莊周燕

(江蘇省南通市通州區(qū)育才中學(xué) 226300)

核心素養(yǎng)時(shí)代，為了讓我們的課堂在有限時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生較高的效應(yīng)量，需要我們對(duì)知識(shí)進(jìn)行有意義的建構(gòu)，而例題教學(xué)作為課堂教學(xué)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，我們要重視挖掘它的價(jià)值，注重拓展和延伸，可設(shè)置一題多問(wèn)，“問(wèn)題”是數(shù)學(xué)的心臟，我們要讓它更具開(kāi)放性、探究性和層次性，教學(xué)時(shí)不斷加強(qiáng)基本技能和數(shù)學(xué)思想的教學(xué)力度，讓學(xué)生理清一題多問(wèn)中的相互關(guān)聯(lián)，感知知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，讓學(xué)生的的思維更加開(kāi)闊和深刻，實(shí)現(xiàn)擴(kuò)張效應(yīng).下面就“二次函數(shù)與線段最值”的思考和實(shí)踐進(jìn)行回顧梳理，以呈現(xiàn)自己與課的成長(zhǎng)歷程.

問(wèn)題1 過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線AC于Q點(diǎn)，試用含有m的式子表示線段PQ的長(zhǎng)并求線段PQ的最大值.

=-2m2-4m=-2(m2+2m)=-2(m+1)2+2,

又∵-2

∴當(dāng)m=-1時(shí)，PQ有最大值為2.

評(píng)析本問(wèn)要研究線段PQ的最大值，考慮到P,Q兩點(diǎn)橫坐標(biāo)一樣，線段長(zhǎng)度計(jì)算可考慮用點(diǎn)P的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，得到一個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式，再考慮范圍，求出最大值.二次函數(shù)模型的建構(gòu)為后續(xù)學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).

問(wèn)題2過(guò)點(diǎn)P作x軸平行線交直線AC于N點(diǎn)，求線段PN的最大值.

解過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于D點(diǎn)，交AC于點(diǎn)Q.

∵PN∥AB,

∴∠PNQ=∠CAO,

∴tan∠PNQ=tan∠CAO.

∴PN=2PQ.

當(dāng)PQ最大時(shí)，有PN最大.

由第1問(wèn)可知，當(dāng)m=-1時(shí)，PQ有最大值為2,所以PN的最大值為4.

評(píng)析在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生自主嘗試，互動(dòng)交流，讓學(xué)生在自主活動(dòng)中發(fā)揮主體性，積極性和發(fā)展性，在問(wèn)題2探究時(shí)，有學(xué)生提出點(diǎn)P和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)一樣，是不是也可以像問(wèn)題1一樣，設(shè)縱坐標(biāo)為n，將兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出來(lái)，再考慮橫坐標(biāo)之差，但實(shí)踐發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)不易表示，當(dāng)學(xué)生朝著一個(gè)固定的思維方向受阻時(shí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思路，合理靈活地尋找新的探索方向，轉(zhuǎn)為PN和PQ之間的關(guān)系研究，問(wèn)題的解決讓他們感受到轉(zhuǎn)化在解題中的作用和價(jià)值.

問(wèn)題3求P點(diǎn)到直線AC距離的最大值.

解∵∠HPQ+∠PQH=90°，∠AQD+∠QAD=90°,

又∵∠AQD=∠PQH,

∴∠HPQ=∠QAD.

評(píng)析問(wèn)題1至3漸進(jìn)的設(shè)置，自然、合理、必然，有效地促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn).前兩問(wèn)的探析，讓學(xué)生找到一條清晰的解決問(wèn)題的方法路徑，學(xué)生在探索中獲得了有益的感悟，有助于鍛煉思維的靈活性，在不知不覺(jué)中習(xí)得技能，問(wèn)題3自然而然得以解決.這表明學(xué)生的解題能力進(jìn)一步走向深入.

問(wèn)題4作PD⊥x軸于D點(diǎn)，交AC于Q點(diǎn)，作PH⊥AC于H點(diǎn)，求△PQH周長(zhǎng)的最大值.

同理∵QH=PQsin∠QPH,

C△PQH=PQ+PH+QH

問(wèn)題5連接PA，PC.求△PAC面積的最大值.

解S△PAQ+S△POQ

由第1問(wèn)可知，當(dāng)m=-1時(shí)，PQ有最大值為2,所以△PAC的面積為2.

評(píng)析問(wèn)題4和5，作為前3問(wèn)的延續(xù)和拓展，進(jìn)一步喚醒、激活了學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，完成了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)，讓學(xué)生總結(jié)得出不同的題型最后都可化歸為線段PQ的研究.通過(guò)對(duì)教學(xué)資源的設(shè)計(jì)，可跳出“就題講題”的窠臼，有效地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，讓學(xué)生獲得真正意義的成長(zhǎng).

磨課感悟本題是一道以二次函數(shù)為背景的動(dòng)態(tài)探究綜合題，有效融合了二次函數(shù)轉(zhuǎn)化思想，三角函數(shù)，三角形的周長(zhǎng)、面積計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí).首先研究線段長(zhǎng)度和坐標(biāo)之間的關(guān)系，用二次函數(shù)表達(dá)式表示線段的長(zhǎng)度，讓學(xué)生從知識(shí)的“根部”開(kāi)始，逐漸加深，理解知識(shí)的發(fā)生，發(fā)展過(guò)程，體驗(yàn)題型設(shè)計(jì)的合理性與層次性，引導(dǎo)學(xué)生從事物的本源去深思，把握知識(shí)的本質(zhì).

1.厘清問(wèn)題根源，發(fā)現(xiàn)入門(mén)鑰匙

本節(jié)課我采用了“情境——建模——求解——應(yīng)用”的教學(xué)流程，首先創(chuàng)設(shè)一個(gè)讓學(xué)生易于理解的學(xué)習(xí)資源問(wèn)題1，完成二次函數(shù)模型的建構(gòu)，在本源性的數(shù)學(xué)問(wèn)題研究后，再派生出問(wèn)題系列，層層遞進(jìn).問(wèn)題2的探究為問(wèn)題3-5的研究提供了很好的研究范式.當(dāng)我們找準(zhǔn)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)后，引導(dǎo)學(xué)生在這里下功夫，幫助學(xué)生找到入門(mén)的鑰匙.

2.著眼模型建構(gòu)，發(fā)現(xiàn)解題技巧

為了使教學(xué)更具生成性，開(kāi)放性和發(fā)展性，我們將教學(xué)素材進(jìn)一步整合，讓不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題以及數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的不同側(cè)面進(jìn)行對(duì)話，引導(dǎo)學(xué)生用有效的策略和方法去探索，思考和理解，從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，力求在有限的時(shí)間里，通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題.學(xué)生能夠透過(guò)表象，發(fā)現(xiàn)本源，從而走向最遠(yuǎn)的終點(diǎn)，同時(shí)能在比較中感受知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò)，找到幾個(gè)問(wèn)題的共同要素，從中汲取對(duì)自己有用的解題經(jīng)驗(yàn)，從而將新知和已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行融會(huì)貫通，最終完成新知的建構(gòu).

3.拓寬探究渠道，發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)藏之質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)就是教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)，在師生之間、生生之間的積極交流和互動(dòng)中完成學(xué)習(xí)任務(wù)，實(shí)現(xiàn)共同發(fā)展.本課為了讓結(jié)構(gòu)更合理，互動(dòng)更有序，合作更有效，設(shè)置時(shí)主要讓學(xué)生在第1問(wèn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行聯(lián)想，將問(wèn)題串聯(lián)在分類(lèi)與整合的這根線上.學(xué)生通過(guò)思維參與，行為參與，在體驗(yàn)中思考、交流，在思維碰撞的過(guò)程中逐步悟化，探究出事物的本質(zhì)，思維品質(zhì)得到了進(jìn)一步提升，形成更佳的智能結(jié)構(gòu).

總體來(lái)說(shuō)，本節(jié)課以探究為基點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷了完整的觀察、合作探究，歸納總結(jié)的過(guò)程，先“融會(huì)”再貫通.學(xué)生透過(guò)老師搭建的層層階梯，逐步找到核心問(wèn)題，即線段最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)探究，在細(xì)致揣摩中對(duì)題目的本質(zhì)有了清晰的認(rèn)識(shí)，形成了解決問(wèn)題的基本策略，學(xué)生在探尋中實(shí)現(xiàn)了整體建構(gòu)的價(jià)值提升.