黃海波 余旭東 葉方杰

摘要： 建立了充分考慮帶束層寬度和厚度及側(cè)向正應(yīng)變和切、側(cè)向預(yù)應(yīng)力的輪胎三維等效圓柱薄殼模型，提出了一組適合不同頻段的輪胎帶束層切向、徑向和橫向振動的位移函數(shù)。該模型不僅能夠準(zhǔn)確計算中低頻（0-300 Hz）的輪胎面內(nèi)、外振動固有頻率，還能夠預(yù)測帶束層截面方向發(fā)生的中、高頻彎曲振動（300-500 Hz）。通過瑞利-里茲法求解低頻振動并簡化計算過程，通過模態(tài)展開法求解中高頻彎曲振動。使用錘擊法試驗驗證了模型的準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞： 橫向彎曲振動; 輪胎; 薄壁圓柱殼模型; 位移公式;中高頻段

中圖分類號： U461.1; TB123; U463.341 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2020）04-0709-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.008

引 言

輪胎振動特性作為影響整車舒適性、操縱穩(wěn)定性及噪聲的重要影響因素[1]，一直受到學(xué)者和工程師的重點關(guān)注。在輪胎振動特性中，輪胎結(jié)構(gòu)振動主要集中在0-500 Hz[2-3]，在中低頻區(qū)域（0-300 Hz），輪胎的振動模式相對簡單，在帶束層橫截面方向保持近乎剛體的平移和擺動，主要影響車輛的結(jié)構(gòu)振動;在中高頻區(qū)域（300-500 Hz），輪胎帶束層在橫向截面上會發(fā)生彎曲振動，使振型變得更為復(fù)雜[4]，將主要影響車輛的噪聲[5]。由于輪胎結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，目前的理論模型還較難以完整預(yù)測輪胎在0-500 Hz頻段上的振動特性。有限元模型雖然能夠預(yù)測輪胎低、中、高頻的振動特性[2，6]，但是時間成本高、需要辨識的輪胎參數(shù)多，具有一定的局限性。因此，建立能夠在更寬頻帶范圍內(nèi)高效和準(zhǔn)確預(yù)測輪胎振動特性的理論模型具有重要的理論意義和應(yīng)用價值。

由于具有較好的準(zhǔn)確性及高效性，圓環(huán)模型一直被廣泛應(yīng)用于輪胎的振動特性[7-10]和車輛動力學(xué)模擬[11-12]。但早期的環(huán)模型也暴露出一些局限性，其作為二維模型無法描述帶束層的橫向振動[5]，因此也不可能反映出輪胎帶束層在中高頻發(fā)生的橫向彎曲振動。近年來眾多研究者開始研究三維彈性圓環(huán)模型，將模型橫向擴展使之能夠包含胎面的橫向振動。文獻(xiàn)[13-14]通過假設(shè)圓環(huán)繞軸線的橫向扭轉(zhuǎn)角將面內(nèi)、外振動解耦，同時考慮大應(yīng)變項，得到了輪胎固有頻率的解析解，并且用有限元和物理實驗相結(jié)合的方法驗證了其準(zhǔn)確性。Matsubara等[15-16]提出了一組位移函數(shù)結(jié)合三維柔性環(huán)模型，能夠較為高效、快速和準(zhǔn)確地預(yù)測150 Hz以下的輪胎徑向和側(cè)向振動，但不能計算輪胎帶束層橫向的中高階彎曲模態(tài)。然而環(huán)模型中由于帶束層在橫截面方向的振動依然保持平面近似剛體[17]，因此不能反映出輪胎帶束層在中高頻（300-500 Hz）發(fā)生的橫向彎曲振動。Lecomte等[18]建立了考慮胎側(cè)影響的薄壁圓柱殼模型計算帶束層在0-500 Hz上的振動，但不能計算輪胎的側(cè)向固有頻率。Molisani等[19]的模型由于未區(qū)分帶束層在低頻的平移和擺動，雖然可以計算輪胎橫向的中高階彎曲模態(tài)，但是無法預(yù)測帶束層的低頻橫向振動。因此，雖然三維輪胎環(huán)模型已經(jīng)有一些研究成果，但關(guān)于輪胎的側(cè)向高階振動仍有較大的研究空間，仍然有必要繼續(xù)探討和豐富輪胎三維振動理論模型及其求解方法。

本文基于Kirchhoff-Love假設(shè)[20]，提出了基于圓柱殼的輪胎理論模型和對應(yīng)的位移函數(shù)。模型將薄殼視作許多平行于中性面的薄層相互疊加，單獨變形而又保持直法線特性，由此可以計算帶束層的橫向彎曲振動。模型不但可以預(yù)測帶束層的低頻徑/側(cè)向振動，還可以預(yù)測其橫向高階彎曲振動（大于300 Hz）。通過試驗驗證了模型的準(zhǔn)確性。本文研究可以為輪胎結(jié)構(gòu)振動和噪聲提供一種可供借鑒的思路和方法。

1 薄壁圓柱殼模型

1.1 模型描述 ?輪胎圓柱薄殼模型如圖1所示。輪胎被簡化為三部分：輪轂、薄壁圓柱殼和等效彈簧。輪轂簡化為具有集中質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量的圓柱形剛體，帶束層簡化為三維薄壁圓柱殼，胎側(cè)和充氣壓力的彈性用徑向、切（周）向和橫向線性等效彈簧表示。建立旋轉(zhuǎn)柱坐標(biāo)系（y，θ，r）描述三維圓柱薄殼的相對運動，薄殼中性面的徑向、切向和側(cè)向位移分別為w，v和u。不同于常見的三維輪胎簡化模型，本模型不僅考慮了圓柱薄殼的寬度和厚度，還充分考慮了充氣壓力對帶束層產(chǎn)生的預(yù)應(yīng)力。

1.2 位移-應(yīng)變關(guān)系

需要注意的是，較之前人工作[13-16]，本文提出的理論模型不僅考慮了胎面橫向移動引起的機械能，還考慮了胎面橫向彎曲變形引起的彈性勢能，因此可以較為準(zhǔn)確地求解輪胎高階橫向彎曲振動。

2 振動位移函數(shù)

為了準(zhǔn)確表達(dá)胎面帶束層在不同階下的耦合振動，本文采用被廣泛使用[22-25]的Wheeler[6]輪胎模態(tài)命名規(guī)則。規(guī)則使用整數(shù)組合[c， a]來描述輪胎的耦合振動模態(tài)振型，c表示帶束層在振動時徑向位移變化量沿圓周方向產(chǎn)生的波數(shù)（波形的數(shù)量），a表示帶束層振動時徑向位移變化量沿橫截面方向產(chǎn)生的波數(shù)，對應(yīng)的振型如圖2所示。兩個方向的振動可以是耦合的。

將位移函數(shù)（13）帶入公式（9）中，可得到質(zhì)量矩陣Mc2和剛度矩陣Kc2進(jìn)而求得彎曲振動的固有頻率。

2.3 扭轉(zhuǎn)模態(tài)

3.1 模型參數(shù)及模態(tài)試驗 ?本文使用205/55R16子午線輪胎驗證計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，模型參數(shù)[26]如表1所示。需要指出的是，本文模型為輪胎帶束層等效殼體模型，所測量的數(shù)據(jù)包括半徑、寬度、厚度等都是帶束層而非包含胎面膠的整個輪胎的數(shù)據(jù)。

采用錘擊法進(jìn)行模態(tài)試驗。進(jìn)行模態(tài)試驗時，輪胎放置在EPE珍珠棉發(fā)泡板上。由于珍珠棉本身固有頻率較低（低于20 Hz）[27]，輪胎可被認(rèn)為處于自由懸置狀態(tài)。試驗輪胎充氣壓力為225 kPa，胎面上共布置60個測點，每排12個測點，共5排，通過3向加速度傳感器測量測點的加速度響應(yīng)。試驗激勵點分別位于胎面中心線和胎肩，試驗儀器如圖3所示。試驗采用單點激勵多點輸出的方法獲得各測點的響應(yīng)信號，每個測點錘擊3次，最終結(jié)果為3次測量平均值，以保證信號的一致性。

3.2 試驗結(jié)果

經(jīng)過模態(tài)分析軟件處理后得到如圖4所示的0-500 Hz范圍輪胎徑向頻響函數(shù)曲線和0-250 Hz的輪胎側(cè)向頻響函數(shù)曲線?？梢钥闯鲚喬ピ?00-500 Hz頻段上的模態(tài)頻率密度非常高。

如圖5所示，通過試驗得到了輪胎中低頻的固有振型和模態(tài)頻率。固有頻率計算結(jié)果與試驗結(jié)果的對比如表2所示，可以發(fā)現(xiàn)模型對徑向振動[c， 0]的理論計算與試驗值誤差在5%以內(nèi)。徑/側(cè)向耦合振動[c， 1]的固有頻率除[2， 1] （誤差為10.54%）外誤差都在10%以內(nèi)，模型均能夠保證對兩種振動方式預(yù)測的準(zhǔn)確性，特別是側(cè)向振動的準(zhǔn)確性。

由于輪胎在350-500 Hz范圍的模態(tài)頻率密度較高，本文使用“模態(tài)振型辨識模態(tài)頻率”的方法，即如果計算得到的振型與試驗的振型一致，那么認(rèn)為振型對應(yīng)的計算頻率和試驗頻率是同一階的，以此來找到計算頻率對應(yīng)的試驗頻率。試驗分析結(jié)果與計算結(jié)果對比如圖6所示，可以發(fā)現(xiàn)[0， 2]，[1， 2][c， 2]和[2， 2]振型對應(yīng)的固有頻率計算結(jié)果與試驗結(jié)果的誤差分別為-7.74%，-0.89%和0.37%，說明所建立的輪胎理論模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測胎面的中高頻振動特性。

由于試驗裝置、數(shù)據(jù)采集及處理和模型線性假設(shè)及忽略阻尼等原因，模型在所研究的頻率范圍內(nèi)計算結(jié)果與試驗值存在一定的誤差。由于這些誤差均在10%以內(nèi)（除模態(tài)[2， 1]誤差為10.54%），因此模型在0-500 Hz范圍內(nèi)能夠較準(zhǔn)確預(yù)測輪胎不同類型的振動。

4 結(jié) 論

本文提出了輪胎的三維等效圓柱薄殼理論模型及對應(yīng)不同頻段的振動位移函數(shù)，計算了輪胎在0-500 Hz范圍內(nèi)的輪胎振動特性，通過物理試驗驗證了模型準(zhǔn)確性。可以得到以下結(jié)論：

（1）模型特別考慮了薄殼厚度方向任意點的位移，從而可以計算輪胎帶束層的橫向正應(yīng)變，使預(yù)測輪胎在中、高頻段上的橫向彎曲振動成為可能，為預(yù)測輪胎中高頻振動特性提供了一種高效手段。

（2）提出了一組新的位移函數(shù)，可以描述輪胎帶束層徑/側(cè)/切向耦合振動，結(jié)合本文模型可以預(yù)測輪胎帶束層在0-500 Hz范圍的模態(tài)特性，特別是可以預(yù)測300-500 Hz范圍上的輪胎橫向彎曲振動，且與試驗結(jié)果吻合較好。

（3）模型理論上可以計算更高頻帶的橫向彎曲振動（a=3，4…），但由于試驗條件所限沒有進(jìn)行試驗驗證。另外，隨著頻率升高，輪胎阻尼對于固有頻率的影響將越來越大，如何考慮輪胎結(jié)構(gòu)阻尼將是今后進(jìn)一步完善模型的方向。

參考文獻(xiàn)：

[1] 趙六奇， 金達(dá)鋒. 車輛動力學(xué)基礎(chǔ)[M]. 北京： 清華大學(xué)出版社， 2006.

[2] Lopez I， Blom R E A， Roozen N B， et a1. Modelling vibrations on deformed rolling tyres—A modal approach[J]. Journal of Sound and Vibration， 2007， （307）：481-494.

[3] 張麗宏. 輪胎-路面噪聲產(chǎn)生機理研究[D]. 南京：東南大學(xué)， 2009.

Zhang Lihong. Research on generating mechanism of tire-pavement noise[D]. Nanjing： Southeast University， 2009.

[4] Sabiniarz P， Kropp W. A waveguide finite element aided analysis of the wave field on a stationary tyre， not in contact with the ground[J]. Journal of Sound and Vibration， 2010， 329（15）：3041-3064.

[5] 危銀濤， 李 勇， 馮希金， 等. 輪胎理論與技術(shù)[M]. 北京： 清華大學(xué)出版社， 2013.

[6] Wheeler R L， Dorfi H R， Keum B B. Vibration modes of radial tires： Measurement， prediction， and categorization under different boundary and operating conditions[C]. Proceedings of SAE Noise and Vibration Conference， Traverse City， 2005.

[7] Pacejka H B. Tire In-plane Dynamics[M]. Washington DC： National Bureau of Stands Monograph， 1971.

[8] Padovan J. On Viscoelasticity and standing waves in tire[J]. Tire Science and Technology， 1976， 4（4）：233-246.

[9] Potts G R， Bell C A， Charek L T， et al. Tire vibrations[J]. Tire Science and Technology， 1977， 5（4）：202-225.

[10] Clark S K. The rolling tire under load[R]. NASA Technical Paper， No. NASA-CR-62659， 1965.

[11] Zegelaar P W A. The dynamic response of tyres to brake torque variations and road unevenness[D]. The Netherlands： Delft University of Technology， 1998.

[12] Gipser Michael. FTire， a new fast tire model for ride comfort simulations[C]. 1999 ADAMS Users Conference， Berlin， 1999：1-11.

[13] Liu Z， Zhou F Q， Oertel C， et al， Three-dimensional vibration of a ring with a noncircular cross-section on an elastic foundation[J]. Archive Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part C： Journal of Mechanical Engineering Science， 2017，232（13）：2381-2393.

[14] 危銀濤， 劉 哲， 周福強， 等. 考慮面外振動的輪胎三維環(huán)模型[J]. 振動工程學(xué)報， 2016， 29（5）：765-803.

Wei Yintao， Liu Zhe， Zhou Fuqiang， et al. Three-dimensional REF model of tire including the out-of-plane vibration[J]. Journal of Vibration Engineering， 2016， 29（5）： 765-803.

[15] Matsubara M， Tsujiuchi N， Koizumi T， et al. Natural frequency analysis of tire vibration using a thin cylindrical shell model[J]. SAE Technical Papers 2015-01-2198， 2015.

[16] Matsubara M， Tajiri D， Ise T， et al， Vibrational response analysis of tires using a three-dimensional flexible ring-based model[J]. Journal of Sound and Vibration， 2017， 408：368-382.

[17] 劉習(xí)軍， 賈啟芬. 工程振動理論與測試技術(shù)[M]. 北京：高等教育出版社， 2004.

[18] Lecomte C， Graham W R， Dale M. A shell model for tyre belt vibrations[J]. Journal of Sound and Vibration， 2010， 329（10）：1717-1742.

[19] Molisani L R， Burdisso R A， Tsihlas D. A coupled tire structure/acoustic cavity model[J]. International Journal of Solids and Structures， 2003， 40 （19）：5125-5138.

[20] Soedel W. Vibrations of Shells and Plates[M]. 2nd edition. New York： Marcel Dekker， 1993.

[21] 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室. 理論力學(xué)II [M].第7版.北京：高等教育出版社， 2009.

[22] Kindt P， Sas P， Desmet W. Development and validation of a three-dimensional ring-based structural tyre model[J]. Journal of Sound and Vibration， 2009， 326（3）：852-869.

[23] Diaz C G， Kindt P， Middelberg J. Dynamic behaviour of a rolling tyre： Experimental and numerical analyses[J]. Journal of Sound and Vibration， 2016， 364（2）：147-164.

[24] Farahani A M， Mahjoob M. Modal analysis of a non-rotating inflated tire using experimental and numerical methods[J]. International Journal of Engineering Innovation and Research， 2018， 7（1）： 2277-5668.

[25] 李 超. 滾動輪胎的模態(tài)特性研究[D]. 長春：吉林大學(xué)， 2016.

Li Chao. Study on modal characteristics of rolling tires[D]. Changchun：Jilin University， 2016.

[26] 魯冰花.輪胎接地印跡性態(tài)對輪胎磨損的影響研究[D]. 寧波：寧波大學(xué)， 2014.

Lu Binghua. The study on influence of tire contact features on tire wear[D]. Ningbo：Ningbo University， 2014.

[27] 鄭華明， 吳江渝， 曹國榮.聚乙烯發(fā)泡塑料沖擊能量的吸收及振動傳遞率的分析[J]. 包裝工程， 2008， 29（3）：30-32.

Zhang Huaming， Wu Jiangyu， Cao Guorong. Research on the absorbing of shock energy and vibration transmissibility of expanded polyethylene[J]. Packaging Engineering， 2008， 29（3）：30-32.

Abstract： A three-dimensional thin-walled cylindrical model for tires is established with full consideration of the width and thickness of the belt， the lateral normal strain and the prestress in tangential and lateral directions. A set of displacement functions in tangential， radial and transverse directions for the tire belt is proposed. The model can not only calculate the in-plane and out-of-plane vibrations at low frequencies， but also predict the mid-and high-frequency bending vibrations that may occur in the transverse direction of the belt. The Rayleigh-Ritz method is used to solve the low-frequency vibration problem and simplify the calculation process. The modal expansion method is used to achieve the natural frequency of the mid- and high-frequency bending vibration. The natural frequencies and modal shapes of a 205/55R16 radial tire are measured and identified by the hammering method， which are used to validate the accuracy of the model. The model provides referable methodology for studying the vibration behavior of tires in various frequency bands.

Key words： transverse bending vibration; tire; thin-walled cylindrical shells; displacement formula; medium and high frequency areas