王 利

（山東省淄博第十八中學(xué) 山東·淄博 255047）

傳說(shuō)古希臘羅馬將軍牽著馬從A地到河邊飲馬，然后回到宿營(yíng)地B，問(wèn)怎么走才能使路線最短最短路線問(wèn)題在生產(chǎn)、科研和日常生活中確實(shí)重要且應(yīng)用廣泛。這個(gè)問(wèn)題在我們中考中也是?？嫉臒狳c(diǎn)問(wèn)題，因此，我們要掌握其分析解決的方法。下面就談?wù)劺幂S對(duì)稱“求最短距離問(wèn)題”的幾個(gè)模型。

模型1，已知：如圖1，在直線m同側(cè)有兩點(diǎn)M、N，在m上找一點(diǎn)P，使PM+PN最小。

圖1

圖2

作法：如圖2，作點(diǎn)M關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)M＇，連結(jié)M＇N交直線m于點(diǎn)P。點(diǎn)P就是符合條件的點(diǎn)。

模型2，已知：如圖3，在直線m同側(cè)有兩點(diǎn)M、N，在m上找一點(diǎn)P，使｜PM－PN｜最小。

圖3

圖4

作法：如圖4，連結(jié)MN并延長(zhǎng)交直線m于點(diǎn)P。點(diǎn)P就是符合條件的點(diǎn)。

模型3，已知：如圖5，在直線m同側(cè)有兩點(diǎn)M、N和線段a，在直線m上找兩點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，使PQ=a且MQ+QP+PN最小。

圖5

圖6

作法：如圖6，先將點(diǎn)N向左平移至N＇，使N＇N=a，作N＇關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)N＂，連結(jié)MN＂交m于點(diǎn)Q，連結(jié)QN＇，再過(guò)點(diǎn)N作Q N＇的平行線PN交m于點(diǎn)P。點(diǎn)P、Q就是符合條件的點(diǎn)。

模型4，已知：如圖7，在∠AOB內(nèi)有一點(diǎn)P，在邊OA、OB上找兩點(diǎn)M、N，使PM+MN最小。

圖7

圖8

作法：如圖8，作點(diǎn)P關(guān)于邊OA的對(duì)稱點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥OB于點(diǎn)N，交OA于點(diǎn)M。點(diǎn)M、N就是符合條件的點(diǎn)。

模型5，已知：如圖9，在∠AOB內(nèi)有一點(diǎn)P，在邊OA、OB上分別找點(diǎn)M、N，使△PMN周長(zhǎng)最小。

圖9

作法：如圖10，作點(diǎn)P分別作邊OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連結(jié)CD分別交OA、OB于點(diǎn)M、N。點(diǎn)M、N就是符合條件的點(diǎn)。

模型6，已知：如圖11，在∠AOB內(nèi)有兩點(diǎn)P、Q，在邊OA、OB上分別找點(diǎn)M、N，使PM+MN+NQ最小。

圖11

圖12

作法：如圖12，作點(diǎn)P、Q分別作邊OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連結(jié)CD分別交OA、OB于點(diǎn)M、N。點(diǎn)M、N就是符合條件的點(diǎn)。

例1．如圖13，14，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，AE=2，求EM+MC的最小值。

圖13

圖14

解：∵點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B，∴連接BE，交AD于點(diǎn)M，則ME+MC最小，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則EH=AH－AE=3－2=1，，在直角△BHE中，BE

例2如圖15，16，AB為⊙O的直徑，BC、CD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)B、D，點(diǎn)E為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OD，CE，DE，已知AB=2 5，BC=2，當(dāng)CE+DE的值最小時(shí)，求的值。

圖15

圖16

解：延長(zhǎng)CB到F使得BF=BC，則C與F關(guān)于OB對(duì)稱，連接DF與OB相交于點(diǎn)E，此時(shí)CE+DE=DF值最小，連接OC，BD，兩線相交于點(diǎn)G，過(guò)D作DH⊥OB于H。