王鵬飛，張京京，陳帝伊

(西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院,陜西 楊凌 712100)

水輪發(fā)電機組主軸系統(tǒng)是水力發(fā)電系統(tǒng)的重要組成部分，是由轉(zhuǎn)子、轉(zhuǎn)輪、軸系以及軸承部件構(gòu)成的彈性旋轉(zhuǎn)組合構(gòu)件[1],其中轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)輪分別作為機組電磁激勵與水流激勵的源頭，對機組穩(wěn)定運行有著至關(guān)重要的影響[2-4].因此，探討水輪發(fā)電機組軸系振動特性是十分必要的.許多學(xué)者在這方面進行了大量的研究，并取得了一定成果[5-7].

鑒于水輪發(fā)電機組主軸系統(tǒng)的復(fù)雜性，在研究時通常首先將發(fā)電機轉(zhuǎn)子、軸承和水輪機轉(zhuǎn)輪等簡化為等效元件，將轉(zhuǎn)子和轉(zhuǎn)輪形心作為廣義坐標(biāo)，分別建立轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)輪的運動方程[8]；然后將需要考慮的影響因素轉(zhuǎn)化為廣義力作用在軸系模型上，構(gòu)成形式復(fù)雜的二階微分方程組[9].例如：ZHANG等[10]考慮了不平衡磁拉力以及非線性密封力作用下轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的動態(tài)特性；白冰等[11]研究了導(dǎo)軸承剛度對水輪機軸系自振特性的影響；宋志強等[12]研究了水力與電磁激勵對水電機組扭轉(zhuǎn)特性的影響；張國淵等[13]考慮油膜力與電磁力作用，研究機組的非線性特性與穩(wěn)定性等.這些理論研究方法雖然物理意義清晰，但是未能給出附加作用力對軸系基礎(chǔ)模型的影響和作用機理，同時不便于研究機組振動控制等相關(guān)問題[14].

文中基于軸系廣義哈密頓控制模型，結(jié)合工程實例進行數(shù)值模擬，探究在不平衡磁拉力與水力不平衡力共同作用時，不同轉(zhuǎn)速下阻尼系數(shù)變化時水輪發(fā)電機組主軸系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)以及軸心軌跡與時、頻域變化特性.

1 水輪發(fā)電機組軸系哈密頓模型

1.1 主軸運動方程

水輪發(fā)電機組軸系結(jié)構(gòu)如圖1所示.

定義發(fā)電機轉(zhuǎn)子中心坐標(biāo)x1，y1，水輪機轉(zhuǎn)輪中心坐標(biāo)x2，y2，以及水輪發(fā)電機轉(zhuǎn)角φ為廣義坐標(biāo)，即(q1,q2,q3,q4,q5)T=(x1,y1,x2,y2,φ)T.水輪發(fā)電機組主軸系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)[8]為

(1)

式中：K11，K12，K22為等效剛度；e1為轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心距；e2為轉(zhuǎn)輪質(zhì)量偏心距；J1為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量；J2為轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)動慣量.

根據(jù)廣義動量定義[15]：

(2)

由式(2)得到廣義坐標(biāo)速度表達式為

(3)

由文獻[15]，求取系統(tǒng)哈密頓函數(shù)，即

(4)

根據(jù)哈密頓正則方程定義[15]，聯(lián)立式(3)求取廣義力表達式：

(5)

聯(lián)立式(3)與式(5)，即水輪發(fā)電機組軸系瞬態(tài)哈密頓模型.考慮實際運行過程中機組轉(zhuǎn)速通常為常數(shù)[14]，因此假設(shè)dφ/dt=0.基于這種假設(shè)，重新定義廣義坐標(biāo)與廣義動量，并引入量綱一化參數(shù)為

式中：τ為時間，是量綱為一的參數(shù)；δ0為軸承間隙；ω為機組旋轉(zhuǎn)角速度.

水輪發(fā)電機組主軸系統(tǒng)哈密頓運動微分方程量綱一化表達式為

(6)

1.2 機組軸系廣義哈密頓模型

水輪發(fā)電機組軸系廣義哈密頓理論形式[14]為

(7)

式中：

其中，(x1,x2,x3,x4)T=(x1,y1,x2,y2)T；H為系統(tǒng)能量函數(shù)；J(x)為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)矩陣；U為系統(tǒng)輸入激勵，包括外部作用力與控制輸入，其具有反對稱結(jié)構(gòu)，矩陣元素反映了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系.ui(i=1,…,8)為控制器輸入，加入適當(dāng)?shù)目刂破骺蓪⑾到y(tǒng)響應(yīng)控制在所需的范圍內(nèi).文中輸入激勵只考慮作用在轉(zhuǎn)子上的不平衡磁拉力與作用在轉(zhuǎn)輪上的水力不平衡力,以及阻尼力[16-17].

2 機組軸系非線性動態(tài)特性分析

為了探究水輪發(fā)電機組軸系橫向振動特性，結(jié)合實例通過MATLAB自帶函數(shù)ode45對模型(7)進行積分求解，計算初值為0.001，求解時長為800 s，并取后300 s周期數(shù)值結(jié)果進行分析，以避免初值對計算結(jié)果的影響.給出在不同轉(zhuǎn)速時，系統(tǒng)隨阻尼系數(shù)從0～5.0×106N·s/m變化時的橫振響應(yīng)分岔圖、軸心軌跡圖、時域圖和頻譜圖，圖中響應(yīng)位移均量綱為一.某機組軸系參數(shù)[8]：轉(zhuǎn)子質(zhì)量m1=4.0×105kg；轉(zhuǎn)輪質(zhì)量m2=3.0×105kg；轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心e1=3.0×10-4m；轉(zhuǎn)輪質(zhì)量偏心e2=4.5×10-3m；轉(zhuǎn)輪半徑R=3m；上導(dǎo)剛度k1=1.10×109N/m；下導(dǎo)剛度k2=1.10×109N/m；水導(dǎo)剛度k3=1.55×109N/m；均勻氣隙大小δ0=8.0×10-3m；氣隙基波磁動勢系數(shù)kj=1.2；勵磁電流Ij=700 A.

圖2為定轉(zhuǎn)速(ω=314 rad/s)情況下，發(fā)電機轉(zhuǎn)子與水輪機轉(zhuǎn)輪軸心振幅隨阻尼系數(shù)變化的響應(yīng)分岔圖.

由圖2可知，阻尼系數(shù)較小(02.0×106N·s/m，c2>1.5×106N·s/m)時，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期運動，系統(tǒng)振幅穩(wěn)定，轉(zhuǎn)子振幅為0.04，轉(zhuǎn)輪振幅為0.07.

為了反映系統(tǒng)的具體動態(tài)特性，給出阻尼系數(shù)對應(yīng)系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期(c1=0.5×106N·s/m，c2=0.5×106N·s/m)與周期運動(c1=3.0×106N·s/m，c2=3.0×106N·s/m)時的軸心軌跡和時、頻譜圖，如圖3所示，圖中τ為時間，為量綱一的量.由圖可知，阻尼系數(shù)較小時，轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)輪響應(yīng)表現(xiàn)為倍周期現(xiàn)象，軸心軌跡響應(yīng)為多個不同心圓環(huán)重疊，時域圖為擬周期的不等幅振蕩，頻譜圖中存在諧波成分，系統(tǒng)運動響應(yīng)不穩(wěn)定.阻尼系數(shù)較大(c1>2.0×106N·s/m，c2>1.5×106N·s/m)時，倍周期現(xiàn)象消失，軸系響應(yīng)為穩(wěn)定的周期運動.軸心軌跡為均勻的圓環(huán)，時域圖表現(xiàn)為等幅周期振蕩，頻域圖中無諧波成分.說明阻尼較大時，轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)輪運動響應(yīng)較為穩(wěn)定.此外，對比轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)輪的橫向振動幅值可知，轉(zhuǎn)輪振幅大于轉(zhuǎn)子振幅.

圖4為定轉(zhuǎn)速(ω=180 rad/s)情況下，發(fā)電機轉(zhuǎn)子與水輪機轉(zhuǎn)輪軸心振幅隨阻尼系數(shù)變化的響應(yīng)分岔圖.綜合圖2可知，系統(tǒng)阻尼系數(shù)c1，c2在0～5.0×106N·s/m范圍內(nèi)，系統(tǒng)均存在周期1與倍周期運動，不同轉(zhuǎn)速時系統(tǒng)的橫振響應(yīng)隨阻尼系數(shù)變化的趨勢相似.當(dāng)阻尼系數(shù)較小，即c1=c2=0～1.0×106N·s/m時，轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)輪均出現(xiàn)明顯的倍周期現(xiàn)象，轉(zhuǎn)子振幅范圍為[0,0.09]，轉(zhuǎn)輪振動范圍為[0.02,0.12]；當(dāng)阻尼系數(shù)增大時，即c1=c2=1.0×106～5.0×106N·s/m時，系統(tǒng)為周期1運動，振幅值為定值,轉(zhuǎn)子振幅為0.05,轉(zhuǎn)輪振動范圍為0.07.

圖5為阻尼系數(shù)對應(yīng)系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期(c1=0.1×106N·s/m，c2=0.1×106N·s/m)與周期運動(c1=3.0×106N·s/m，c2=3.0×106N·s/m)時的軸心軌跡和時、頻譜圖.c1=c2=0.1×106N·s/m時，轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)輪軸心軌跡響應(yīng)復(fù)雜，時域圖表現(xiàn)為劇烈振蕩，頻譜圖上出現(xiàn)諧波成分.這說明阻尼系數(shù)較小或無阻尼時系統(tǒng)易不穩(wěn)定.當(dāng)c1=c2=3.0×106N·s/m時，系統(tǒng)軸系軌跡響應(yīng)為單一圓環(huán)，時域圖表現(xiàn)為穩(wěn)定的等幅周期振蕩，頻譜無諧波.

3 結(jié) 論

文中以某水力發(fā)電機組為研究對象，利用哈密頓方程建立水輪發(fā)電機組主軸系統(tǒng)一階運動微分方程，將外部作用力(包括不平衡磁拉力以及水力不平衡力)作為系統(tǒng)輸入，構(gòu)建廣義哈密頓模型，并探究了在不同轉(zhuǎn)速下阻尼變化時系統(tǒng)的動力學(xué)特性.文中主要得到如下結(jié)論：

1) 適當(dāng)增加阻尼對抑制軸系振動有較為明顯的效果.

2) 所建模型能較好地反映系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為，通過考慮不同的輸入激勵，可探究軸系動態(tài)特性.

3) 文中的建模方法和仿真研究可以為進一步研究機組振動與控制提供理論支撐.