顧廣林

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》提出了六條數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的連續(xù)性出發(fā)，初中階段也應(yīng)承接高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本理念與內(nèi)涵，不同之處就是由學(xué)生心理、生理發(fā)展階段不同而對(duì)應(yīng)的要求沒有高中這么高。廣大初中教師應(yīng)認(rèn)識(shí)到學(xué)科核心素養(yǎng)對(duì)學(xué)生成長(zhǎng)和發(fā)展的重要意義，積極探索教學(xué)的途徑和策略。蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”是運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題或探究某個(gè)數(shù)學(xué)專題而設(shè)計(jì)的版塊，筆者以為，初中“數(shù)學(xué)活動(dòng)”版塊的教學(xué)是發(fā)展初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑之一。

一、初中“數(shù)學(xué)活動(dòng)”指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的開展涉及測(cè)量、設(shè)計(jì)、調(diào)查、實(shí)驗(yàn)等多種方式，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

“數(shù)學(xué)活動(dòng)”需要測(cè)量，一般是測(cè)量一些實(shí)物的距離或高度，然后應(yīng)用這些數(shù)據(jù)通過數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決不可直接測(cè)量的距離或高度的問題。一方面，測(cè)量活動(dòng)需要在實(shí)際場(chǎng)景中選擇適當(dāng)?shù)臏y(cè)量工具和測(cè)量方法，需要研究測(cè)量對(duì)象，分析其中的數(shù)學(xué)關(guān)系，構(gòu)建解決這個(gè)問題的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步探討這個(gè)模型能否解決一般性的問題，再從抽象的層面將其拓展。這樣學(xué)生把學(xué)到的知識(shí)與真實(shí)問題聯(lián)系起來，經(jīng)歷動(dòng)手操作、測(cè)量數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)分析、小組協(xié)作、信息交流等活動(dòng)。另一方面，測(cè)量活動(dòng)需要解釋模型，需要理解模型中的運(yùn)算對(duì)象，設(shè)計(jì)運(yùn)算程式，需要較強(qiáng)的計(jì)算和代數(shù)推理能力，不同活動(dòng)小組的測(cè)量數(shù)據(jù)有時(shí)差距較大，需要反思測(cè)量工具和測(cè)量方法，進(jìn)行誤差校正，有利于培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。因此，測(cè)量活動(dòng)能夠發(fā)展學(xué)生的建模、推理、抽象等素養(yǎng)。

“數(shù)學(xué)活動(dòng)”需要設(shè)計(jì)，一般是依托所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法對(duì)滿足一定條件的幾何圖形、景觀等進(jìn)行創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)。開展規(guī)劃設(shè)計(jì)活動(dòng)是一種體驗(yàn)式的學(xué)習(xí)，需要運(yùn)用圖形進(jìn)行直觀想象或者構(gòu)造圖形幫助描述和分析解決問題的思路，也需要把握?qǐng)D形與數(shù)量關(guān)系的關(guān)聯(lián)。我們通過表現(xiàn)性和反思性評(píng)價(jià)，培養(yǎng)學(xué)生有條理地表達(dá)，注重有論據(jù)、有邏輯的推理，不斷提升學(xué)生的思維品質(zhì)。在學(xué)生規(guī)劃設(shè)計(jì)的過程中，實(shí)踐活動(dòng)都應(yīng)該由學(xué)生來操作，以此獲得一些感性知識(shí)，并在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行展示交流、理性思考，引導(dǎo)學(xué)生將自己的規(guī)劃設(shè)計(jì)與他人交流。這說明設(shè)計(jì)活動(dòng)不只是簡(jiǎn)單的操作和思考，要通過作品展示、交流評(píng)價(jià)、思維碰撞和理性驗(yàn)證等活動(dòng)優(yōu)化原有的設(shè)計(jì)方案。這種實(shí)踐和思維活動(dòng)能夠發(fā)展學(xué)生的直觀想象、推理和抽象等素養(yǎng)。

“數(shù)學(xué)活動(dòng)”需要調(diào)查，其過程一般為“收集數(shù)據(jù)→制成圖表→分析數(shù)據(jù)→形成報(bào)告”。收集數(shù)據(jù)需要走進(jìn)社會(huì)，在社會(huì)大課堂中學(xué)習(xí)，能在實(shí)踐應(yīng)用中對(duì)“樣本”等知識(shí)進(jìn)一步理解和構(gòu)建，鍛煉學(xué)生的交往和合作能力。分析數(shù)據(jù)通常需要運(yùn)用統(tǒng)計(jì)和概率知識(shí)，需要合理選擇統(tǒng)計(jì)圖表或統(tǒng)計(jì)量，分析數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的規(guī)律或結(jié)論，可以加深對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的理解，有助于形成統(tǒng)計(jì)觀念，提高數(shù)據(jù)分析的意識(shí)和能力。有些調(diào)查活動(dòng)主要是收集現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系，并用方程、不等式和函數(shù)等數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解釋，感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。有些數(shù)學(xué)活動(dòng)需要估算（測(cè)），而要估算（測(cè)）一個(gè)問題通常也需要調(diào)查得到數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，它與抽象密不可分。［1］因此，調(diào)查活動(dòng)在創(chuàng)造性運(yùn)用多種知識(shí)解決問題的過程中，能夠發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析、抽象和建模等素養(yǎng)。

“數(shù)學(xué)活動(dòng)”需要實(shí)驗(yàn)，也就是借助一定的工具圍繞主題從數(shù)學(xué)的視角進(jìn)行實(shí)踐性探索和應(yīng)用活動(dòng)，實(shí)驗(yàn)過程中需要?jiǎng)邮植僮?、積極猜想、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗(yàn)證結(jié)果、積極反思實(shí)驗(yàn)過程。顯性操作主要有折疊、剪拼、科學(xué)實(shí)驗(yàn)等，實(shí)驗(yàn)為學(xué)生理解知識(shí)提供“支架”，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有助于學(xué)生直觀想象、抽象和邏輯推理等素養(yǎng)的發(fā)展，有助于數(shù)學(xué)思想和方法的形成。有些科學(xué)實(shí)驗(yàn)需要小組合作和數(shù)據(jù)分析，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和合作能力，并以此誘發(fā)類比、猜想、歸納和驗(yàn)證（證明）等思維活動(dòng)，對(duì)已有的知識(shí)和方法在應(yīng)用中進(jìn)一步建構(gòu)和理解。有些對(duì)特殊化條件獲得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果常常需要推廣到一般性結(jié)論。由此，實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛟凇白觥敝邪l(fā)展學(xué)生抽象、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)。

二、指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的初中“數(shù)學(xué)活動(dòng)”教學(xué)案例

“數(shù)學(xué)活動(dòng)”教學(xué)要挖掘情境中的核心內(nèi)容，據(jù)此設(shè)計(jì)核心問題或?qū)W習(xí)（評(píng)價(jià)）任務(wù)，教學(xué)中應(yīng)該鼓勵(lì)或引導(dǎo)學(xué)生提出問題或生成問題，形成學(xué)習(xí)任務(wù)，從而引發(fā)學(xué)生的操作和認(rèn)知活動(dòng)，也就是引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法正確地“做事”。以蘇科版教材“數(shù)學(xué)活動(dòng)——確定藏寶地”［2］為例，簡(jiǎn)要敘述教學(xué)過程。

1.對(duì)情境提出問題。

回顧本章主要內(nèi)容（由直角坐標(biāo)系確定點(diǎn)），向?qū)W生提問：你覺得還有哪些問題需要探究？給出教材中的情境，如何解決問題？引導(dǎo)學(xué)生最終生成任務(wù)：由已知點(diǎn)的位置畫出直角坐標(biāo)系。

由情境提出問題，可以培養(yǎng)學(xué)生探索解決問題的思路能力，理解要探究問題的來龍去脈。

2.如何確定直角坐標(biāo)系。

（1）確定直角坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度。一是引導(dǎo)學(xué)生通過自己的觀察和操作，感悟到要畫出地圖坐標(biāo)系的關(guān)鍵是確定坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度。二是引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)特殊點(diǎn)入手，基于兩個(gè)特殊點(diǎn)的直觀形象關(guān)系，感知和把握由給定特殊點(diǎn)確定坐標(biāo)系單位長(zhǎng)度的方法，再由特殊推廣到一般情形下確定坐標(biāo)系單位長(zhǎng)度的方法。這種探索活動(dòng)是學(xué)生親身經(jīng)歷感性逐漸上升到理性的數(shù)學(xué)抽象過程，目的是培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、由特殊到一般的類比能力和抽象等核心素養(yǎng)。

（2）引導(dǎo)學(xué)生確定直角坐標(biāo)系。確定藏寶地，關(guān)鍵是畫出直角坐標(biāo)系。學(xué)生在畫圖中發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)難以確定，這就需要引導(dǎo)學(xué)生理解圖中兩點(diǎn)的位置確定，那么藏寶地的位置就是確定的。為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生悟出借助透明紙上的坐標(biāo)系來確定隱藏的坐標(biāo)系，從而在地圖中畫出藏寶地，當(dāng)然也可以通過透明紙上藏寶地位置直接描出地圖上的藏寶地。通過這個(gè)深度探究活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的動(dòng)手操作能力、推理能力以及溝通已知與未知的能力。

3.引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)圖。

“數(shù)學(xué)活動(dòng)”不是簡(jiǎn)單的知識(shí)應(yīng)用，而是需要對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行拓展或再一次建構(gòu)，形成可遷移的“高品質(zhì)”的知識(shí)，這樣才能更好地應(yīng)用它解決問題，這也是安排“數(shù)學(xué)活動(dòng)”版塊的意圖之一。為此就要引導(dǎo)學(xué)生畫知識(shí)結(jié)構(gòu)圖（圖1），將拓展知識(shí)納入學(xué)生已有的知識(shí)系統(tǒng)，發(fā)展學(xué)生的抽象和推理等核心素養(yǎng)。

圖1 知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

4.根據(jù)藏寶圖實(shí)際尋找藏寶地。

教師在學(xué)?；▓@內(nèi)預(yù)先確定藏寶圖中兩個(gè)標(biāo)記點(diǎn)的位置，藏好寶物，并準(zhǔn)備多種測(cè)量工具。學(xué)生分成小組根據(jù)畫好的地圖進(jìn)行計(jì)算、測(cè)量等活動(dòng)尋找寶物。

從課前學(xué)情調(diào)研和課堂教學(xué)看，學(xué)生已具備一定的關(guān)于比例的認(rèn)知，課堂上部分學(xué)生也對(duì)在現(xiàn)實(shí)生活中如何尋找寶物很感興趣，所以這個(gè)環(huán)節(jié)滿足了學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，為后續(xù)的相似三角形學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。安排這個(gè)理論與實(shí)踐相結(jié)合的環(huán)節(jié)，一是鍛煉學(xué)生綜合運(yùn)用多種方法尋找寶藏的能力。面對(duì)實(shí)際場(chǎng)景，如何選擇工具展開實(shí)際操作，如何修正誤差，對(duì)學(xué)生來說都是挑戰(zhàn)，但是學(xué)生學(xué)習(xí)熱情空前高漲，尋寶現(xiàn)場(chǎng)呈現(xiàn)出一幅忙碌的景象，在“做事”中學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐等多種能力和素養(yǎng)得到發(fā)展，且產(chǎn)生積極的情感和態(tài)度。二是在真實(shí)情境應(yīng)用中以操作促進(jìn)思維發(fā)展，讓學(xué)生對(duì)獲得的知識(shí)和方法在實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)再次理解和建構(gòu)，進(jìn)一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)。在地圖上畫出藏寶地只是“紙上談兵”，“數(shù)學(xué)活動(dòng)”需要彌補(bǔ)常規(guī)數(shù)學(xué)課的不足，要重視實(shí)踐活動(dòng)，從小課堂走進(jìn)社會(huì)大課堂，較好地實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”實(shí)踐育人的價(jià)值。

5.課后完成反思評(píng)價(jià)表。

作為研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的課后延伸，課后反思有利于學(xué)生真正悟出所學(xué)知識(shí)、所開展活動(dòng)背后的道理。筆者所設(shè)計(jì)的課后反思評(píng)價(jià)表（見下頁表1）中“你還有確定藏寶物位置的方法嗎？”一問難度較大，需要高階思維和合作學(xué)習(xí)來完成。

三、指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的初中“數(shù)學(xué)活動(dòng)”教學(xué)建議

1.豐富學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)歷。

教學(xué)需要傳授，更需要學(xué)生的親身經(jīng)歷。在經(jīng)歷中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中領(lǐng)悟，才有可能讓經(jīng)驗(yàn)的“根”扎得更深、讓智慧的“葉”開得更茂。［3］“數(shù)學(xué)活動(dòng)”中的調(diào)查、設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)、測(cè)量等探究性活動(dòng)提供了應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的機(jī)會(huì)，因此，必須創(chuàng)設(shè)自主活動(dòng)的氛圍，豐富“數(shù)學(xué)活動(dòng)”經(jīng)歷，既要有顯性經(jīng)歷，也應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷比較分析、抽象概括和回顧反思等真正的思維過程。有了這些活動(dòng)經(jīng)歷，學(xué)生才能從中獲得解決問題的一般性研究方法，形成自然、合理、主動(dòng)的數(shù)學(xué)思維，學(xué)生的思維領(lǐng)悟與思想感悟?qū)⒅饾u豐富。當(dāng)然，“數(shù)學(xué)活動(dòng)”經(jīng)歷也要有層次，既要有體驗(yàn)，也要掌握思想和方法，升華情感和價(jià)值觀，從而在豐富的經(jīng)歷中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

表1 課后反思評(píng)價(jià)表

2.培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)。

“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的本質(zhì)是思維活動(dòng)，思維活動(dòng)的激發(fā)基于“問題”，沒有問題就沒有思維，“數(shù)學(xué)活動(dòng)”教學(xué)價(jià)值就在于它是基于問題的。因此，教學(xué)中要通過操作活動(dòng)，從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題和提出問題，并用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行表達(dá)。如果把“數(shù)學(xué)活動(dòng)”變成教師規(guī)定好的“任務(wù)”，它就失去了應(yīng)有的價(jià)值，而成為學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生生成問題，同時(shí)，盡量將簡(jiǎn)化問題、提出假設(shè)等解決問題的關(guān)鍵過程留給學(xué)生自己去做。培養(yǎng)問題意識(shí)可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，激發(fā)思維活動(dòng)，有效發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3.重視操作和思維的融合。

“數(shù)學(xué)活動(dòng)”是知識(shí)的應(yīng)用，以操作為載體，多種感官協(xié)調(diào)作用，在實(shí)踐中促進(jìn)對(duì)知識(shí)更深入的理解。教學(xué)中要尊重和信任學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生活動(dòng)和猜想，引導(dǎo)學(xué)生以多樣化的學(xué)習(xí)方式建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)和積累經(jīng)驗(yàn)。這不僅需要學(xué)生具備動(dòng)手操作能力和一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更需要教師設(shè)計(jì)具有一定思維深度的活動(dòng)，找準(zhǔn)活動(dòng)與思維的契合點(diǎn)，將活動(dòng)中的思維要素開發(fā)出來，使活動(dòng)成為思維發(fā)展的源泉，引發(fā)學(xué)生的思維，使他們外顯的操作與內(nèi)隱的思維協(xié)調(diào)發(fā)揮作用，這樣才能在應(yīng)用知識(shí)的過程中得到對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)較為深刻的理解，實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”是“數(shù)學(xué)的活動(dòng)”的目的。這種有思維深度的探究性活動(dòng)才是深度學(xué)習(xí)，才能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。