黃澤徽 李亞安 陳哲 劉戀

(西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院, 西安 710072)

1 引 言

混沌系統(tǒng)的初值敏感性和噪聲免疫性使它在微弱信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域得到了廣泛的關(guān)注, 為微弱信號(hào)的檢測(cè)提供了新的思路. 美國(guó)的Birx 博士在他的博士論文中最先提出將混沌理論應(yīng)用于弱信號(hào)的檢測(cè). 王冠宇等[1]在國(guó)外學(xué)者研究工作的基礎(chǔ)上,利用Duffing 振子對(duì)白噪聲背景下的微弱正弦信號(hào)進(jìn)行了檢測(cè)研究, 實(shí)現(xiàn)了對(duì)頻率已知的待測(cè)信號(hào)幅值的估計(jì), 檢測(cè)信噪比可以達(dá)到–26 dB, 推動(dòng)了信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域的發(fā)展. 李月等[2?5]研究了強(qiáng)噪聲下混沌振子對(duì)微弱正弦信號(hào)、方波信號(hào)的檢測(cè), 色噪聲背景下混沌振子對(duì)微弱正弦信號(hào)、方波信號(hào)的檢測(cè), 指出混沌振子系統(tǒng)對(duì)零均值噪聲具有很強(qiáng)的免疫力. 之后大量學(xué)者對(duì)Duffing 檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn),賴智慧等[6]對(duì)基于Homles-Duffing 振子的混沌檢測(cè)進(jìn)行了改進(jìn), 提出變尺度微弱信號(hào)檢測(cè)方法; 叢超等[7]提出了一種基于適應(yīng)步長(zhǎng)型間歇混沌振子的信號(hào)檢測(cè)方法, 用一個(gè)振子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)任意頻率任意相位的微弱周期信號(hào)的搜索檢測(cè); 牛德智等[8]針對(duì)同頻微弱信號(hào)檢測(cè)時(shí)存在的盲區(qū), 提出了一種策動(dòng)力移相法予以消除; 陳志光等[9]利用間歇混沌現(xiàn)象對(duì)頻率未知信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)并取得較好的效果; 時(shí)培明等[10]提出了一種基于雙耦合Duffing混沌振子與變尺度相結(jié)合的微弱信號(hào)檢測(cè)新方法,將其用于檢測(cè)任意多頻微弱信號(hào)具有明顯優(yōu)勢(shì).通過大量學(xué)者的不懈努力, Duffing 檢測(cè)不斷趨于成熟.

Duffing 混沌系統(tǒng)提供了與傳統(tǒng)方法不同的檢測(cè)途徑, 在實(shí)際應(yīng)用中, 混沌系統(tǒng)躍變閾值的確定是利用Duffing 系統(tǒng)準(zhǔn)確進(jìn)行微弱信號(hào)檢測(cè)的關(guān)鍵, 但是傳統(tǒng)的時(shí)序圖方法不利于計(jì)算機(jī)的自動(dòng)處理. Lyapunov 指數(shù)法算法復(fù)雜, 且容易受到噪聲的影響. 近年來有大量學(xué)者對(duì)閾值求解方法進(jìn)行了研究, 提出了相圖分割法[11]、二分法[12]、0-1 方法[13,14]、基于龐加萊界面的定量判別方法[15]等來計(jì)算混沌系統(tǒng)躍變閾值, 但仍具有一定的局限性. 本文將熵引入到閾值求解, 熵可以用來表征信號(hào)復(fù)雜度, 已有不少學(xué)者利用熵對(duì)信號(hào)復(fù)雜度進(jìn)行分析, 梁滌青等[16]利用小波包能量熵來判斷混沌序列的復(fù)雜度;楊孝敬等[17]利用模糊近似熵對(duì)磁共振信號(hào)復(fù)雜度進(jìn)行分析; 陳祥龍等[18]利用多尺度樣本熵對(duì)壓縮機(jī)工作時(shí)的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行了分析; 王鴻姍等[19]利用小波包樣本熵通過分析聲信號(hào)的復(fù)雜度進(jìn)行異常音提取. 本文發(fā)現(xiàn)Duffing 系統(tǒng)在不同狀態(tài)下多尺度熵的明顯差別, 利用這一現(xiàn)象通過分析系統(tǒng)多尺度熵與策動(dòng)力幅值的變化關(guān)系, 提出一種基于多尺度熵的Duffing 混沌系統(tǒng)躍變閾值確定方法, 并通過仿真計(jì)算說明其可行性.

2 Duffing 混沌系統(tǒng)微弱信號(hào)檢測(cè)原理

Duffing 振子檢測(cè)系統(tǒng)模型為:

其中k是阻尼比;x?x3是非線性恢復(fù)力;rcos(wt)是周期性策動(dòng)力,r是策動(dòng)力幅值,h是目標(biāo)信號(hào)的幅值,w是待測(cè)信號(hào)的頻率,z為白噪聲.

調(diào)節(jié)策動(dòng)力幅值使r從0 逐漸增大, 系統(tǒng)將會(huì)遍歷同宿軌道狀態(tài)、分叉狀態(tài)、混沌狀態(tài)、臨界混沌狀態(tài), 當(dāng)r大于某一值rd時(shí), 系統(tǒng)由臨界混沌狀態(tài)進(jìn)入大尺度周期狀態(tài), 相軌跡圖將發(fā)生明顯的變化, 如圖1 所示, 其中rd便是本文所要求解的混沌系統(tǒng)躍變閾值. 使用Duffing 混沌系統(tǒng)檢測(cè)微弱信號(hào)正是基于這一躍變現(xiàn)象: 將系統(tǒng)的策動(dòng)力幅值r調(diào)為rd, 再將待測(cè)信號(hào)添加到系統(tǒng), 觀察待測(cè)信號(hào)添加前后系統(tǒng)的相軌跡是否發(fā)生躍變, 如果發(fā)生了躍變則說明待測(cè)信號(hào)中有目標(biāo)信號(hào)的存在. 可知利用這一現(xiàn)象檢測(cè)微弱信號(hào)時(shí), 躍變閾值的確定非常關(guān)鍵, 躍變閾值選取過小, 將會(huì)嚴(yán)重影響到系統(tǒng)的檢測(cè)信噪比; 躍變閾值選取過大, 會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生躍變, 造成對(duì)檢測(cè)結(jié)果的誤判.

現(xiàn)有計(jì)算混沌系統(tǒng)躍變閾值的方法存在一定的局限性, 直觀的相軌跡分析方法簡(jiǎn)單直觀、判別方便并且不需要復(fù)雜的計(jì)算, 但是該方法受到諸多因素的影響, 并且在判別過程中會(huì)受到實(shí)驗(yàn)人員主觀因素的影響, 精度低誤差大; Melnikov 和Shilnikov方法可以計(jì)算Duffing 系統(tǒng)的混沌范圍, 但是都只能說明當(dāng)策動(dòng)力幅值處于這個(gè)范圍時(shí), 系統(tǒng)可能處于混沌狀態(tài), 而不能確定系統(tǒng)一定處于混沌狀態(tài);Lyapunov 指數(shù)用來度量動(dòng)力學(xué)性態(tài)的規(guī)則性程度, 描述了系統(tǒng)軌跡收斂或發(fā)散的比率, 但是精確的Lyapunov 指數(shù)難以得到且容易受到噪聲的影響. 為此本文基于多尺度熵提出一種簡(jiǎn)單有效的計(jì)算系統(tǒng)躍變閾值的方法.

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)躍變 (a) 臨界混沌狀態(tài); (b) 周期狀態(tài)Fig. 1. System state transition: (a) System state transition;(b) periodic state.

3 基于多尺度熵的混沌系統(tǒng)躍變閾值確定方法

熵是系統(tǒng)混亂或無序程度的度量, 系統(tǒng)混亂或者無序的程度越高, 熵值越大, 反之越小. 分析熵值隨策動(dòng)力幅值變化關(guān)系后發(fā)現(xiàn), 系統(tǒng)由混沌狀態(tài)進(jìn)入周期狀態(tài)后, 系統(tǒng)熵值明顯變小且趨于平穩(wěn),本文利用該現(xiàn)象基于多尺度熵((multi-scale sample entropy, MsEn)來求解系統(tǒng)躍變閾值.

3.1 多尺度熵算法

多尺度樣本熵(MsEn)用于描述在不同尺度上時(shí)間序列的無規(guī)則程度, 包含參數(shù)m,s,τ, 其中m是嵌入維數(shù),s是相似系數(shù),τ是尺度因子. 多尺度樣本熵由兩部分構(gòu)成: 一是對(duì)輸入的時(shí)間序列按照尺度τ進(jìn)行粗細(xì)化操作得到新的時(shí)間序列; 一是計(jì)算尺度τ下新時(shí)間序列的樣本熵(sample entropy,SampEn). 具體步驟為[20]:

步驟1對(duì)原始時(shí)間序列按照尺度τ進(jìn)行粗細(xì)化操作

假定有一離散時(shí)間序列x1,x2,x3,··· ,xM共有M個(gè)點(diǎn), 在尺度為τ時(shí)對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行粗-斷點(diǎn)變換得到新的時(shí)間序列為:

經(jīng)過粗-斷點(diǎn)變換后得到的新時(shí)間序列長(zhǎng)度為N=M/τ.

步驟2計(jì)算尺度τ下新時(shí)間序列的樣本熵

1)將新的時(shí)間序列從Y(τ)(1)到Y(jié)(τ)(N?m+1)組成一組m維矢量, 第i個(gè)矢量Y τ(i) 為:

式中i=1～N ?m+1 .

2)定義d[Y τ(i),Y τ(j)]為矢量Y τ(i) 與矢量Y τ(j) 對(duì)應(yīng)元素中差值最大的一個(gè), 即:

3)給出相似系數(shù)s, 計(jì)算的數(shù)目Di, 及該數(shù)目與總的矢量數(shù)目N ?m的比值, 記作

4)將嵌入維數(shù)變成m+1 , 重復(fù)前面的過程,得到和

5)時(shí)間序列為有限長(zhǎng)時(shí), 得到在尺度τ下的樣本熵為

對(duì)原始時(shí)間序列計(jì)算每個(gè)尺度τ所對(duì)應(yīng)的樣本熵值, 得到多尺度樣本熵的計(jì)算公式為

3.2 閾值求解

研究中發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)混沌態(tài)和周期態(tài)輸出的時(shí)間序列多尺度熵值明顯不同, 且當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入周期態(tài)后, 系統(tǒng)輸出序列的多尺度熵趨于平穩(wěn), 基于此通過描述系統(tǒng)多尺度熵值隨策動(dòng)力幅值變化情況可以確定系統(tǒng)躍變閾值.

3.2.1 方波信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)躍變閾值求解

求解方波信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)的躍變閾值, 系統(tǒng)所采用檢測(cè)方程為:

我想我當(dāng)時(shí)的樣子一定很傻，一定呆得像只木雞，但你知道的，在那個(gè)愛做夢(mèng)，對(duì)漂亮女孩想入非非的年齡，一般人應(yīng)該都是這種反應(yīng)的。

取w= 1 rad/s,k= 0.5, 初值x0= (1, 1), 時(shí)間序列長(zhǎng)度N= 30000, 尺度因子t= 10, 嵌入維數(shù)m= 2, 相似容限s= 0.1SDx(時(shí)間序列標(biāo)準(zhǔn)差), 分析多尺度熵值隨策動(dòng)力幅值r變化情況如圖2 所示. 對(duì)圖2 進(jìn)行分析可知, 系統(tǒng)策動(dòng)力幅值r?0.605 , 多尺度熵值較大且會(huì)隨著策動(dòng)力幅值r波動(dòng),r >0.605 后多尺度熵值趨于平穩(wěn)且較之前明顯變小, 根據(jù)熵的含義及系統(tǒng)變化規(guī)律可以判定r >0.605 后系統(tǒng)處于周期狀態(tài), 所以確定該系統(tǒng)的躍變閾值為rd=0.605. 注意在r=0.603 時(shí), 系統(tǒng)多尺度熵值為極小值, 如果只以熵值的大小作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn), 忽略平穩(wěn)性的評(píng)判, 會(huì)認(rèn)為此時(shí)系統(tǒng)已處于周期狀態(tài), 但從圖中可以看到此時(shí)系統(tǒng)熵值并未趨于平穩(wěn), 在之后系統(tǒng)的熵值仍在波動(dòng), 所以僅根據(jù)熵值大小來求解閾值并不準(zhǔn)確. 對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn), 通過分析系統(tǒng)相軌跡圖對(duì)比該方法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性, 結(jié)果如圖3 所示, 策動(dòng)力幅值r =0.605 時(shí)系統(tǒng)處于左圖所示的混沌狀態(tài), 幅值增加到0.606 時(shí)系統(tǒng)便躍變至右圖所示的周期狀態(tài), 通過仿真實(shí)驗(yàn)確定的系統(tǒng)躍變閾值為0.605,多尺度熵方法所求結(jié)果與其一致. 可見, 多尺度熵方法可以準(zhǔn)確確定方波信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)躍變閾值.

圖2 方波信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)多尺度熵變化情況Fig. 2. Variation of multi-scale entropy in square wave signal detection system.

圖3 仿真實(shí)驗(yàn)求解方波信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)閾值Fig. 3. Simulation experiment to solve the threshold of square wave signal detection system.

3.2.2 正弦信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)躍變閾值求解

求解正弦信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)的躍變閾值, 利用Duffing 系統(tǒng)(1)式, 取w = 1 rad/s, k=0.5 , 初值x0= (1, 1), 對(duì)于多尺度熵算法取時(shí)間序列長(zhǎng)度N = 30000, 尺度因子 τ=10, 嵌入維數(shù) m=2 ,相似容限 s=0.1SDx, 分析該系統(tǒng)多尺度熵值隨策動(dòng)力幅值r 變化情況, 結(jié)果如圖4 所示, 可知該系統(tǒng)的躍變閾值為 rd=0.826 . 通過圖5 所示的仿真實(shí)驗(yàn)可以確定該系統(tǒng)的閾值為0.826, 與多尺度熵方法所求結(jié)果一致.

圖4 正弦信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)多尺度熵變化情況Fig. 4. Variation of multi-scale entropy in sinusoidal signal detection system.

圖5 仿真實(shí)驗(yàn)求解正弦信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)閾值Fig. 5. Simulation experiment to solve the threshold of sinusoidal signal detection system.

3.2.3 真實(shí)信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)躍變閾值求解

為了驗(yàn)證多尺度熵方法對(duì)真實(shí)信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)的閾值求解效果, 選取一組真實(shí)的艦船信號(hào)作為樣本數(shù)據(jù), 真實(shí)待檢測(cè)信號(hào)的波形如圖6 所示, 頻域波形如圖7 所示, 分析可知真實(shí)水聲信號(hào)包含頻率為50.27 Hz 的正弦信號(hào). 在系統(tǒng)中內(nèi)置頻率為50.27 Hz 的正弦信號(hào), 求得該系統(tǒng)閾值為rd=0.825 ,結(jié)果如圖8 所示, 進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)也得到rd=0.825的閾值, 如圖9 所示.

圖6 真實(shí)水聲信號(hào)Fig. 6. Real underwater acoustic signal.

圖7 真實(shí)水聲信號(hào)頻譜Fig. 7. Spectrum of real underwater acoustic signals.

圖8 真實(shí)信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)多尺度熵值變化情況Fig. 8. Changes in multi-scale entropy of real signal detection system.

將策動(dòng)力幅值r調(diào)節(jié)至0.825, 也即使系統(tǒng)處于臨界混沌狀態(tài), 將真實(shí)水聲信號(hào)加入檢測(cè)系統(tǒng),系統(tǒng)相軌跡圖由圖10(a)所示混沌狀態(tài)躍變至圖10(b)所示周期狀態(tài), 成功實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)測(cè)水聲信號(hào)中目標(biāo)信號(hào)的檢測(cè). 所以多尺度熵方法可以很準(zhǔn)確地計(jì)算系統(tǒng)閾值.

圖9 仿真實(shí)驗(yàn)求解真實(shí)水聲信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)閾值Fig. 9. Simulation experiment to solve the threshold of real underwater acoustic signal detection system.

圖10 對(duì)真實(shí)水聲信號(hào)的檢測(cè) (a) 系統(tǒng)未添加真實(shí)信號(hào); (b)系統(tǒng)添加真實(shí)信號(hào)Fig. 10. Detecting real underwater acoustic signals: (a) The system did not add a real signal; (b) system adds real signal.

4 最大多尺度熵算法

圖11 5rad/s 正弦信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)多尺度熵變化情況Fig. 11. Variation of multi-scale entropy in 5 rad/s sinusoidal signal detection system.

圖12 仿真實(shí)驗(yàn)求解5 rad/s 正弦信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)躍變閾值Fig. 12. Simulation experiment to solve the threshold of 5 rad/s sinusoidal signal detection system.

利用系統(tǒng)(1)將頻率參數(shù)改為5 rad/s, 其他參數(shù)不變, 得到多尺度熵變化情況如圖11 所示,分析可知多尺度熵方法求得系統(tǒng)閾值為rd=0.825 .進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn), 仿真結(jié)果如圖12 所示, 可知仿真實(shí)驗(yàn)求得的系統(tǒng)閾值為rd=0.826 , 與多尺度熵方法求解結(jié)果有偏差, 說明多尺度熵方法存在一定問題.

我們分析是時(shí)間序列段的隨機(jī)選取造成了閾值計(jì)算的偏差, 第三部分中計(jì)算采用的時(shí)間序列是在整個(gè)Duffing 序列中隨機(jī)選取的長(zhǎng)度為30000的子序列段, 在一般狀態(tài)下隨機(jī)選取的子序列段可以代表整個(gè)時(shí)間序列的復(fù)雜度, 但是當(dāng)系統(tǒng)在接近或處于臨界混沌狀態(tài)時(shí)會(huì)有部分序列段已經(jīng)處于周期狀態(tài), 如圖13 所示, 該狀態(tài)下隨機(jī)選取的時(shí)間序列段不能代表整個(gè)時(shí)間序列的狀態(tài).

圖13 系統(tǒng)臨界混沌狀態(tài)Fig. 13. Critical chaotic state of the system.

圖13 表示系統(tǒng)正處于混沌狀態(tài), 但右圖中a段序列為周期序列, 取用a序列進(jìn)行多尺度熵計(jì)算會(huì)得到較小熵值, 誤認(rèn)為系統(tǒng)已經(jīng)進(jìn)入周期狀態(tài), 導(dǎo)致所求系統(tǒng)躍變閾值偏小, 這便是在前述計(jì)算中多尺度熵方法計(jì)算結(jié)果與仿真實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果存在偏差且偏小的原因. 針對(duì)這一現(xiàn)象考慮在整個(gè)序列中尋找復(fù)雜度最大的子序列及其對(duì)應(yīng)的多尺度熵值, 用復(fù)雜度最大的子序列代表整個(gè)時(shí)間序列, 當(dāng)系統(tǒng)復(fù)雜度最大的子序列對(duì)應(yīng)的熵值處于較小值且趨于平穩(wěn)時(shí), 則系統(tǒng)必定已經(jīng)進(jìn)入周期狀態(tài), 可更加精確計(jì)算系統(tǒng)閾值. 為此引入遺傳算法,利用遺傳算法尋找Duffing 序列最大多尺度熵.

4.1 遺傳算法

遺傳算法(genetic algorithm, GA)是基于生物的自然選擇和遺傳機(jī)理而形成的一種全局尋優(yōu)算法, 其本質(zhì)是一種基于概率的隨機(jī)搜索算法. 一般認(rèn)為GA 的計(jì)算流程為[20]:

1) 問題解的遺傳表示;

2) 產(chǎn)生初始染色體;

3) 設(shè)計(jì)適應(yīng)度函數(shù), 根據(jù)適應(yīng)值對(duì)個(gè)體進(jìn)行優(yōu)劣判斷;

4) 進(jìn)行選擇操作, 選出適應(yīng)值高的染色體, 使它們成為新一代種群中的染色體;

5) 對(duì)新種群進(jìn)行交叉操作, 產(chǎn)生新的染色體;

6) 進(jìn)行變異操作, 避免算法陷入局部最優(yōu)解的情況;

7) 對(duì)新的種群重復(fù)進(jìn)行選擇、交叉、和變異操作;

8) 經(jīng)過給定次數(shù)的迭代或滿足給定的條件后,把最好的染色體作為優(yōu)化問題的最優(yōu)解.

4.2 最大多尺度熵算法步驟

基于遺傳算法的思想, 本文提出一種最大多尺度熵算法, 算法具體步驟為:

1) 利用Duffing 系統(tǒng)方程迭代產(chǎn)生一組時(shí)間序列X=[x1,x2,x3,··· ,xm] , 將X作為一個(gè)種群,時(shí)間序列的長(zhǎng)度為m;

2) 將X分成l個(gè)染色體, 分別為CC=[C1,C2,C3,··· ,Cl] , 每個(gè)染色體的長(zhǎng)度為n, 染色體的數(shù)目l=m/n.CC中前i個(gè)染色體構(gòu)成的種群C=[C1,C2,C3,··· ,Ci] 作為算法的初始種群, 循環(huán)次數(shù)為N=l ?i;

3) 選取多尺度樣本熵作為適應(yīng)度函數(shù), 通過計(jì)算種群中每個(gè)染色體的多尺度樣本熵值來判斷各個(gè)染色體的優(yōu)劣, 作為選擇的依據(jù);

4) 對(duì)初始種群C=[C1,C2,C3,··· ,Ci] 進(jìn)行適應(yīng)度測(cè)試, 計(jì)算每個(gè)染色體的適應(yīng)度值, 得到種群中每個(gè)染色體所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值分別為M=[M1,M2,M3,··· ,Mi] ;

5) 按照得到的適應(yīng)度值, 從大到小對(duì)染色體進(jìn)行排序, 重新排序后得到的種群為對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值為. 對(duì)重新排序后的種群C′按照隨機(jī)數(shù)w(0

6) 得到由i個(gè)新的染色體組成的種群, 返回到步驟(4)進(jìn)行循環(huán)迭代計(jì)算, 直到滿足循環(huán)條件;

7) 得到Duffing 時(shí)間序列中熵值最大的子序列及其對(duì)應(yīng)的熵值.

4.2.1 最大多尺度熵算法有效性

第三部分5 rad/s 正弦信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)中, 策動(dòng)力幅值r=0.826 , 系統(tǒng)處于混沌狀態(tài), 多尺度熵方法求得MsEn = 0.0778, 利用最大多尺度熵算法計(jì)算r=0.826 時(shí)Duffing 序列最大多尺度熵值,取Duffing 序列長(zhǎng)度為400000, 每個(gè)子序列長(zhǎng)度為30000, 初始染色體個(gè)數(shù)為6, 交叉點(diǎn)為隨機(jī)數(shù), 每次循環(huán)淘汰的染色體數(shù)目為1, 循環(huán)結(jié)束后得到6 個(gè)復(fù)雜度較大的子序列段, 其對(duì)應(yīng)的熵值結(jié)果如表1 所列.

表1 Duffing 子序列段熵值( r=0.826 )Table 1. Entropy value of the Duffing subsequence segment ( r=0.826 ).

分析表1 可知, 程序經(jīng)過遺傳進(jìn)化找到了4 組熵值大于0.0778 的混沌子序列, 最大多尺度熵值為0.1188.r=0.827 時(shí), 系統(tǒng)處于周期狀態(tài), 多尺度熵方法求得MsEn=0.0754, 利用最大多尺度熵算法計(jì)算r=0.827 時(shí)Duffing 子序列熵值, 結(jié)果如表2 所列.

表2 Duffing 子序列段MsEn 值( r=0.827 )Table 2. Entropy value of the Duffing subsequence segment( r=0.827 ).

從表2 中看到, 經(jīng)過遺傳進(jìn)化找到了5 組大于0.0754 的子序列, 最大MsEn 為0.0822, 但因r= 0.827 時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)處于周期狀態(tài), 所求結(jié)果與多尺度熵方法所求結(jié)果相差不大. 結(jié)合表1 和表2可以知道, 最大多尺度熵算法可以很有效地尋找到復(fù)雜度較大的子序列, 得到最大多尺度熵, 可更加精確地求解系統(tǒng)的躍變閾值.

針對(duì)5 rad/s 正弦信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)的偏差問題,現(xiàn)用最大多尺度熵方法求該系統(tǒng)閾值, 分析偏差是否仍舊存在. 取Duffing 序列長(zhǎng)度為400000, 每個(gè)子序列長(zhǎng)度為30000, 初始染色體數(shù)目為6, 交叉點(diǎn)為隨機(jī)數(shù), 結(jié)果如圖14 所示, 分析可以確定系統(tǒng)躍變閾值為0.826, 與圖12 仿真實(shí)驗(yàn)所求閾值0.826 相同, 所以最大多尺度熵方法可以很好地解決序列段的選取問題, 準(zhǔn)確求解系統(tǒng)躍變閾值.

圖145 rad/s 正弦信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)最大多尺度熵變化情況Fig. 14. Variation of maximum multi-scale entropy of 5 rad/s sinusoidal signal detection system.

5 結(jié) 論

本文針對(duì)Duffing 系統(tǒng)躍變閾值難以確定這一問題進(jìn)行了研究, 首次提出利用Duffing 系統(tǒng)周期態(tài)和混沌態(tài)多尺度熵值差異明顯這一現(xiàn)象, 通過分析多尺度熵與策動(dòng)力幅值的關(guān)系對(duì)閾值進(jìn)行求解, 對(duì)于該方法存在的問題, 結(jié)合遺傳算法進(jìn)行了改進(jìn), 通過對(duì)正弦信號(hào)與方波信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)的閾值求解, 證明該方法可以快速準(zhǔn)確得到系統(tǒng)躍變閾值, 解決了閾值難以快速準(zhǔn)確得到的問題, 為混沌振子檢測(cè)低信噪比信號(hào)的實(shí)際應(yīng)用奠定了很好的基礎(chǔ).