洪雅嫻,黃振坤,陳 超,賓紅華

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

目前，許多學(xué)者對于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究多是針對單邊、單一性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)[1-10]。如：文獻(xiàn)[11]在隨機(jī)選擇的點(diǎn)對點(diǎn)之間添加了較低的快捷方式,給出了小世界網(wǎng)絡(luò)平均路徑長度和模型中路徑長度分布的均值場解；文獻(xiàn)[12]通過一個標(biāo)量傳輸信號，解決了驅(qū)動型混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步問題；文獻(xiàn)[13]提出了一種具有時(shí)變時(shí)滯的線性混合耦合網(wǎng)絡(luò)，對網(wǎng)絡(luò)的全局同步進(jìn)行了進(jìn)一步的研究。但現(xiàn)實(shí)生活中包含大量的由多種性質(zhì)子網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的多重邊融合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(complex networks with multi-links，MLUCN)，這方面也引起了研究者的廣泛關(guān)注[14-16]。

研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題是很重要的一個課題[1]，自適應(yīng)控制法[2-5]、滑模變結(jié)構(gòu)同步法[6]、(魯棒)脈沖同步控制法[7-8]、耦合矩陣反饋[9]和分散反饋控制[10]等在基于連續(xù)時(shí)間內(nèi)耦合網(wǎng)絡(luò)的同步問題得到廣泛應(yīng)用。但實(shí)際上常常由于信道堵塞、頻率改變、延時(shí)等因素，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)發(fā)生脈沖式間斷，現(xiàn)實(shí)世界中常常是不連續(xù)時(shí)間的耦合網(wǎng)絡(luò),故本文考慮間歇式的耦合網(wǎng)絡(luò)。同時(shí),量化作為網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中必不可少的環(huán)節(jié),在轉(zhuǎn)換時(shí)會產(chǎn)生量化誤差，由于這種誤差有網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延、數(shù)據(jù)丟包、帶寬約束等因素的影響[17],使得網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中對量化影響的研究比較困難。目前,一些學(xué)者已經(jīng)考慮到了量化問題：文獻(xiàn)[18]引入量化器對具有數(shù)據(jù)包丟失和混合時(shí)滯的Markov切換離散型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的可穩(wěn)性和可同步性問題進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)[19]將量化和觸發(fā)誤差融合在一起,討論Lurie形式在有限信道下驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的同步問題；文獻(xiàn)[20] 在傳輸前對耦合信號進(jìn)行量化,并將量化誤差轉(zhuǎn)化為扇區(qū)有界的不確定性,考慮了一類具有交換拓?fù)浜土炕?yīng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的非脆弱H∞估計(jì)問題。

由于網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)之間往往存在多重性質(zhì),因此，MLUCN得到廣泛關(guān)注[14-16]。文獻(xiàn)[14-15] 應(yīng)用自適應(yīng)方式研究MLUCN的同步問題，文獻(xiàn)[16]提出了一個MLUCN的動態(tài)演化模型。然而量化因素在現(xiàn)有的MLUCN研究中往往被忽略了,量化同步在多重邊融合網(wǎng)絡(luò)中很少有相關(guān)報(bào)道。本文引入網(wǎng)絡(luò)拆分[14-16]的思想，根據(jù)節(jié)點(diǎn)間信息傳輸速度的不同，引入時(shí)滯對多重邊網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行拆分，并考慮到量化轉(zhuǎn)換過程中產(chǎn)生的誤差，采用了對數(shù)量化器來控制。為了節(jié)約信道資源和帶寬,只在一個周期內(nèi)的部分時(shí)間添加控制器,首次研究具有間歇式多重邊融合的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步分析。

1 模型描述

(1)

其中：xi=(xi1,xi2,…,xin)T∈Rn為第i個節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量;f：Rn→Rn為連續(xù)非線性函數(shù);常數(shù)εl>0為第l個子網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度；Γl∈Rn×Rn為第l個子網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量之間的內(nèi)部耦合矩陣函數(shù);τl為第l個子網(wǎng)絡(luò)相對于零子網(wǎng)絡(luò)的時(shí)滯時(shí)間。

本文目的是設(shè)計(jì)合適的控制器ui(t),使得網(wǎng)絡(luò)(1) 的狀態(tài)指數(shù)收斂到如下同步域:x1(t)=x2(t)=…=xN(t)=s(t),

(2)

(3)

控制輸入ui(t)設(shè)計(jì)為如下反饋控制器:ui(t)=-kiq(xi(t)-s(t))=-kiq(ei(t)),

(4)

其中:i=1,2,…,N;ki為待設(shè)計(jì)的反饋控制系數(shù)。

(5)

其中：μj構(gòu)成q量化水平集S={±μj,μj=ρjμ0,j=0,±1,… }∪{±μ0}∪{0},0<ρ<1,μ0>0；v為量化器的輸入；q(v)為量化器的輸出；Δ為量化器q(·)的量化同步誤差；η為參數(shù),且滿足η=(1-ρ)/(1+ρ),顯然有q(v)-v=Δv,且Δ∈[-η,η]。

為便于敘述,將誤差系統(tǒng)(3)表示為如下矩陣張量積的形式：

(6)

注1 條件(H1)通常被稱為全局Lipschitz條件,Li是Lipchitz常數(shù),容易知道許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)都能滿足(H1)。

注2 條件(H2)利用比較定理易證得。

2 主要結(jié)果

證明構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)V(t)=eT(t)e(t)/2。

(7)

對V(t)沿系統(tǒng)(6)求導(dǎo),當(dāng)dT

eT(t)e(t)/2+eT(t)(L?In)T(L?In)e(t)/2≤

λmax(INn+(L?In)T(L?In))V(t)=

λ1V(t)。

兩邊積分可得V(t)≤V(dT)exp(λ1(t-dT))。

(8)

當(dāng)dT+δ

eT(t)F(x,s)+ε0eT(t)(B(0)?Γ(0))e(t)+ε1eT(t)(B(1)?Γ(1))e(t-τ1)+ …+

εm-1eT(t)(B(m-1)?Γ(m-1))e(t-τm-1)-eT(t)(K?In)q(e(t))≤

eT(t)(INn+(L?In)T(L?In))e(t)/2+ε0eT(t)((B(0)?Γ(0))/2+

(B(0)?Γ(0))T)e(t)+eT(t)(ε1(B(1)?Γ(1))(B(1)?Γ(1))T/2+…+

εm-1(B(m-1)?Γ(m-1))(B(m-1)?Γ(m-1))T)e(t)/2+(ε1eT(t-τ1)e(t-τ1)+…+

eT(t)((INn+(L?In)T(L?In)+ε0((B(0)?Γ(0))+

(B(0)?Γ(0))T)/2+ε1(B(1)?Γ(1))(B(1)?Γ(1))T+…+

(ε1eT(t-τ1)e(t-τ1)+…+εm-1eT(t-τm-1)e(t-τm-1))/2≤

λ2V(t)+ε1V(t-τ1)+…+εm-1V(t-τm-1),

由比較定理可知V(t)≤V(dT+δ)exp{-λ(t-(dT+δ))}。

(9)

當(dāng)t=dT+δ時(shí),由式(8)知V(dT+δ)≤V(dT)exp(λ1δ)。

(10)

從而當(dāng)dT+δ

(11)

1)當(dāng)dT

(12)

2)當(dāng)dT+δ

(13)

情形1 先對式(12)進(jìn)行考慮，此時(shí)dT

ⅰ)若λ+λ1≥0,有

V(t)≤V(0)exp(λ1t+d(λ+λ1)(δ-T))≤V(0)exp(λ1t+(t-δ)(λ+λ1)(δ-T)/T)=

(14)

ⅱ)若λ+λ1<0,有V(t)≤V(0)exp(λ1t+d(λ+λ1)(δ-T))≤V(0)exp(λ1t+t(λ+λ1)(δ-T)/T)=

V(0)exp{(λ1+(δ/T-1)(λ+λ1))t}=V(0)exp{(δ(λ+λ1)/T-λ)t}≤

(15)

情形2 再對式(13)進(jìn)行考慮，此時(shí)dT+δ

ⅰ)若λ+λ1≥0,有V(t)≤V(0)exp(-λt+δ(d+1)(λ+λ1))≤V(0)exp(-λt+δ((t-δ)/T+1)(λ+λ1))=

(16)

ⅱ)若λ+λ1<0,有V(t)≤V(0)exp(-λt+δ(d+1)(λ+λ1))≤V(0)exp(-λt+δt(λ+λ1)/T)=

(17)

(18)

由于總可以選取合適的K使得δ(λ1+λ)/T-λ<0。由上述推導(dǎo)可知,誤差系統(tǒng)(3)是指數(shù)型穩(wěn)定的,即耦合網(wǎng)絡(luò)(1) 在控制器(4)的作用下能夠?qū)崿F(xiàn)同步。

3 仿真實(shí)例

(19)

此時(shí)多重邊耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型為：

(20)

(21)

其中函數(shù)Λ(ei1)=|xi1+1|-|xi1-1|-|si1+1|+|si1-1|。

4 結(jié)論

本文引入網(wǎng)絡(luò)拆分的思想對多重性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究,利用Lyapunov穩(wěn)定性理論并結(jié)合脈沖控制周期和量化器的特征，首次給出基于量化控制信號的間歇耦合多重邊融合復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步化準(zhǔn)則,所得結(jié)果是對文獻(xiàn)[14-16]的補(bǔ)充和拓展。最后通過仿真實(shí)例證明了所得結(jié)果的有效性。