盧 山，姜澤華，劉 禹

(1. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；2. 上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109)

0 引 言

目前在軌運(yùn)行的航天器已達(dá)數(shù)千顆，預(yù)計(jì)10年內(nèi)每年超過服役期的航天器將達(dá)到百顆以上。其中低軌失效航天器自然衰減至大氣層燒毀將需要幾十年甚至更長的時(shí)間，靜止軌道航天器若在壽命末期不采取措施則會(huì)永久滯留于駐泊點(diǎn)，使得可安全利用的軌道資源，特別是靜止軌道駐泊點(diǎn)進(jìn)一步減少。據(jù)NASA(National Aeronautics and Space Administr-ation, NASA)最新數(shù)據(jù)顯示，截止2019年6月27日已監(jiān)測到19677個(gè)大型在軌運(yùn)行目標(biāo)，其中包括5163個(gè)有效載荷和14514個(gè)火箭箭體，而直徑大于1 cm的碎片總數(shù)估計(jì)在百萬量級，主要集中分布于高度在2000 km以下的近地軌道和地球同步軌道。NASA科學(xué)家Kessler等[1]在1978年就已指出，空間碎片之間的碰撞會(huì)產(chǎn)生更多的碎片，從而極大地增加潛在的碎片碰撞概率，并由此導(dǎo)致碎片數(shù)量呈指數(shù)級增長。事實(shí)上，2009年2月10日發(fā)生的美國銥星33與俄羅斯宇宙號2251的衛(wèi)星碰撞事件表明，空間碎片的碰撞連鎖反應(yīng)已被經(jīng)觸發(fā)了[2]。在2007年，NASA空間碎片計(jì)劃負(fù)責(zé)人Johnson[3]指出自2020 年起，每年清除5～20個(gè)大型空間碎片就可抑制空間碎片總量的增長，從而保證未來空間環(huán)境不再持續(xù)惡化。至此，空間碎片主動(dòng)清除被提上了各國空間技術(shù)的發(fā)展日程?？臻g碎片主動(dòng)清除方式主要有電動(dòng)力繩索降軌、機(jī)械臂抓捕、繩網(wǎng)捕獲拖曳、太陽帆增阻和激光照射等。其中，繩網(wǎng)捕獲拖曳概念因其重量輕、靈活性高和控制簡單等優(yōu)點(diǎn)，成為近幾年最受學(xué)者關(guān)注的碎片清除技術(shù)之一。

近些年來，針對繩系拖曳系統(tǒng)控制方法研究，各國學(xué)者已經(jīng)做了一些理論研究工作。文獻(xiàn)[4]研究了通過系繩連接的空間碎片與空間拖船組合體的動(dòng)力學(xué)問題，結(jié)果表明，若空間拖船推力的方向與系繩方向一致，且系繩保持張緊，那么離軌過程就是安全的。文獻(xiàn)[5-6]針對空間拖船和廢棄星的繩系組合體，考慮了廢棄星上的撓性部件，如帆板的影響，提出了一種推力控制策略以避免碰撞。文獻(xiàn)[7]提出了一種包含加速、平衡、旋轉(zhuǎn)和返回的4階段繩系組合體離軌方案，并進(jìn)行了仿真分析，為工程實(shí)現(xiàn)提供了技術(shù)思路。文獻(xiàn)[8-9]主要針對拖曳過程中組合體的擺動(dòng)問題，分別設(shè)計(jì)了分層滑?？刂破骷案唠A滑模控制器。文獻(xiàn)[10]考慮到利用系繩拉力進(jìn)行姿態(tài)控制時(shí)，系繩拉力波動(dòng)對姿態(tài)的影響，采用了魯棒性較強(qiáng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法進(jìn)行協(xié)調(diào)控制器的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[11]分析了軌道轉(zhuǎn)移過程中面內(nèi)外擺角的擺振特性，采用線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear Quadratic Regulator, LQR)設(shè)計(jì)了系繩張力控制律以抑制擺角振動(dòng)，實(shí)現(xiàn)繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的穩(wěn)定。

上述研究提出在空間繩系組合體拖曳離軌任務(wù)中采用各種時(shí)變張力控制律，仿真結(jié)果表明系統(tǒng)響應(yīng)速度快，控制精度高。然而，采用時(shí)變張力控制律控制碎片拖曳，對測量設(shè)備的測量精度和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的響應(yīng)速度等性能提出了極高的要求，目前難以在工程中應(yīng)用?？紤]工程實(shí)現(xiàn)可行性，使用現(xiàn)有技術(shù)設(shè)備即可滿足性能要求，本文提出采用恒定張力拖曳被繩網(wǎng)捕獲的碎片目標(biāo)的控制方法，通過理論推導(dǎo)證明僅采用恒定張力即可實(shí)現(xiàn)拖曳過程的穩(wěn)定控制，并分別針對空間碎片可能產(chǎn)生的姿態(tài)章動(dòng)及繩系組合體的出現(xiàn)的面內(nèi)外擺動(dòng)設(shè)計(jì)控制律。

1 空間繩系組合體動(dòng)力學(xué)建模

1.1 系統(tǒng)組成

典型的繩系拖曳系統(tǒng)由拖船航天器、空間碎片和系繩組成，拖船航天器與空間碎片通過系繩連接。本文針對失效航天器演化成的大型空間碎片目標(biāo)，利用牛頓歐拉法建立繩系組合體動(dòng)力學(xué)模型。

圖1 繩系拖曳系統(tǒng)組成與連接關(guān)系Fig.1 Composition and connection of TST system

1.2 系繩模型

建模過程中將系繩等效成不可壓縮的彈性桿模型，不計(jì)系繩質(zhì)量，計(jì)入系繩彈性，根據(jù)實(shí)際情況考慮系繩阻尼特性。系繩張力只與形變量ΔL相關(guān)。定義拖船航天器與失效航天器上兩系繩牽掛點(diǎn)連線矢量Ltm，方向由失效航天器牽掛點(diǎn)指向拖船航天器牽掛點(diǎn)，則有：

(1)

式中:Cmbi,Ctbi分別為慣性系到拖船航天器和失效航天器本體坐標(biāo)系的姿態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，pm,pt分別為本體系下兩星體系繩牽掛點(diǎn)矢量，rm,rt分別為拖船航天器、失效航天器質(zhì)心在慣性系中的矢量。則系繩張力：

(2)

式中:L為系繩松弛時(shí)的原長，系繩形變量為：

(3)

D為系繩直徑，E為系繩彈性系數(shù)，η為系繩黏性阻尼系數(shù)，系繩張緊方向?yàn)橄道K張力方向。

1.3 軌道動(dòng)力學(xué)模型

繩系拖曳系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模中，系統(tǒng)所受外力中除拖船航天器軌控推力和地球中心引力外，忽略其它外部攝動(dòng)。由此，地心慣性系下拖船航天器和失效航天器軌道動(dòng)力學(xué)方程分別為：

(4)

(5)

式中:μ為地球引力常數(shù)，m1和m2分別為拖船航天器、失效航天器的質(zhì)量，F(xiàn)th為拖船航天器的軌控推力。

1.4 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

忽略拖船航天器與失效航天器的柔性，將其均視為剛體，則可采用動(dòng)量矩定律[12]建立拖船航天器與失效航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程：

(6)

(7)

式中:Im和It分別為拖船航天器、失效航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，ωm和ωt分別為兩航天器體角速度在各自本體坐標(biāo)系下的投影，Cmbi和Ctbi為地心慣性系到拖船航天器、失效航天器本體系的姿態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Tc為拖船航天器的姿態(tài)控制力矩[13]。

2 穩(wěn)定性分析

2.1 模型簡化

為了對恒定張力條件下的繩系拖曳系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，采用圖2所示的簡化繩系拖曳系統(tǒng)模型。將拖船航天器視為質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)，將失效航天器視為質(zhì)量為m2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jx，Jy和Jz的剛體。系繩分別連接在碎片剛體質(zhì)心和拖船航天器質(zhì)點(diǎn)上，其質(zhì)量可以忽略。

圖2 簡化的空間碎片繩系拖曳系統(tǒng)示意圖Fig.2 Simplified schematic diagram of TST system

定義當(dāng)?shù)劂U錘水平坐標(biāo)系C0X0Y0Z0：原點(diǎn)取為系統(tǒng)質(zhì)心C0，X0軸從地心鉛錘指向上，Y0軸在軌道平面內(nèi)垂直于X0軸并指向系統(tǒng)的前進(jìn)方向，Z0軸由右手法則定義。為描述碎片的姿態(tài)，定義原點(diǎn)在碎片質(zhì)心、坐標(biāo)軸為碎片剛體慣性主軸的體固坐標(biāo)系C2X2Y2Z2。定義系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)如下：從當(dāng)?shù)劂U錘方向到X2軸的夾角為θ(順時(shí)針為正)；從當(dāng)?shù)厮椒较虻剿槠屯洗|(zhì)心連線的夾角為γ(順時(shí)針為正)；碎片和拖船的質(zhì)心距為l。系繩張力Ft為常值，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)在軌道平面內(nèi)，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓軌道，利用拉格朗日方程可以得到空間碎片繩系拖曳系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程[13]如下：

(8)

(9)

(10)

(11)

2.2 李雅普諾夫第一方法

李雅普諾夫第一法又稱間接法。它的基本思路是通過系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于線性定常系統(tǒng)，只需解出特征方程的根即可作出穩(wěn)定性判斷。對于非線性不很嚴(yán)重的系統(tǒng)，則可通過線性化處理，取其一次近似得到線性化方程，然后再根據(jù)其特征根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

首先進(jìn)行線性化，系統(tǒng)的平衡位置表示為θe和γe，將其代入系統(tǒng)方程式(10)和式(11)中則有：

(12)

γe=0

(13)

由式(12)可得系統(tǒng)兩個(gè)平衡解。由文獻(xiàn)[14]可知，θe在[0， π]范圍的平衡解為可行解，在[-π， 0]范圍的解不可行。本小節(jié)旨在分析可行解的穩(wěn)定性，因此將僅考慮θe∈[0， π]的取值范圍。在平衡位置附近對系統(tǒng)方程線性化結(jié)果如下：

(14)

(15)

將系統(tǒng)方程改寫成狀態(tài)空間形式如下：

(16)

則系統(tǒng)的特征方程|λI-A|=0可寫為：

(17)

解得系統(tǒng)特征根為：λ1,2=0

(18)

(19)

在圖2中所示的坐標(biāo)系定義下，xb>0，sinθe>0，因此sinθe/xb>0。事實(shí)上，當(dāng)xb<0時(shí)，系統(tǒng)的可行平衡解將在[-π, 0]范圍內(nèi)，仍然滿足sinθe/xb>0的條件。故λ3,4為純虛數(shù)，這說明系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

李雅普諾夫第一法證明了系統(tǒng)在平衡解附近是臨界穩(wěn)定的狀態(tài)。

2.3 李雅普諾夫第二方法

李雅普諾夫第二法又稱直接法。它的基本思路不是通過求解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，而是借助于一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)來直接對系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性作出判斷。

將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式(10)和式(11)相加，得到如下形式：

(20)

(21)

取李雅普諾夫函數(shù)為：

(22)

式中:yb<0，xb>0，對于任意α，均有V≥0，對李雅普諾夫函數(shù)式(22)求導(dǎo)則有：

(23)

這說明此時(shí)碎片的姿態(tài)角運(yùn)動(dòng)軌跡將落在某個(gè)特定曲面上:

日常實(shí)用性是奧迪R8 RWS的一大優(yōu)勢，即使這乍一看像是某種劣勢—當(dāng)車速在160公里/小時(shí)之內(nèi)的情況下，R8 RWS為駕駛者帶來的聽覺和感受可能與普通的奧迪A4并無二致。然而，對于駕駛者而言，在體驗(yàn)狂躁駕駛樂趣之余，感受生命中的沉靜與愉悅，也算是一件一舉兩得的樂事。

(24)

意味著運(yùn)動(dòng)軌跡將不會(huì)收斂于原點(diǎn)。

李雅普諾夫第二方法將上一小節(jié)所得的系統(tǒng)穩(wěn)定性結(jié)論拓展到了大角度擺動(dòng)情況，使結(jié)論不再局限于平衡解附近的鄰域。

3 控制律設(shè)計(jì)

3.1 姿態(tài)章動(dòng)抑制控制律設(shè)計(jì)

考慮到目標(biāo)為失效航天器且被飛網(wǎng)包裹時(shí)自旋情況不確定，認(rèn)為其可能有一定角度的章動(dòng)。為保證拖曳過程中不會(huì)發(fā)生系繩纏繞等風(fēng)險(xiǎn)，在對目標(biāo)進(jìn)行拖曳離軌前，應(yīng)當(dāng)對目標(biāo)的章動(dòng)角進(jìn)行抑制，減弱拖曳過程中目標(biāo)的章動(dòng)對系統(tǒng)的影響。其姿態(tài)章動(dòng)幅度大小可通過兩星連線與自旋軸間夾角體現(xiàn)，故可通過抑制兩星連線與目標(biāo)自旋軸的夾角對目標(biāo)姿態(tài)進(jìn)行章動(dòng)抑制。在拖曳過程中，當(dāng)拖船航天器質(zhì)心、網(wǎng)端繩結(jié)、目標(biāo)質(zhì)心三者共線情況下，系繩張力對目標(biāo)姿態(tài)不會(huì)產(chǎn)生影響，此時(shí)兩星連線與目標(biāo)本體自旋軸的夾角ξb為控制平衡位置，如圖3所示。

圖3 章動(dòng)抑制示意圖Fig.3 Schematic diagram of debris nutation suppression

由于失效航天器姿態(tài)存在章動(dòng)，故在拖曳過程中兩星連線與目標(biāo)自旋軸的夾角以ξb為中心擺動(dòng)。章動(dòng)抑制的目的就是將兩星連線與目標(biāo)自旋軸的夾角ξ控制在一定范圍內(nèi),由此設(shè)計(jì)章動(dòng)抑制常值切換張力控制律為：

Ft=

(25)

式中:的章動(dòng)角標(biāo)稱值ξmax和ξmin根據(jù)控制要求的精度選擇，切換張力示意圖如圖4所示。

圖4 張力切換示意圖Fig.4 Schematic diagram of tension switch

3.2 組合體面內(nèi)面外擺動(dòng)控制律設(shè)計(jì)

在拖曳過程中需要對系繩的擺動(dòng)進(jìn)行有效鎮(zhèn)定，從而保證系繩和張力方向保持不變，同時(shí)還要把失效航天器自旋軸方向和系繩方向調(diào)整到期望的拖曳方向。

為了描述繩系組合體的姿態(tài)，引入面內(nèi)角、面外角的概念。首先建立軌道坐標(biāo)系S0，如圖5所示：Z軸沿地心連線方向由繩系組合體質(zhì)心指向地球，X軸位于軌道平面內(nèi)與Z軸垂直并指向軌道跡向,Y軸遵循右手準(zhǔn)則，定義系繩方向在軌道面內(nèi)的投影與軌道系X軸正向的夾角為面內(nèi)角ε，系繩方向與軌道平面的夾角為面外角β。面內(nèi)角表示了繩系組合體在軌道面內(nèi)的相對位置，應(yīng)控制面內(nèi)角盡量小，避免大幅震蕩導(dǎo)致逆向拖曳；面外角表示拖曳時(shí)系繩的張力有無軌道法向的分力，應(yīng)控制面外角盡量小，避免燃料的浪費(fèi)。

圖5 組合體面內(nèi)外擺動(dòng)示意圖Fig.5 Schematic diagram of in-plane and out-plane swing

面內(nèi)外擺角ε=0°，β=0°時(shí)，繩系組合體姿態(tài)沿軌道跡向，拖曳變軌效率最高，故面內(nèi)外擺角控制目標(biāo)為ε=0°，β=0°。以拖船航天器噴氣推力為控制器輸入，采用基于相平面方法的組合體面內(nèi)外擺角控制律，得到繩系組合體面內(nèi)外擺動(dòng)的穩(wěn)定極限環(huán)，下文以面內(nèi)擺角為例設(shè)計(jì)噴氣開關(guān)策略：

圖5中開關(guān)線A,D的方程如下：

(26)

(27)

開關(guān)線控制參數(shù)設(shè)計(jì)：已知平臺(tái)推力器最小脈沖寬度Tmin；控制周期內(nèi)最大脈沖寬度Tmax；組合體面內(nèi)擺角控制力矩Tcε=Fzdm2/(m1+m2)；面內(nèi)擺角轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jε=m1m2d2/(m1+m2),d為兩星相對距離，F(xiàn)z為拖船航天器軌控推力。

圖6 面內(nèi)擺角控制開關(guān)線Fig.6 In-plane swing angle control switch line

4 仿真校驗(yàn)

拖曳控制全過程方案為：選取兩種切換張力為Ftb= 4 N和Fts=2 N，全程采用常值切換控制律抑制失效航天器的姿態(tài)章動(dòng)，并同時(shí)采用基于相平面控制原理的控制律抑制組合體面內(nèi)面外擺動(dòng)，保證拖曳過程的安全平穩(wěn)，達(dá)成將碎片目標(biāo)近地點(diǎn)高度抬高350 km的控制目標(biāo)，仿真結(jié)果如下：

表1 面內(nèi)擺角控制相平面區(qū)域范圍及每個(gè)區(qū)域機(jī)開機(jī)時(shí)間Table 1 Phase plane area range and startup time of each area machine controlled by in-plane swing angle

仿真結(jié)果表明，在該種全過程拖曳控制方案下，碎片目標(biāo)的姿態(tài)章動(dòng)始終能夠得到很好地抑制；繩系組合體面內(nèi)面外擺角能得到很好地鎮(zhèn)定；完成拖曳控制全過程的所用時(shí)間為9.02 h，碎片目標(biāo)近地點(diǎn)高度被抬高350 km，實(shí)現(xiàn)了將空間碎片從地球同步軌道轉(zhuǎn)移至墳?zāi)管壍赖哪繕?biāo)，達(dá)到了預(yù)期的控制效果。與文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[15]中采用的時(shí)變張力控制方法的仿真結(jié)果對比，采用常值張力控制方法雖然響應(yīng)速度稍慢，但也完全能夠滿足工程任務(wù)的時(shí)間要求，且對目標(biāo)姿態(tài)章動(dòng)和組合體面內(nèi)外擺動(dòng)的控制精度更高。

5 結(jié) 論

本文針對常值拉力作用下的空間碎片繩系組合體的拖曳離軌問題，首先利用牛頓歐拉法建立了組合體動(dòng)力學(xué)模型，并通過拉格朗日方程得到簡化的動(dòng)力學(xué)模型；然后利用李雅普諾夫第一法證明了系統(tǒng)在平衡解附近具有臨界穩(wěn)定性，并通過李雅普諾夫第二法將系統(tǒng)穩(wěn)定性推廣到大角度擺動(dòng)情況，使結(jié)論不再局限于平衡解附近的鄰域；得出穩(wěn)定性結(jié)論后，設(shè)計(jì)常值拉力切換控制律抑制空間碎片的姿態(tài)章動(dòng)，研究基于相平面原理的控制律抑制繩系組合體的面內(nèi)面外擺動(dòng)。通過對空間碎片軌道轉(zhuǎn)移全過程的仿真分析表明，采用常值拉力切換能夠?qū)崿F(xiàn)拖曳過程的精確控制，設(shè)計(jì)的控制律能夠達(dá)到預(yù)期的控制效果，為今后將恒張力拖曳控制方法應(yīng)用于空間碎片主動(dòng)清除任務(wù)打下理論基礎(chǔ)。

圖7 拖船航天器和失效航天器姿態(tài)角變化曲線Fig.7 Curve of change of tug spacecraft and invalid spacecraft attitude angle

圖8 繩系組合體面內(nèi)擺角和面外擺角變化曲線Fig.8 Curve of change of in-plane and out-plane swing angle

圖9 近地點(diǎn)高度變化量曲線Fig.9 Change of the altitude of the perigee height