黃建亮 肖龍江

摘要：研究?jī)啥斯潭ㄇ哼@種同時(shí)含有2，3次非線性項(xiàng)的系統(tǒng)受基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的非線性振動(dòng)響應(yīng)及分岔演化過(guò)程。對(duì)屈曲梁的運(yùn)動(dòng)微分方程，利用Galerkin方法分離時(shí)間和空間變量，應(yīng)用增量諧波平衡（IHB）法自動(dòng)追蹤屈曲梁的非線性振動(dòng)響應(yīng)的周期解和倍周期解，并用Floquet理論分析其解的穩(wěn)定性。研究表明屈曲梁對(duì)稱模態(tài)的固有頻率隨屈曲程度而變化，反對(duì)稱模態(tài)的固有頻率保持不變。研究發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下，不同屈曲程度時(shí)存在兩種截然不同的非線性現(xiàn)象：1）在非共振時(shí)，反對(duì)稱模態(tài)未能被激發(fā)，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)發(fā)生倍周期分岔通向混沌運(yùn)動(dòng);2）在1∶1內(nèi)共振條件下，反對(duì)稱模態(tài)在一定的頻率區(qū)間里會(huì)被激發(fā)，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔導(dǎo)致具有等間距邊頻帶的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，最后至混沌運(yùn)動(dòng)。利用IHB法得到結(jié)果與用Runge-Kutta法得到的數(shù)值結(jié)果一致。

關(guān)鍵詞：非線性振動(dòng);屈曲梁;分岔;增量諧波平衡法;準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)

中圖分類號(hào)：O322;TU375.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1004-4523（2020）04-0698-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.007

引言

屈曲梁/板/殼等結(jié)構(gòu)的振動(dòng)十分普遍，廣泛存在于航空航天、土木、機(jī)械、電子等工程中[1-5]。飛機(jī)、火箭、導(dǎo)彈、加速推進(jìn)器、航天結(jié)構(gòu)里的柔性纖維、潛水器等典型例子，其基礎(chǔ)的激勵(lì)作用都與結(jié)構(gòu)的橫向振動(dòng)有關(guān)。

由于初始彎曲和中面伸長(zhǎng)，屈曲梁的振動(dòng)方程中同時(shí)包含2次和3次非線性項(xiàng)，表現(xiàn)出較為復(fù)雜的非線性特性[6-7]。兩端固定屈曲梁，由于邊界條件的特殊性，其振動(dòng)響應(yīng)更為復(fù)雜[8-9]。Afaneh和Ibrahim利用多尺度法分析了1∶1內(nèi)共振條件下兩端固定屈曲梁的前兩階的振動(dòng)響應(yīng)[8]，發(fā)現(xiàn)在此條件下，梁的振動(dòng)響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)、準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)三種形態(tài)，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。Kreider和Nayfeh通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定[9]，當(dāng)外激勵(lì)的頻率接近于梁的第1階固有頻率時(shí)，隨著外激勵(lì)的振幅變化會(huì)發(fā)生倍周期分岔，并且在倍周期分岔的基礎(chǔ)上會(huì)發(fā)生“不可解釋”的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，然而沒(méi)有給出理論上的分析，只是說(shuō)明用1階模態(tài)計(jì)算得到的結(jié)果誤差較大。Emam和Nayfeh通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法驗(yàn)證了上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠性[10]，同時(shí)他們還用多時(shí)間尺度法和打靶法研究了屈曲梁的次諧波響應(yīng)[11]。在中國(guó)，也有相關(guān)學(xué)者在這領(lǐng)域作了大量而出色的研究工作。曾志剛和葉敏采用實(shí)驗(yàn)建模和多尺度法研究了黏彈性屈曲梁的參數(shù)激振[12]，并用數(shù)值模擬的方法研究由倍周期分岔通往混沌的道路。陳得良等用實(shí)驗(yàn)研究了脫層屈曲梁在軸向周期激勵(lì)作用下的倍周期分岔與混沌運(yùn)動(dòng)[13]。

增量諧波平衡法（IHB法）適用于解決強(qiáng)非線性振動(dòng)問(wèn)題[14-17]。運(yùn)用增量諧波平衡法可追蹤振動(dòng)響應(yīng)隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，有利于研究系統(tǒng)的總體特性。Huang等[18-19]用增量諧波平衡法研究了兩端簡(jiǎn)支彎曲梁的振動(dòng)。Lau等[20-21]把增量諧波平衡法和多時(shí)間尺度法結(jié)合起來(lái)，用于計(jì)算系統(tǒng)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。Huang和Zhu[22-23]改進(jìn)了文獻(xiàn)[20-21]的方法，用多時(shí)間尺度的增量諧波平衡法研究了一端固定一端簡(jiǎn)支的彎曲梁的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。

本文采用增量諧波平衡法分析兩端固定屈曲梁的非線性振動(dòng)響應(yīng)和分岔過(guò)程。先用線性化的方法計(jì)算梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)，再通過(guò)Galerkin方法對(duì)梁的振動(dòng)偏微分方程進(jìn)行離散，使其轉(zhuǎn)化為以時(shí)間為變量的常微分方程，然后運(yùn)用增量諧波平衡法把此常微分方程再次轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解，得到系統(tǒng)振動(dòng)的周期解，并通過(guò)Floquet理論[24-25]對(duì)解進(jìn)行穩(wěn)定性分析。研究了彎曲程度不同時(shí)，遠(yuǎn)離內(nèi)共振條件下和內(nèi)共振條件下系統(tǒng)的非線性振動(dòng)響應(yīng)和分岔演化過(guò)程。

周期解發(fā)生倍周期分岔的原因和工況1）不同，在工況1）中是因?yàn)閷?duì)稱模態(tài)的響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔，而在工況2）中則是因?yàn)楸患ぐl(fā)的反對(duì)稱模態(tài)與對(duì)稱模態(tài)中包含不同的頻率成分。

追蹤period-2周期解可發(fā)現(xiàn)，在圖6中r點(diǎn)外激勵(lì)頻率為45.68處，period-2周期解不穩(wěn)定。在這一點(diǎn)，F(xiàn)loquet乘子中有一對(duì)復(fù)共軛特征值與單位圓相交，因此，在這一點(diǎn)period-2周期解發(fā)生Hopf分岔導(dǎo)致準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)一段穩(wěn)定的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，在外激勵(lì)頻率為45.6處，準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)，演變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)。與工況1）不同的是，此時(shí)產(chǎn)生的混沌運(yùn)動(dòng)并不會(huì)隨著時(shí)間逐漸衰減為周期運(yùn)動(dòng)，而是會(huì)持續(xù)保持下去。

圖7-9反映了在1∶1內(nèi)共振條件下，圖6中q點(diǎn)附近外激勵(lì)頻率接近梁的第1階固有頻率時(shí)，梁的振動(dòng)響應(yīng)的分岔演化過(guò)程。其中圖7（a）為外激勵(lì)頻率為45.9處（圖6中q點(diǎn)右側(cè)）穩(wěn)定的period-1周期解的頻譜圖。圖7（b）為外激勵(lì)頻率為45.7處（圖6中r點(diǎn)右側(cè)）穩(wěn)定的period-2周期解的頻譜圖，可以看出，與圖7（a）中period-1周期解相比，q1的運(yùn)動(dòng)幾乎沒(méi)有發(fā)生變化，而q2的運(yùn)動(dòng)卻從無(wú)到有被激發(fā)出來(lái)，圖8（a）與（d）分別為此時(shí)q1與q2的相圖。圖7（c）為外激勵(lì)頻率為45.64處準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的頻譜圖，在不穩(wěn)定的period-2周期解各個(gè)諧波項(xiàng)的附近出現(xiàn)了間隔較小的等間距的邊頻帶，邊頻帶中相鄰諧波項(xiàng)的間隔約為4.11，存在等間距邊頻帶為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)頻譜圖所特有的現(xiàn)象[22-23]，圖8（b）和（e）分別為此時(shí)q1與q2準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的相圖，圖9（a）和（c）為其龐加萊截面圖。圖8（c）與圖8（f）為外激勵(lì)頻率為45.6時(shí)，q1與q2混沌運(yùn)動(dòng)的相圖，圖9（b）和（d）為其龐加萊截面圖。

當(dāng)外激勵(lì)頻率接近梁的第2階固有頻率時(shí)，梁的振動(dòng)響應(yīng)的變化和外激勵(lì)頻率接近梁的第1階固有頻率。當(dāng)外激勵(lì)頻率從44.68減小至43.68時(shí)（圖6中s與t點(diǎn)之間），由period-1周期解發(fā)生倍周期分岔產(chǎn)生的period-2周期解穩(wěn)定。此后隨著外激勵(lì)頻率的減小，period-2周期解發(fā)生Hopf分岔，產(chǎn)生準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。繼續(xù)減小外激勵(lì)頻率，準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)將失穩(wěn)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)。

5結(jié)論

本文用增量諧波平衡法追蹤了在基礎(chǔ)諧波激勵(lì)作用下兩端固定屈曲梁的振動(dòng)響應(yīng)隨外激勵(lì)頻率的變化，并分析了振動(dòng)響應(yīng)的穩(wěn)定性和分岔演化過(guò)程。研究發(fā)現(xiàn)，在僅有梁的彎曲程度不同的兩種情況中，運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)的方式完全不同。

在屈曲程度較小，非共振的條件下，屈曲梁的反對(duì)稱模態(tài)的振動(dòng)不會(huì)被激發(fā)，當(dāng)外激勵(lì)頻率接近梁的第1階固有頻率或其2倍時(shí)，梁的對(duì)稱模態(tài)振動(dòng)響應(yīng)不斷發(fā)生倍周期分岔，從而依次得到period-2k（k=1，2…）周期解，直到某個(gè)period-2k周期解不再發(fā)生倍周期分岔而發(fā)生鞍結(jié)分岔。在鞍結(jié)分岔點(diǎn)處period-2k周期解失穩(wěn)而變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)，此混沌運(yùn)動(dòng)隨著時(shí)間的變化逐漸演變?yōu)橐粋€(gè)穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，這個(gè)周期運(yùn)動(dòng)為混沌運(yùn)動(dòng)中的一個(gè)吸引子。

在屈曲程度較大，存在1∶1內(nèi)共振的條件下，隨著外激勵(lì)頻率接近梁的第1階或第2階固有頻率，梁的振動(dòng)響應(yīng)也會(huì)發(fā)生倍周期分岔。但此時(shí)振動(dòng)響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔的原因是反對(duì)稱模態(tài)的振動(dòng)被激發(fā)，而被激發(fā)的反對(duì)稱模態(tài)的振動(dòng)響應(yīng)中所含有的頻率成分均為外激勵(lì)頻率一半的奇數(shù)倍。由于發(fā)生倍周期分岔，梁的振動(dòng)響應(yīng)變?yōu)閜eriod-2周期解。隨著外激勵(lì)頻率的減小，period-2周期解會(huì)發(fā)生Hopf分岔，導(dǎo)致含有等間距邊頻帶的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。繼續(xù)減小外激勵(lì)的頻率，準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)也會(huì)失穩(wěn)而變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)。

增量諧波平衡法可與Floquet理論相結(jié)合，用于定量追蹤非線性系統(tǒng)的分岔演化過(guò)程。它的分析結(jié)果和數(shù)值方法的結(jié)果一致。

參考文獻(xiàn)：

[1]田振國(guó)，梁金奎.矩形磁流變彈性薄板的動(dòng)力穩(wěn)定性分析[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2018，31（1）：125-131.

TianZhenguo，LiangJinkui.Dynamicstabilityanalysisofathinrectangularmagnetorheologicalelasticplate[J].JournalofVibrationEngineering，2018，31（1）：125-131.

[2]ZineA，TounsiA，DraicheK，etal.Anovelhigher-ordersheardeformationtheoryforbendingandfreevibrationanalysisofisotropicandmultilayeredplatesandshells[J].SteelandCompositeStructures，2018，26（2）：125-137.

[3]熊柳楊，張國(guó)策，丁虎，等.黏彈性屈曲梁非線性內(nèi)共振穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2014，35（11）：1188-1196.

XiongLiuyang，ZhangGuoce，DingHu，etal.Steady-stateperiodicresponsesofaviscoelasticbuckledbeaninnonlinearinternalresonance[J].AppliedMathematicsandMechanics，2014，35（11）：1188-1196.

[4]ZareiM，F(xiàn)aghaniG，GhalamiM，etal.Bucklingandvibrationanalysisoftaperedcircularnanoplate[J].JournalofAppliedandComputationalMechanics，2018，4（1）：40-54.

[5]張泉，周麗平，金家楣，等.高速柔性并聯(lián)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)分析[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2015，28（1）：27-37.

ZhangQuan，ZhouLiping，JinJiamei，etal.Dynamicanalysisofahigh-speedflexibleparallelmanipulator[J].JournalofVibrationEngineering，2015，28（1）：27-37.

[6]NayfehAH，KreiderW，AndersonTJ.Investigationofnaturalfrequenciesandmodeshapesofbuckledbeams[J].AmericanInstituteofAeronauticsandAstronauticsJournal，1995，33（6）：1121-1126.

[7]RoncenT，SinouJJ，LambelinJP.Non-linearvibrationsofabeamwithnon-idealboundaryconditionsanduncertainties—Modeling，numericalsimulationsandexperiments[J].MechanicalSystemsandSignalProcessing，2018，110（15）：165-179.

[8]AfanehAA，IbrahimRA.Nonlinearresponseofaninitiallybuckledbeamwith1∶1internalresonancetosinusoidalexcitation[J].NonlinearDynamics，1993，4（6）：547-571.

[9]KreiderW，NayfehAH.Experimentalinvestigationofsingle-moderesponsesinafixed-fixedbuckledbeam[J].NonlinearDynamics，1998，15（2）：155-177.

[10]EmamSA，NayfehAH.Onthenonlineardynamicsofabuckledbeamsubjectedtoaprimary-resonanceexcitation[J]，NonlinearDynamics，2004，35（1）：1-17.

[11]EmamSA，NayfehAH.Nonlinearresponsesofbuckledbeamstosubharmonic-resonanceexcitations[J]，NonlinearDynamics，2004，35（2）：105-122.

[12]曾志剛，葉敏.黏彈性復(fù)合材料屈曲梁非線性參數(shù)振動(dòng)的穩(wěn)定性和分岔分析[J].振動(dòng)與沖擊，2012，31（2）：129-135.

ZengZhigang，YeMin.Stabilityandbifurcationofaparametricallyexcitedviscoelasticcompositebuckledbeam[J].JournalofVibrationandShock，2012，31（2）：129-135.

[13]陳得良，付欽，陳昌萍.不同脫層位置下脫層屈曲梁振動(dòng)實(shí)驗(yàn)研究[J].動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2015，13（6）：468-474.

ChenDeling，F(xiàn)uQin，ChenChangping.Experimentalstudyonthevibrationofdelaminatedbuckledbeamswithdifferentdelaminationlocations[J].JournalofDynamicsandControl，2015，13（6）：468-474.

[14]姚紅良，王重陽(yáng)，王帆，等.多頻激勵(lì)局部非線性系統(tǒng)響應(yīng)求解的降維增量諧波平衡法[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2015，28（5）：741-747.

YaoHongliang，WangChongyang，WangFan，etal.Thedemension-reductiveincrementalharmonicbalancemethodforsolvingtheresponseoflocalnonlineardynamicsystemwithmulti-frequencyexcitation[J].JournalofVibrationEngineering，2015，28（5）：741-747.

[15]晏致濤，張海峰，李正良.基于增量諧波平衡法的覆冰輸電線舞動(dòng)分析[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2012，25（2）：161-166.

YanZhitao，ZhangHaifeng，LiZhengliang.Gallopinganalysisoficedtransmissionlinesbasedonincrementalharmonicbalancemethod[J].JournalofVibrationEngineering，2012，25（2）：161-166.

[16]王威，宋玉玲，李瑰賢.基于增量諧波平衡法的汽車轉(zhuǎn)向系非線性動(dòng)力學(xué)特性研究[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2010，23（3）：355-360.

WangWei，SongYuling，LiGuixian.Nonlineardynamicsofautomobilesteeringusingincrementalharmonicbalancemethod[J].JournalofVibrationEngineering，2010，23（3）：355-360.

[17]DuYZ，WangWH，WangLL，etal.Nonlineardynamicsofheavemotionofthesandglass-typefloatingbodywithpiecewise-nonlinear，time-varyingstiffness[J].MarineStructures，2018，60：136-150.

[18]HuangJL，SuRKL，LeeYY，etal.Nonlinearvibrationofacurvedbeamunderuniformbaseharmonicexcitationwithquadraticandcubicnonlinearities[J].JournalofSoundandVibration.2011，330（21）：5151-5164.

[19]HuangJL，SuKLR，LeeYYR，etal.Variousbifurcationphenomenainanonlinearcurvedbeamsubjectedtobaseharmonicexcitation[J].InternationalJournalofBifurcationandChaos，2018，28（7）：1830023.

[20]LauSL，CheungYK，WuSY.Incrementalharmonicbalancemethodwithmultipletimescalesforaperiodicvibrationofnonlinearsystems[J].JournalofAppliedMechanics，1983，50（4A）：871-876.

[21]LauSL，CheungYK.IncrementalHamilton′sprinciplewithmultipletimescalesfornonlinearaperiodicvibrationsofshells[J].JournalofAppliedMechanics，1986，53（2）：465-466.

[22]HuangJL，ZhuWD.Anincrementalharmonicbalancemethodwithtwotimescalesforquasiperiodicmotionofnonlinearsystemswhosespectrumcontainsuniformlyspacedsidebandfrequencies[J].NonlinearDynamics，2017，90（2）：1015-1033.

[23]HuangJL，ZhuWD.Anewincrementalharmonicbalancemethodwithtwotimescalesforquasi-periodicmotionsofanaxiallymovingbeamwithinternalresonanceundersingle-toneexternalexcitation[J].JournalofVibrationandAcoustics，2017，139（2）：021010.

[24]Karlicˇic'D，Cajic'M，AdhikariS.Dynamicstabilityofanonlinearmultiple-nanobeamsystem[J].NonlinearDynamics，2018，93（3）：1495-1517.

[25]廖海濤，高歌.求解非線性系統(tǒng)共振峰值的限制優(yōu)化打靶法[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2014，27（2）：166-171.

LiaoHaitao，GaoGe.Constrainedoptimizationshootingmethodforfindingtheresonantpeakofnonlinearsystems[J].JournalofVibrationEngineering，2014，27（2）：166-171.

Abstract：Thisstudyinvestigatesnonlineardynamicsandbifurcationofafixed-fixedbuckledbeamsubjectedtoauniformbaseharmonicexcitation，whichisgovernedbyacouplednonlinearequationwithbothquadraticandcubicnonlinearities.TheGalerkinmethodisemployedtoseparatetimeandspacevariablesforadifferentialequationofthebuckledbeam，andtheincrementalharmonicbalance（IHB）methodisusedtotrackperiodicandperiodic-doublingsolutionsofnonlinearresponsesofthebuckledbeamautomatically.Inaddition，theFloquettheoryisusedtoanalyzestabilityofthesolutions.Theinvestigationsuggeststhatthenaturalfrequenciesofthesymmetricalmodeofthebuckledbeamvarywiththebucklinglevel，whilethenaturalfrequenciesoftheanti-symmetricmodeareinvariant.Itisfoundthattherearetwodifferentinterestingnonlinearphenomenawithbucklinglevelunderthebaseharmonicexcitation，1）innonresonancecase，theanti-symmetricmodescannotbeexcitedandthesystembifurcatesintoperiod-doublingsolutions;2）in1：1internalresonancecase，theanti-symmetricmodeswillbeexcitedinacertainfrequencyrange，andHopfbifurcationofthesystemwillleadtoquasiperiodicmotionwithuniformsidebands，untilchaosoccurs.Furthermore，theresultsobtainedbytheIHBmethodagreeverywellwiththoseobtainedbythenumericalintegrationusingtheRunge-Kuttamethod.

Keywords：nonlinearvibration;buckledbeam;bifurcation;incrementalharmonicbalancemethod;quasiperiodicmotion