陳亞萍 曾小平

(1.黔南民族師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 558000;2.首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048)

國(guó)際數(shù)學(xué)與科學(xué)教育成就趨勢(shì)研究(TIMSS)，是由國(guó)際教育成就評(píng)價(jià)協(xié)會(huì)(IEA)組織的大型研究項(xiàng)目．TIMSS認(rèn)為，高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)為大學(xué)學(xué)習(xí)做充分的準(zhǔn)備，而大學(xué)學(xué)習(xí)又是為將來職業(yè)做準(zhǔn)備的．今天的高中學(xué)生，將會(huì)成為明天的科學(xué)家與工程師，將會(huì)成為科學(xué)創(chuàng)新與技術(shù)發(fā)展的重要力量．因此，國(guó)家和社會(huì)都應(yīng)該高度關(guān)注高中生的數(shù)學(xué)水平，以確保其為富有挑戰(zhàn)的大學(xué)學(xué)習(xí)做好充分的準(zhǔn)備．首次TIMSS高中數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)于1995年進(jìn)行，第二次于2008年進(jìn)行，第三次于2015年進(jìn)行．2014年3月，IEA的官方網(wǎng)站上發(fā)布了TIMSS2015高中數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)框架，2016年11月公布了評(píng)價(jià)結(jié)果，其中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的評(píng)價(jià)值得我們學(xué)習(xí)和參考．

1 TIMSS2015的高中數(shù)學(xué)認(rèn)知

TIMSS2015高中數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)的“認(rèn)知領(lǐng)域(Cognitive Domains)”包含“知道”、“運(yùn)用”和“推理”三個(gè)區(qū)域，各區(qū)域所占比重分別為35%、35%和30%．

(1)知道(Knowing)

“知道”是指學(xué)生需要知道的數(shù)學(xué)事實(shí)、概念和程序．該區(qū)域包含“回憶”、“辨認(rèn)”、“計(jì)算”和“提取”四個(gè)層級(jí)，各層級(jí)的含義見表1．

表1 “知道”的四個(gè)層級(jí)

(2)運(yùn)用(Applying)

“應(yīng)用”是指運(yùn)用知識(shí)和概念的理解來創(chuàng)造表征和解決問題的能力．問題可能來源于現(xiàn)實(shí)生活，也可能來源于數(shù)學(xué)內(nèi)部．該區(qū)域包含“確定”、“表征/建?！焙汀皩?shí)施”三個(gè)層級(jí)，各層級(jí)的含義見表2．

表2 “運(yùn)用”的三個(gè)層級(jí)

(3)推理(Reasoning)

“推理”需要邏輯性和系統(tǒng)性思維，包括形成猜想、基于預(yù)先假設(shè)與已有規(guī)則進(jìn)行邏輯演繹推理和證明結(jié)果．該區(qū)域包括“分析”、“整合/綜合”、“評(píng)價(jià)”、“結(jié)論”、“概括”和“辯護(hù)”六個(gè)層級(jí)，各層級(jí)的含義見表3．

表3 “推理”的六個(gè)層級(jí)

2 TIMSS2015的數(shù)學(xué)認(rèn)知基準(zhǔn)

TIMSS2015以高中數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，通過對(duì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的研究，將高中學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知?jiǎng)澐譃槿齻€(gè)國(guó)際基準(zhǔn)(International Benchmarks)，即中等(Intermediate)、較高(High)和高級(jí)(Advanced)，對(duì)應(yīng)分值為475、550和625．

(1)中等基準(zhǔn)

學(xué)生具有使用代數(shù)、微積分和幾何中的概念和程序來解決常規(guī)問題的能力．具體表現(xiàn)為：能夠應(yīng)用公式或公式變形來解決問題，確定幾何數(shù)列中的項(xiàng)，分析簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)方程的近似解，識(shí)別絕對(duì)值函數(shù)的圖形和識(shí)別復(fù)合函數(shù)；能夠求指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和簡(jiǎn)單有理函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求有理函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的極限，在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的圖形之間建立聯(lián)系；能夠使用幾何圖形的基本屬性和畢達(dá)哥拉斯定理來解決問題，以坐標(biāo)的形式進(jìn)行向量的加與減．

例如，在“知道”維度，在給定函數(shù)圖像的情況下識(shí)別其絕對(duì)值函數(shù)的圖像，學(xué)生可以完成問題1．

問題1：已知函數(shù)y=f(x)的圖像如下．

那么，函數(shù)y=|f(x)|的圖像是哪一個(gè)？( )

A

B

C

D

又如，在“知道”維度，確定等比數(shù)列的項(xiàng)，學(xué)生可以完成問題2．

A.t6B.t7C.t8D.t81

再如，在“應(yīng)用”維度，在距離和仰角已知的情況下計(jì)算高度，學(xué)生可以完成問題3．

問題3：海中有一個(gè)小島，小島上有一座燈塔，小島高出海平面4米．海面上有一艘航船，與燈塔的水平距離為170米，與燈塔頂?shù)难鼋菫?0°，燈塔的高度最接近多少？( )

A.22 B.26 C.30 D.34

(2)較高基準(zhǔn)

學(xué)生具有大量使用代數(shù)、微積分、幾何和三角中的概念和程序來解決常規(guī)和非常規(guī)情境中的多步驟問題的能力．具體表現(xiàn)為：能夠分析和解決代數(shù)問題(包括在真實(shí)情境中的問題)，能夠解決需要解釋函數(shù)與其圖像相關(guān)的問題，用函數(shù)觀點(diǎn)分析不等式，可以進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算和復(fù)數(shù)運(yùn)算；能夠了解連續(xù)性和可微性，可以分析函數(shù)解析式和圖像，可以將函數(shù)圖像與其一階和二階導(dǎo)數(shù)的圖像和表達(dá)式聯(lián)系起來，對(duì)積分有一些概念性的理解；能夠使用三角函數(shù)來解決涉及三角函數(shù)和幾何圖形的各種問題，可以使用笛卡爾平面來解決問題，識(shí)別向量的垂向量，并證明坐標(biāo)系中給出的四邊形是平行四邊形．

例如，在“應(yīng)用”維度，根據(jù)函數(shù)圖像確定參數(shù)的值，學(xué)生可以完成問題4．

又如，在“應(yīng)用”維度，根據(jù)三角形中的角計(jì)算邊的比，學(xué)生可以完成問題5．

再如，在“運(yùn)用”維度，解決涉及兩個(gè)圓柱體體積的應(yīng)用題，學(xué)生可以完成問題6．

問題6：工廠制造底面直徑為6厘米、容積為600立方厘米的圓柱體容器．如果要使圓柱體容器容積擴(kuò)大到750立方厘米，高度保持不變，那么它的底面直徑應(yīng)當(dāng)是多少厘米？

例如，在“推理”維度，根據(jù)一階導(dǎo)函數(shù)確定原函數(shù)，學(xué)生可以完成問題7．

問題7：函數(shù)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)f′(x)的圖像如下．

下面圖像中，哪個(gè)最有可能是函數(shù)f(x)的圖像？( )

A

B

C

D

(3)高級(jí)基準(zhǔn)

學(xué)生深刻理解概念、掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算程序和數(shù)學(xué)推理技巧，可以解決復(fù)雜情境中的代數(shù)、微積分、幾何和三角函數(shù)問題．具體表現(xiàn)為：在代數(shù)中，學(xué)生可以用函數(shù)推理解決純粹數(shù)學(xué)問題，解決復(fù)數(shù)與排列問題，進(jìn)行級(jí)數(shù)求和；在微積分中，深刻理解函數(shù)的連續(xù)性和可微性，可以解決不同背景下的優(yōu)化問題并證明其解答的合理性，可以使用定積分來計(jì)算兩條曲線之間的面積；能夠使用幾何推理來解決復(fù)雜問題，用向量的屬性來表達(dá)向量之間的關(guān)系，使用三角函數(shù)來解決關(guān)非常規(guī)幾何圖形問題．

例如，在“運(yùn)用”維度，根據(jù)系數(shù)確定函數(shù)圖像的交點(diǎn)，學(xué)生可以完成問題8．

又如，在“運(yùn)用”維度，在給定底面直徑和高的關(guān)系下求圓柱的最大體積，學(xué)生可以完成問題9．

問題9：用一個(gè)通過圓柱中心的平面去截圓柱，截面是一個(gè)周長(zhǎng)為6米的長(zhǎng)方形．滿足這個(gè)條件的圓柱的最大體積是多少？( )

A.2.5米 B.2米 C.1米 D.1米

E.0.5米

再如，在“推理”維度，能計(jì)算函數(shù)圖像圍成圖形的面積，學(xué)生可以完成問題10．

問題10：計(jì)算函數(shù)y=x2與y=5x-4所圍成區(qū)域的面積．

3 數(shù)學(xué)認(rèn)知的研究結(jié)果

來自全球的10個(gè)國(guó)家和地區(qū)超過5.6萬名學(xué)生參與了TIMSS2015的高中數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)研究，取得了比較可信的研究結(jié)果．

(1)整體趨勢(shì)令人失望

TIMSS2015高中數(shù)學(xué)的研究顯示：每周進(jìn)行6小時(shí)以上的數(shù)學(xué)加強(qiáng)學(xué)習(xí)的俄羅斯學(xué)生和黎巴嫩學(xué)生成績(jī)最高，成績(jī)分別為540和532．其余俄羅斯學(xué)生，連同美國(guó)和葡萄牙學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)第二高，成績(jī)分別為485、485和482；挪威、法國(guó)和斯洛文尼亞學(xué)生的成績(jī)相當(dāng)，分別為459、463和460；瑞典和意大利學(xué)生的成績(jī)相當(dāng)，分別為431和422．

TIMSS2015高中數(shù)學(xué)的研究顯示：參與國(guó)家和地區(qū)中，達(dá)到高級(jí)、較高和中等基準(zhǔn)的人數(shù)比例為2%、14%和43%．可見，要要達(dá)到高級(jí)基準(zhǔn)非常困難，俄羅斯、黎巴嫩和美國(guó)7%～10%達(dá)到了高級(jí)基準(zhǔn)，但在其他國(guó)家和地區(qū)只有1%～3%．與1995年相比，達(dá)到中級(jí)基準(zhǔn)的學(xué)生百分比比較低，并且在4個(gè)國(guó)家和地區(qū)中出現(xiàn)了大幅下降．

在具有20年趨勢(shì)數(shù)據(jù)的6個(gè)國(guó)家和地區(qū)中，法國(guó)、意大利和瑞典的高中生的數(shù)學(xué)成績(jī)從1995年至2015年整體出現(xiàn)明顯下降趨勢(shì)．俄羅斯、斯洛文尼亞和美國(guó)沒有顯著變化．作為亮點(diǎn)，僅挪威和瑞典的高中生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?008年至2015年期間有所上升．

(2)認(rèn)知存在不平衡性

在TIMSS2015研究的“知道”、“運(yùn)用”、“推理”三個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域中，雖然在認(rèn)知領(lǐng)域有一些平衡，但相對(duì)整體成績(jī)而言，大多數(shù)國(guó)家和地區(qū)至少有一個(gè)優(yōu)勢(shì)和一個(gè)弱點(diǎn)．在2015的10個(gè)參與國(guó)家和地區(qū)中，在“知道”方面表現(xiàn)相對(duì)較強(qiáng)的有4個(gè)，較弱的有3個(gè)；在“運(yùn)用”方面表現(xiàn)相對(duì)較強(qiáng)的有2個(gè)，較弱的有3個(gè)；在“推理”方面表現(xiàn)相對(duì)較強(qiáng)的有3個(gè)，較弱的有3個(gè)．

按性別劃分的認(rèn)知領(lǐng)域成就差異顯示，男孩表現(xiàn)優(yōu)于女孩，尤其在推理方面優(yōu)勢(shì)明顯．在2015的參與國(guó)家和地區(qū)中，男孩表現(xiàn)比女孩好的國(guó)家和地區(qū)：在“知道”方面有5個(gè)，在“運(yùn)用”方面有3個(gè)；在“推理”方面有6個(gè)，在數(shù)學(xué)認(rèn)知方面沒有發(fā)現(xiàn)女孩高于男孩的情況．

TIMSS2015高中數(shù)學(xué)的研究顯示，男孩的總體數(shù)學(xué)成績(jī)也明顯高于女孩．參與研究的國(guó)家和地區(qū)中，在代數(shù)方面男孩高于女孩的國(guó)家和地區(qū)有5個(gè)，在微積分方面有5個(gè)，在幾何方面有6個(gè)，在具體內(nèi)容領(lǐng)域方面沒有發(fā)現(xiàn)女孩高于男孩的情況．

4 TIMSS2015給我們的啟示

雖然中國(guó)大陸沒有參與TIMSS2015高中數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)，但認(rèn)真研讀評(píng)價(jià)框架和結(jié)果，特別是對(duì)高中學(xué)生“數(shù)學(xué)認(rèn)知”的評(píng)價(jià)研究，對(duì)優(yōu)化我們的數(shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)有重要的現(xiàn)實(shí)意義．

(1)關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知的評(píng)價(jià)

我們目前的高中數(shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)與考試，主要關(guān)注學(xué)生對(duì)具體數(shù)學(xué)知識(shí)與內(nèi)容的掌握程度．常常表現(xiàn)為以高難度、高技巧的題目，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的形式化記憶、考察學(xué)生對(duì)復(fù)雜的程序性數(shù)學(xué)運(yùn)算，考查學(xué)生高難度的恒等變形．這些評(píng)價(jià)關(guān)注的是靜態(tài)的數(shù)學(xué)的內(nèi)容，而不是動(dòng)態(tài)的學(xué)生的認(rèn)知；側(cè)重的是熟練的技巧，而不是有創(chuàng)建性的探索與思考．

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)被譽(yù)為是人類思維的體操．TIMSS2015重點(diǎn)評(píng)價(jià)高中學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和數(shù)學(xué)思考的過程，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的發(fā)展．因此，建議我們的數(shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)，更多地關(guān)注學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展，降低試題難度，重點(diǎn)考察學(xué)生了解、理解、運(yùn)用、推理和問題解決的具體過程．

(2)關(guān)注對(duì)問題解決的評(píng)價(jià)

我們目前的評(píng)價(jià)試題中有一部分應(yīng)用題，大多是學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練過的練習(xí)題，可以算作人為構(gòu)造的文字題．它們是結(jié)構(gòu)良好的、學(xué)生熟悉的、不用動(dòng)多大腦筋就能計(jì)算出結(jié)果的封閉性試題；而不是結(jié)構(gòu)不良的、陌生的、需要進(jìn)行深入思考才能得到一定程度的答案的開放性問題．

反觀TIMSS2015，重視對(duì)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的評(píng)價(jià)．TIMSS認(rèn)為解決問題是“應(yīng)用”的核心，重點(diǎn)是熟悉日常任務(wù)，解決來源于現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)中的真實(shí)的問題．同時(shí)，TIMSS還認(rèn)為 “推理”中列舉的很多認(rèn)知層級(jí)都會(huì)在思考和解決陌生的問題中表現(xiàn)出來，這是數(shù)學(xué)教育價(jià)值的外在表現(xiàn)．因此建議，我們的數(shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)，應(yīng)該設(shè)置一些學(xué)

生陌生的、結(jié)構(gòu)不良的數(shù)學(xué)問題、準(zhǔn)數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)生活問題；要讓學(xué)生面對(duì)一些開放性問題與真實(shí)情境，在過程中考察學(xué)生的思維發(fā)展與認(rèn)知狀況．

(3)加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的性別差異研究

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的性別差異，一直是國(guó)際數(shù)學(xué)教育界關(guān)注和研究的難點(diǎn)問題．TIMSS2015的研究表明，男孩在數(shù)學(xué)認(rèn)知的總體表現(xiàn)和三個(gè)維度上都好于女孩，尤其在推理維度差異明顯．國(guó)外相關(guān)研究還表明，男孩在視覺/空間能力上優(yōu)于女孩，而女孩在計(jì)算方面的表現(xiàn)優(yōu)于男孩．可見，性別差異在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是存在的．

然而，我們國(guó)家的高中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上是否存在性別差異，至今尚未看到有一定說服力的研究．因此，我們需要加強(qiáng)這方面的研究，比如數(shù)學(xué)認(rèn)知及其各個(gè)維度、數(shù)學(xué)態(tài)度與情感、數(shù)學(xué)計(jì)算與直觀想象等方面是否存在性別差異．然后，我們才能科學(xué)地利用研究成果，為不同性別的學(xué)生提供有針對(duì)性的數(shù)學(xué)教育，更好地促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，提高數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量．