bǔ)充，因此，可以更加細(xì)膩地描述事物的復(fù)雜性、模糊性的本質(zhì)，在處理不確定性信息時(shí)具有更強(qiáng)的表現(xiàn)能力，所以，直覺對(duì)偶猶豫模糊集在處理決策問題等方面具有舉足輕重的作用，值得各位學(xué)者不斷研究與學(xué)習(xí)。

2 預(yù)備知識(shí)

定義1[2]設(shè)X是一個(gè)固定的集合，X上的直覺模糊集A定義為：A={＜x,μA(x),νA(x)＞|x∈X}，其中，μA(x):X→[0,1]是A的隸屬度函數(shù)，νA(x):X→ [0,1]是A的非隸屬度函數(shù)，且 ?x∈X,0 ≤μA(x)+νA(x)≤1。對(duì)于X上的直覺模糊集，稱πA(x)=1-μA(x)-νA(x)為x對(duì)A的猶豫程度。顯然，對(duì)于 ?x∈X,0 ≤πA(x)≤1。

定義2[4]設(shè)X是一個(gè)固定的集合，X上的對(duì)偶猶豫模糊集A定義為：A={＜x,f(x),g(x)＞|x∈X}，其中，f(x)?[0,1]是x∈A的可能隸屬度值的集合，g(x)?[0,1]是x∈A的可能非隸屬度值的集合。

為了方便，稱H(x)=(f(x),g(x) )是對(duì)偶猶豫模糊元，簡(jiǎn)記為H=(f,g)。

定義3[22]設(shè)X是一個(gè)固定的集合，X上的直覺對(duì)偶猶豫模糊集A定義為：A={＜x,hA(x)＞|x∈X}，其中hA(x)是由若干個(gè)不同的實(shí)數(shù)對(duì)(fA(x),gA(x) )組成的集合，fA(x):X→[0,1]是A的隸屬度函數(shù)，gA(x):X→[0,1]是A的非隸屬度函數(shù)，且 ?x∈X,0 ≤fA(x)+gA(x)≤1。

為了方便，稱h=hA(x)是直覺對(duì)偶猶豫模糊元，并且按照降序排列直覺對(duì)偶猶豫模糊數(shù)，令σ:(1,2,…,n)→(1,2,…,n)是一個(gè)置換，滿足hAσ(s)≥hAσ(s+1)，s=1,2,…,n-1。

定義4[27]設(shè)A={a1,a2,…,an} 和B={b1,b2,…,bn} 是兩個(gè)參數(shù)的集合，as和bs分別是A和B中第s大的元素，則A和B之間的距離分別為：

3 直覺對(duì)偶猶豫模糊集的距離測(cè)度

距離測(cè)度是模糊集理論研究中的重要內(nèi)容，已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于決策分析、醫(yī)療診斷等領(lǐng)域。在決策分析中，利用距離測(cè)度的主要優(yōu)點(diǎn)是可以獲得兩種解決方案之間的差距，即每種解決方案與理想解決方案之間的差距。解決方案與理想解決方案之間的距離計(jì)算越小，解決方案越好。

比較常見的距離測(cè)度方法是Hamming距離、Euclidean 距離、Hausdorff 距離，下面基于這幾種距離測(cè)度方法定義直覺對(duì)偶猶豫模糊集的一系列距離測(cè)度。

定義5設(shè)直覺對(duì)偶猶豫模糊集A、B、C是定義在論域X={x1,x2,…,xn} 上的集合，如果滿足下列條件：

（1）0 ≤d(A,B)≤ 1 ；

（2）d(A,B)=0 當(dāng)且僅當(dāng)A=B；

（3）d(A,B)=d(B,A)；

（4）d(A,C)+d(C,B)≥d(A,B)。

則稱d(A,B)是A與B間的距離測(cè)度。

下面，基于定義5研究直覺對(duì)偶猶豫模糊集的距離測(cè)度。假設(shè)直覺對(duì)偶猶豫模糊集A、B是定義在論域X={x1,x2,…,xn} 上的集合，hA(xi)和hB(xi)分別是A、B的兩個(gè)直覺對(duì)偶猶豫模糊元，則兩直覺對(duì)偶猶豫模糊元之間的距離測(cè)度可表示為：

其中，hAσ(s)(xi)和hBσ(s)(xi)分別為hA(xi)={(fA(xi),gA(xi))},hB(xi)={(fB(xi),gB(xi) )}中第s大的元素，l(h)是直覺對(duì)偶猶豫模糊元hA(xi)和hB(xi)中實(shí)數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)。

基于標(biāo)準(zhǔn)Hamming 距離測(cè)度，下面定義直覺對(duì)偶猶豫模糊集的標(biāo)準(zhǔn)Hamming距離測(cè)度：

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)Hamming 距離測(cè)度，很容易給出直覺對(duì)偶猶豫模糊集的標(biāo)準(zhǔn)Hamming 距離測(cè)度這一定義，下證該定義滿足定義5中距離測(cè)度的4個(gè)條件。

證明對(duì)于條件（1），因?yàn)閒(x):X→[0,1]，g(x):X→[0 ,1]，所以 0 ≤ |fAσ(s)(xi)-fBσ(s)(xi)|≤ 1 ，0 ≤ |gAσ(s)(xi)-gBσ(s)(xi)|) ≤1 ，所以 0 ≤d(A,B)≤1，條件（1）得證。

對(duì)于條件（2），若A=B，顯然d(A,B)=0，下證，若d(A,B)=0，則A=B。

因?yàn)閐(A,B)=0，則必有d(hAσ(s)(xi),hBσ(s)(xi))=0 ，即|fAσ(s)(xi)-fBσ(s)(xi)|+|gAσ(s)(xi)-gBσ(s)(xi)|=0 ，所 以|fAσ(s)(xi)-fBσ(s)(xi)|=0 且 |gAσ(s)(xi)-gBσ(s)(xi)|=0 ，也 就是 說 ，fAσ(s)(xi)=fBσ(s)(xi) 且gAσ(s)(xi)=gBσ(s)(xi) ，所 以 ，A=B，條件（2）得證。

對(duì)于條件（3），顯然，|fAσ(s)(xi)-fBσ(s)(xi)|+|gAσ(s)(xi)-gBσ(s)(xi)|=|fBσ(s)(xi)-fAσ(s)(xi)|+|gBσ(s)(xi)-gAσ(s)(xi)|，所以，d(A,B)=d(B,A) ，條件（3）得證。

對(duì)于條件（4），令：

因?yàn)?，?duì)任意的三個(gè)實(shí)數(shù)，x、y、z都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)成立，所以：

條件（4）得證。

由上述證明可知，基于標(biāo)準(zhǔn)Hamming距離測(cè)度，本文給出的直覺對(duì)偶猶豫模糊集的標(biāo)準(zhǔn)Hamming距離測(cè)度這一定義合理。下面給出其他距離測(cè)度。

基于標(biāo)準(zhǔn)Euclidean 距離測(cè)度，直覺對(duì)偶猶豫模糊集的標(biāo)準(zhǔn)Euclidean距離測(cè)度為：

基于加權(quán)Hamming 距離測(cè)度，直覺對(duì)偶猶豫模糊集的加權(quán)Hamming距離測(cè)度為：

基于加權(quán)Euclidean 距離測(cè)度，直覺對(duì)偶猶豫模糊集的加權(quán)Euclidean距離測(cè)度為：

基于Hausdorff 距離測(cè)度，直覺對(duì)偶猶豫模糊集的Hausdorff距離測(cè)度為：

其中，fAσ(s)(xi)是fA(xi)中第s大的隸屬度值，gAσ(s)(xi)是gA(xi)中第s大的非隸屬度值。l(h)是直覺對(duì)偶猶豫模糊元hA(x)中實(shí)數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)。

4 直覺對(duì)偶猶豫模糊集的相關(guān)系數(shù)

定義6設(shè)A={＜x,hA(x)＞|x∈X}，B={＜x,hB(x)＞|x∈X}是固定集合X上的兩個(gè)直覺對(duì)偶猶豫模糊集，稱

為A和B的相關(guān)性指標(biāo)。

性質(zhì)1設(shè)A、B是固定集合X上的兩個(gè)直覺對(duì)偶猶豫模糊集，則C(A,B)=C(B,A) 。

證明由定義6可知，顯然，性質(zhì)1成立。

定義7設(shè)A、B是固定集合X上的兩個(gè)直覺對(duì)偶猶豫模糊集，稱為A和B的相關(guān)系數(shù)。由定義6可知：

性質(zhì)2設(shè)A、B是固定集合X上的兩個(gè)直覺對(duì)偶猶豫模糊集，則R(A,B)為A和B的相關(guān)系數(shù)，則有下列式子成立：

（1）R(A,B)=R(B,A) ；

（2）0 ≤R(A,B)≤1；

（3）R(A,A)=1。

定義8設(shè)A、B是固定集合X上的兩個(gè)直覺對(duì)偶猶豫模糊集，設(shè)權(quán)重信息為1,wk≥0，則稱：

為A和B的加權(quán)相關(guān)系數(shù)。

5 直覺對(duì)偶猶豫模糊集的熵

定義9設(shè)M、N是固定集合X上的兩個(gè)直覺對(duì)偶猶豫模糊元，如果F:X→[0,1]滿足下列條件：

（1）當(dāng)M={( 0,1)} 或M={( 1,0)} 時(shí)，F(xiàn)(M)=0。

（2）如果fM=gM，則F(M)=1。

（3） 對(duì) ?i，當(dāng)fMσ(s)(xi)≤gMσ(s)(xi)時(shí)，有fNσ(s)(xi)≤gMσ(s)(xi)且gNσ(s)(xi)≥gMσ(s)(xi)；或當(dāng)fMσ(s)(xi)≥gMσ(s)(xi)時(shí)，有fNσ(s)(xi)≥gMσ(s)(xi)且gNσ(s)(xi)≤gMσ(s)(xi)，則F(N)≤F(M)。

（4）F(M)=F(MC)。

則稱F是直覺對(duì)偶猶豫模糊元M和N的熵。

設(shè)A是固定集合X上的直覺對(duì)偶猶豫模糊集，則構(gòu)造A的熵為：

6 直覺對(duì)偶猶豫模糊集在多屬性群決策中的應(yīng)用

在多屬性群決策中，由于人類認(rèn)知能力有限，以及客觀世界本身的不確定性，導(dǎo)致屬性權(quán)重部分未知或完全未知。本文討論在屬性權(quán)重完全未知的群決策環(huán)境下，通過對(duì)直覺對(duì)偶猶豫模糊集的熵的定義，建立直覺對(duì)偶猶豫模糊集各屬性客觀權(quán)重模型，結(jié)合決策者的主觀權(quán)重，得到各屬性的綜合權(quán)重。由于距離度量可以獲得兩個(gè)方案之間的差異性，而相關(guān)系數(shù)可以用來(lái)度量?jī)蓚€(gè)模糊信息之間的相關(guān)關(guān)系，因此本章基于理想方案與備選方案間的直覺對(duì)偶猶豫模糊集的距離測(cè)度、相關(guān)系數(shù)，提出一種新的多屬性群決策方法。

令A(yù)={A1,A2,…,Am} 為備選方案集，E={E1,E2,…,En} 為屬性集，將專家對(duì)各備選方案在各屬性下的評(píng)價(jià)用矩陣T=(aij)m×n來(lái)表示，在直覺對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣中，aij={(fAi(Ej),gAi(Ej) )}是一個(gè)直覺對(duì)偶猶豫模糊元，表示專家們對(duì)備選方案Ai在屬性Ej下的評(píng)價(jià)。假設(shè)各屬性的權(quán)重信息完全未知，且w={w1,w2,…,wn}且。

常見的賦權(quán)方法有主觀賦權(quán)法、客觀賦權(quán)法，但主觀賦權(quán)會(huì)使得決策或評(píng)價(jià)結(jié)果具有較強(qiáng)的主觀隨意性，客觀性較差，同時(shí)增加了對(duì)決策分析者的負(fù)擔(dān)，在實(shí)際應(yīng)用中有很大局限性。而客觀賦權(quán)法沒有考慮決策者的主觀意向，有時(shí)會(huì)使確定的權(quán)重與人們的主觀愿望或?qū)嶋H情況不一致，使人感到困惑。因此，本文選擇將主觀賦權(quán)與客觀賦權(quán)綜合起來(lái)，使用綜合賦權(quán)法來(lái)確定各屬性的權(quán)重。

因?yàn)殪谾j表示的是屬性Ej中評(píng)價(jià)信息的不確定性程度，所以，熵值與對(duì)應(yīng)權(quán)重的關(guān)系應(yīng)該是Fj越大，Ej的權(quán)重越小，F(xiàn)j越小，Ej的權(quán)重越大。所以，基于直覺對(duì)偶猶豫模糊集的熵，建立如下屬性客觀權(quán)重模型：

則客觀權(quán)重為：a={a1,a2,…,an}

假設(shè)決策者對(duì)各個(gè)屬性的主觀權(quán)重為b={b1,b2,…,bn} ，則利用“加法”集成法可得wj=αaj+(1-α)bj(0 ≤α≤1)，其中wj表示第j個(gè)屬性的組合權(quán)重，ai、bi分別為第j個(gè)屬性的客觀權(quán)重和主觀權(quán)重，當(dāng)決策者對(duì)不同賦權(quán)方法存在偏好時(shí)，α能夠根據(jù)決策者的偏好信息來(lái)確定。

下面基于直覺對(duì)偶猶豫模糊集的加權(quán)Hamming距離，綜合賦權(quán)法給出一種新的多屬性群決策算法：

算法1

步驟1根據(jù)專家提供的決策信息構(gòu)造直覺對(duì)偶猶家公司A={A1,A2,A3,A4} 的服務(wù)器可以進(jìn)行選擇，為選定的服務(wù)器考慮下面3個(gè)屬性E={E1,E2,E3} 進(jìn)行評(píng)估，其中E1代表“可帶來(lái)的收益”，E2代表“遷移的成本”，E3代表“遷移容易程度”。

假設(shè)管理者們對(duì)屬性的主觀權(quán)重設(shè)置為b={0.4,0.4,0.2}，3位行業(yè)專家對(duì)各家公司在各屬性下的評(píng)價(jià)構(gòu)成直覺對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣：

步驟2計(jì)算各屬性的客觀權(quán)重a={a1,a2,…,an} ，輸入決策者對(duì)各個(gè)屬性的主觀權(quán)重為b={b1,b2,…,bn} ，以及賦權(quán)偏好α，最后，得到各屬性的權(quán)重wj=αaj+(1-α)bj。

步驟3利用直覺對(duì)偶猶豫模糊集的加權(quán)Hamming距離測(cè)度公式，計(jì)算各備選方案Ai與理想方案A*={( 1,0)*}之間的距離測(cè)度d(A,A*)。

步驟4根據(jù)距離測(cè)度的大小，對(duì)各備選方案進(jìn)行排序，距離測(cè)度越小，方案越優(yōu)，反之，方案越劣，最后，選出最優(yōu)方案。

下面基于直覺對(duì)偶猶豫模糊集的加權(quán)相關(guān)系數(shù)，綜合賦權(quán)法給出一種新的多屬性群決策算法：

算法2

步驟1根據(jù)專家提供的決策信息構(gòu)造直覺對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣。

步驟2計(jì)算各屬性的客觀權(quán)重a={a1,a2,…,an} ，輸入決策者對(duì)各個(gè)屬性的主觀權(quán)重為b={b1,b2,…,bn} ，以及賦權(quán)偏好α，最后，得到各屬性的權(quán)重wj=αaj+(1-α)bj。

步驟3計(jì)算各備選方案Ai與理想方案A*={( 1,0)*}之間的加權(quán)相關(guān)系數(shù)。

步驟4根據(jù)加權(quán)相關(guān)系數(shù)的大小，對(duì)各備選方案進(jìn)行排序，加權(quán)相關(guān)系數(shù)越大，方案越優(yōu)，反之，方案越劣，最后，選出最優(yōu)方案。

下面給出一個(gè)例子對(duì)上述算法進(jìn)行說明。

隨著信息化時(shí)代的發(fā)展，某公司在生產(chǎn)銷售過程中產(chǎn)生了大量的數(shù)據(jù)，并且分布在不同的服務(wù)器上，為了方便管理，企業(yè)管理者考慮采用云存儲(chǔ)服務(wù)來(lái)將不同服務(wù)器上的數(shù)據(jù)進(jìn)行集中，經(jīng)過各部門初步篩選，現(xiàn)在有4

步驟1根據(jù)直覺對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣，利用客觀權(quán)重模型公式，計(jì)算各屬性客觀權(quán)重為a={0.376 6,0.284 8,0.338 6}，考慮主觀權(quán)重為b={0.4,0.4,0.2} ，假設(shè)管理者對(duì)不同賦權(quán)方法存在偏好，即認(rèn)為客觀賦權(quán)的權(quán)重值占比40%，即α=0.4，因此，最終得到各屬性的綜合權(quán)重值為w={0.390 64,0.353 92,0.255 44}。

步驟2計(jì)算各備選方案與理想方案A*之間的加權(quán) Hamming 距離：dw(A1,A*)=0.376 65 ，dw(A2,A*)=0.299 75，dw(A3,A*)=0.377 24，dw(A4,A*)=0.340 51。

步驟3 根據(jù)計(jì)算得到的加權(quán)Hamming距離可知，4家公司的排序?yàn)锳2?A4?A1?A3，從而利用算法1得出最優(yōu)方案為A4。

按照算法2可知，通過計(jì)算各備選方案與理想方案A*之間的加權(quán)相關(guān)系數(shù)分別為：rw(A1,A*)=0.850 83，rw(A2,A*)=0.911 82，rw(A3,A*)=0.859 09，rw(A4,A*)=0.877 46，根據(jù)計(jì)算得到的加權(quán)相關(guān)系數(shù)可知，4家公司的排序?yàn)锳2?A4?A3?A1，從而利用算法2得出最優(yōu)方案為A4。

從上述排序結(jié)果可以看出，雖然兩種方法的評(píng)價(jià)方法不完全相同，但是最終選擇卻完全相同，也就是說，無(wú)論是基于距離測(cè)度，還是基于相關(guān)系數(shù)，直覺對(duì)偶猶豫模糊集均能很好地描述問題的模糊性與不確定性。因此，本文提出的新決策方法可以使決策結(jié)果更合理，具有有效性和可行性，具有更高的實(shí)用價(jià)值。

7 結(jié)束語(yǔ)

本文首先給出了直覺對(duì)偶猶豫模糊集的距離測(cè)度公式，其次給出了直覺對(duì)偶猶豫模糊集的相關(guān)系數(shù)、加權(quán)相關(guān)系數(shù)公式，并且討論了相關(guān)系數(shù)具有的性質(zhì)，然后給出了直覺對(duì)偶猶豫模糊集的熵的定義及其計(jì)算公式。最后給出了在屬性權(quán)重未知的情況下，利用信息熵求屬性客觀權(quán)重的模型公式，再利用綜合賦權(quán)法，求得了各屬性的權(quán)重，然后分別給出了基于距離測(cè)度與相關(guān)系數(shù)的多屬性群決策算法，并通過實(shí)例說明了該算法的有效性與可行性。