康國華，劉奇弦，吳佳奇，王 強(qiáng)

(南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京 210016)

0 引 言

微納聚合體衛(wèi)星是由多個(gè)立方體微納衛(wèi)星通過組合機(jī)構(gòu)而形成的動(dòng)態(tài)組合體航天器。通過以磁力鉸鏈為組合機(jī)構(gòu)進(jìn)行研究，鉸鏈分布于每個(gè)衛(wèi)星的12條棱上，微納衛(wèi)星在磁力鉸鏈的約束下以棱為轉(zhuǎn)軸進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)微納聚合體衛(wèi)星的構(gòu)型重構(gòu)。圖1為磁鉸鏈布局和變構(gòu)過程原理示意圖。

圖1 微納聚合體衛(wèi)星變構(gòu)原理Fig.1 Principle of reconfiguration of CBMS

構(gòu)型可重構(gòu)的模塊化航天器由于具有較強(qiáng)的可擴(kuò)展性、較強(qiáng)的適應(yīng)性，可滿足不同的任務(wù)需求，近年來引起了各國研究人員的關(guān)注。日本開展了板塊延展衛(wèi)星(Panel extension satellite, PETSAT)計(jì)劃[1-2]，但衛(wèi)星面板之間通過機(jī)械鉸鏈連接，連接方式在地面確定，無法在軌更改，因而無法實(shí)現(xiàn)任意形態(tài)的重構(gòu)。英國薩里大學(xué)的可重構(gòu)太空望遠(yuǎn)鏡自主拼接(Autonomous assembly of a reconfigurable space telescope, AAReST)項(xiàng)目，計(jì)劃通過多顆衛(wèi)星模塊的分離與再拼接實(shí)現(xiàn)不同望遠(yuǎn)鏡構(gòu)型之間的變換，以滿足不同的成像需求[3-4]。但分離后再拼接的策略在控制上面臨姿軌耦合問題的挑戰(zhàn)，姿軌耦合控制也會(huì)導(dǎo)致額外的燃料消耗。

磁力鉸鏈的示意圖如圖2所示，基于磁力鉸鏈的微納聚合體衛(wèi)星利用了鉸鏈約束的特性，可將微納模塊的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為位置的改變，磁力鉸鏈分布于微納模塊的12條棱上，通過電流的通斷決定鉸鏈的吸附與分離，這使得微納模塊可實(shí)現(xiàn)在三個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)。這意味著通過不同模塊的多次運(yùn)動(dòng)可實(shí)現(xiàn)任意兩構(gòu)型之間的變換。對(duì)于磁鉸鏈連接機(jī)構(gòu)的研究主要集中在模塊化機(jī)器人領(lǐng)域，美國麻省理工學(xué)院提出了M-Blocks[5]可重構(gòu)模塊化機(jī)器人，立方體模塊通過繞分布于各棱的磁鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)形態(tài)的重構(gòu)，該機(jī)構(gòu)相比于機(jī)械連接機(jī)構(gòu)，對(duì)模塊相對(duì)位置關(guān)系寬容度更高，但該型機(jī)器人工作于地面環(huán)境。目前磁鉸鏈在航天器上的應(yīng)用較少，有待進(jìn)一步研究。

圖2 磁力鉸鏈?zhǔn)疽鈭DFig.2 Schematic diagram of magnetic hinge

微納聚合體衛(wèi)星是一個(gè)漂浮基多剛體系統(tǒng)，系統(tǒng)中每兩個(gè)通過磁鉸鏈連接的剛體之間動(dòng)力學(xué)是耦合的，鉸鏈處內(nèi)力會(huì)導(dǎo)致一對(duì)力矩作用于鉸鏈兩側(cè)的剛體，從而影響兩者的姿態(tài)。多剛體系統(tǒng)的建模方法有經(jīng)典力學(xué)方法、Kane法、R-W方法等。以牛頓-歐拉方程為代表的經(jīng)典力學(xué)法將系統(tǒng)中的剛體分割為獨(dú)立剛體，剛體間內(nèi)力視為外力施加于各剛體，該方法隨剛體數(shù)增加，方程數(shù)也增加，求解難度大大增加[6-8]。Kane法用廣義速率描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)[9]，計(jì)算量比經(jīng)典力學(xué)的方法少，但該方法不適用于任意多剛體系統(tǒng)，需對(duì)研究對(duì)象具體分析。Roberson和Wittenburg[10]將圖論引入多剛體動(dòng)力學(xué)，提出了R-W方法，用有向圖描述系統(tǒng)構(gòu)型，可用于任意結(jié)構(gòu)的多剛體系統(tǒng)，適用于對(duì)微納聚合體衛(wèi)星進(jìn)行建模。

可重構(gòu)系統(tǒng)的重構(gòu)規(guī)劃的目的是使該系統(tǒng)能在盡可能滿足最優(yōu)指標(biāo)(如最少步數(shù))的情況下實(shí)現(xiàn)構(gòu)型的轉(zhuǎn)換。林曉青等[11]利用遺傳算法設(shè)計(jì)了檢測(cè)機(jī)器人群組的站位規(guī)劃策略。Rus等[12]提出了Melt-Grow算法，可用于立方體形狀的模塊化機(jī)器人的重構(gòu)，他將目標(biāo)構(gòu)型分解為鏈狀的中間構(gòu)型，目標(biāo)構(gòu)型由中間構(gòu)型形成。但上述研究的對(duì)象為模塊化機(jī)器人或機(jī)器人群組，未考慮航天器動(dòng)力學(xué)特性，需設(shè)計(jì)一種適用于模塊化航天器的規(guī)劃算法，能有效減小各模塊的運(yùn)動(dòng)對(duì)航天器姿態(tài)的影響。

本文利用R-W法對(duì)微納聚合體衛(wèi)星進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，分析了重構(gòu)過程中的動(dòng)力學(xué)耦合特點(diǎn)，提出了一種對(duì)稱式重構(gòu)規(guī)劃算法，以減小重構(gòu)過程中各模塊的運(yùn)動(dòng)對(duì)航天器姿態(tài)的影響。

1 動(dòng)力學(xué)分析

1.1 動(dòng)力學(xué)模型的建立

微納聚合體衛(wèi)星重構(gòu)時(shí)，可分為兩個(gè)部分：1)若干模塊通過鎖緊機(jī)構(gòu)鎖緊而形成的組合體，該組合體可看作單個(gè)剛體，以下稱為本體；2)與本體解除鎖定，在磁力鉸鏈的約束下發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的模塊，以下稱為運(yùn)動(dòng)模塊。微納聚合體衛(wèi)星由一個(gè)本體與多個(gè)運(yùn)動(dòng)模塊組成。由于微納聚合體衛(wèi)星為漂浮基多剛體系統(tǒng)，故引入一虛擬剛體與一虛擬球鉸鏈，本體通過該虛擬球鉸與虛擬剛體相連，虛擬剛體姿態(tài)不變，質(zhì)量為0。以運(yùn)動(dòng)模塊數(shù)為3的系統(tǒng)為例進(jìn)行分析，該系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 多剛體系統(tǒng)示意圖Fig.3 Schematic diagram of the multi-rigid-body system

本體雖形狀不規(guī)則，但可等效為質(zhì)量、慣量、質(zhì)心位置相同的長方體。剛體S1，S2，S3，S4分別為運(yùn)動(dòng)模塊，e0到e4分別為固連于各剛體的基，C0到C4分別為各剛體質(zhì)心。

為建立動(dòng)力學(xué)方程，引入增廣體的概念。對(duì)于剛體Si，在其與其他剛體相連的鉸鏈中心處附加一質(zhì)量點(diǎn)，該點(diǎn)質(zhì)量為直接或間接通過該鉸鏈與剛體Si相連的其他剛體質(zhì)量之和，則形成的新剛體為增廣體。Bi為Si對(duì)應(yīng)的增廣體質(zhì)心。

該系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖4所示，該系統(tǒng)為一樹形多剛體系統(tǒng)。

圖4 多剛體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.4 Topology of the multi-rigid-body system

用關(guān)聯(lián)矩陣S與通路矩陣T描述該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，兩矩陣的定義如下：

(1)

i=0,…,4,j=1,…,4

(2)

i,j=1,…,4

對(duì)于圖4所示拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，關(guān)聯(lián)矩陣與通路矩陣的值分別如下：

取φ=[φ11,φ12,φ13,φ2,φ3,φ4]T為廣義坐標(biāo)，其中φ11到φ13分別為剛體S1繞鉸u1轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉角，φ2到φ4分別為剛體S2到S4繞鉸u2到u4轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。則根據(jù)R-W方法列出如下的動(dòng)力學(xué)方程：

(3)

f=w+w*

(4)

(5)

(6)

(7)

[ωj×(ωj×bji)]，i=1,…,4

(8)

將剛體S1的轉(zhuǎn)動(dòng)分解為三次連續(xù)的轉(zhuǎn)動(dòng)，則p1j(j=1,2,3)為三次轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)軸方向上的單位矢量(在基e0中表示)，pi(i=2,3,4)為剛體Si轉(zhuǎn)軸方向上的單位矢量(在基e1中表示)。

對(duì)于其他構(gòu)型的系統(tǒng)，動(dòng)力學(xué)建模過程仍與此類似。

1.2 對(duì)稱式重構(gòu)過程的動(dòng)力學(xué)分析

運(yùn)動(dòng)模塊轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，鉸鏈處的內(nèi)力對(duì)于微納聚合體本體來說為外力，該力會(huì)產(chǎn)生力矩以影響本體的姿態(tài)。當(dāng)多個(gè)運(yùn)動(dòng)模塊同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有多個(gè)力矩同時(shí)施加于本體。很明顯，如果其中一對(duì)力矩大小相等、方向相反時(shí)，兩者對(duì)本體姿態(tài)的影響可相互抵消。經(jīng)分析，當(dāng)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)模塊的位置、轉(zhuǎn)動(dòng)方向等滿足：運(yùn)動(dòng)模塊轉(zhuǎn)軸相互平行，轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，自身質(zhì)心與本體質(zhì)心距離相等的條件，即可實(shí)現(xiàn)力矩的抵消。上述條件在本文中定義為對(duì)稱性條件。

如圖5所示，當(dāng)模塊A和模板B圍繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)、方向相反時(shí)即滿足對(duì)稱性條件。兩模塊質(zhì)心坐標(biāo)分別為(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，本體質(zhì)心坐標(biāo)為(xc,yc,0)，兩模塊與本體相連的鉸鏈中心點(diǎn)與本體質(zhì)心的距離分別為L1和L2。當(dāng)L1=L2且z1=-z2時(shí)，鉸鏈處內(nèi)力產(chǎn)生的合力矩最多只有兩個(gè)自由度，即最多對(duì)本體姿態(tài)產(chǎn)生兩個(gè)自由度的影響。當(dāng)z1=z2=0時(shí)，合力矩為0，對(duì)本體姿態(tài)的影響可完全抵消。

圖5 對(duì)稱性條件Fig.5 Symmetry condition

為分別對(duì):1)z1=-z2且z1≠0，z2≠0; 2)z1=z2=0兩類對(duì)稱式重構(gòu)情形進(jìn)行仿真分析，分別設(shè)定如圖6(a)和(b)所示的兩個(gè)仿真場(chǎng)景。

圖6 動(dòng)力學(xué)仿真場(chǎng)景Fig.8 Dynamic simulation scene

圖6中各運(yùn)動(dòng)模塊在0.01 N·m的恒定力矩作用下轉(zhuǎn)動(dòng)。假定理想情況下，力矩同時(shí)作用于不同運(yùn)動(dòng)模塊，各模塊質(zhì)心位于形心，各模塊標(biāo)稱質(zhì)量均為10 kg，模塊各主軸標(biāo)稱慣量均為0.2 kg·m2，標(biāo)稱棱長均為0.3 m，初始姿態(tài)與角速度均為0。

然而工程實(shí)現(xiàn)中，各模塊的尺寸、質(zhì)量、慣量以及模塊運(yùn)動(dòng)開始時(shí)間等參數(shù)可能不完全相同，這些參數(shù)的不一致性可能會(huì)對(duì)對(duì)稱式重構(gòu)過程中本體姿態(tài)帶來額外的影響。下文在考慮以上參數(shù)不一致性的情況下對(duì)變構(gòu)過程本體姿態(tài)變化進(jìn)行仿真分析。

由于僅研究不同模塊間的相對(duì)差異，不考慮模塊參數(shù)的絕對(duì)誤差，因此為各模塊的尺寸、質(zhì)量、慣量等參數(shù)附加均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差不為0的隨機(jī)偏差。

模塊尺寸的不同帶來的影響主要體現(xiàn)在質(zhì)心位置的不同。目前質(zhì)心測(cè)量相對(duì)誤差已低至0.1%量級(jí)[13]，因此給各模塊質(zhì)心坐標(biāo)引入均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.005 m的隨機(jī)偏移量。各模塊質(zhì)量、慣量仍相同，質(zhì)量仍為10 kg，各主軸慣量仍均為0.2 kg·m2，模塊在0.01 的恒定力矩作用下同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。分別對(duì)圖6(a)和(b)所示的場(chǎng)景1與場(chǎng)景2進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，得到本體姿態(tài)角變化曲線分別如圖7(a)和(b)所示。

圖7 考慮模塊質(zhì)心位置差異的本體姿態(tài)變化Fig.7 Change of attitude of the mainbody considering the difference of centroid position between modules

由圖7(a)和(b)可知，考慮可模塊質(zhì)心位置差異后，場(chǎng)景1、2本體姿態(tài)變化僅在10-2rad量級(jí)，場(chǎng)景一稍大，且兩類對(duì)稱式重構(gòu)能保證本體至少有一個(gè)自由度的姿態(tài)保持穩(wěn)定。

目前質(zhì)量測(cè)量相對(duì)誤差已低至0.1%量級(jí)[14]，因此，為研究模塊質(zhì)量的不一致性帶來的影響，各模塊在10 kg標(biāo)稱質(zhì)量基礎(chǔ)上引入均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1 kg的隨機(jī)質(zhì)量偏差，其他參數(shù)為標(biāo)稱值。分別對(duì)圖6(a)和(b)所示的場(chǎng)景1與場(chǎng)景2進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，得到本體姿態(tài)角變化曲線分別如圖8(a)和(b)所示。

圖8 考慮模塊質(zhì)量差異的本體姿態(tài)變化Fig.8 Change of attitude of the mainbody considering the difference of mass between modules

由圖8(a)和(b)可知，考慮模塊質(zhì)量差異后，場(chǎng)景1本體姿態(tài)變化僅在10-2rad量級(jí)，場(chǎng)景2僅在10-3量級(jí)，其中，場(chǎng)景2中本體滾動(dòng)與俯仰角均保持穩(wěn)定。

目前慣量測(cè)量相對(duì)誤差已低至0.01%量級(jí)[14]，因此為研究模塊慣量差異的影響，各模塊在0.2 kg·m2的標(biāo)稱慣量基礎(chǔ)上引入均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.001 kg·m2的隨機(jī)慣量偏差，其他參數(shù)為標(biāo)稱值。仍分別對(duì)圖6(a)和(b)所示的場(chǎng)景1與場(chǎng)景2進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，得到本體姿態(tài)角變化曲線分別如圖9(a)和(b)所示。

由圖9(a)和(b)可知，考慮模塊慣量差異后，場(chǎng)景1本體姿態(tài)變化僅在10-2rad量級(jí)，場(chǎng)景2僅在10-4量級(jí)，其中，場(chǎng)景二中本體滾動(dòng)與俯仰角均保持穩(wěn)定。

圖9 考慮模塊慣量差異的本體姿態(tài)變化Fig.9 Change of attitude of the mainbody considering the difference of inertia between modules

為研究模塊運(yùn)動(dòng)開始時(shí)間的差異對(duì)對(duì)稱式重構(gòu)中本體姿態(tài)的影響，使圖6(a)和(b)所示的場(chǎng)景1與場(chǎng)景2中運(yùn)動(dòng)模塊B相對(duì)于運(yùn)動(dòng)模塊A延遲0.5 s開始運(yùn)動(dòng)，得到本體姿態(tài)角變化曲線分別如圖10(a)和(b)所示。

圖10 考慮模塊運(yùn)動(dòng)開始時(shí)間差異的本體姿態(tài)變化Fig.10 Change of attitude of the mainbody considering the difference of start time of movement between modules

由圖10(a)和(b)可知,考慮模塊運(yùn)動(dòng)開始時(shí)間差異后，場(chǎng)景1本體姿態(tài)變化僅在10-2rad量級(jí)，場(chǎng)景2僅在10-3量級(jí)，其中，場(chǎng)景2中本體滾動(dòng)與俯仰角均保持穩(wěn)定。

為進(jìn)一步驗(yàn)證對(duì)稱式重構(gòu)的有效性，對(duì)不滿足對(duì)稱性條件的非對(duì)稱式重構(gòu)過程進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，仿真場(chǎng)景如圖11所示，除重構(gòu)運(yùn)動(dòng)方式和組合體構(gòu)型不同外，其余參數(shù)設(shè)置均與上述仿真相同。

圖11 動(dòng)力學(xué)仿真場(chǎng)景Fig.11 Dynamic simulation scene

仿真得到的本體姿態(tài)變化曲線如圖12所示。

圖12 非對(duì)稱式重構(gòu)下本體姿態(tài)變化曲線Fig.12 Change of attitude of the mainbody under asymmetric reconfiguraton

由圖12可知，非對(duì)稱式重構(gòu)下，本體姿態(tài)相比于對(duì)稱式重構(gòu)發(fā)生了更大的變化，其中滾動(dòng)角的變化超過了0.5 rad，說明非對(duì)稱式重構(gòu)對(duì)本體姿態(tài)有較大沖擊，而對(duì)稱式變構(gòu)可避免這一問題綜合分析上述仿真結(jié)果，可知考慮了不同模塊質(zhì)心位姿、質(zhì)量、慣量、運(yùn)動(dòng)開始時(shí)間的差異的情況下，對(duì)稱式變構(gòu)仍能保證本體至少一個(gè)自由度的姿態(tài)穩(wěn)定，其他軸向的姿態(tài)變化幅度也較小。由此證明，對(duì)稱式重構(gòu)在各模塊質(zhì)心位置、質(zhì)量、慣量、運(yùn)動(dòng)開始時(shí)間存在一定差異的情況下仍能在一定程度上減小本體姿態(tài)所受的影響。

2 重構(gòu)規(guī)劃算法設(shè)計(jì)

2.1 構(gòu)型的表示方法及其合理性判定

利用三維空間網(wǎng)格表示各模塊的位置[15]，則各模塊位置對(duì)應(yīng)一個(gè)整數(shù)坐標(biāo)，則組合體構(gòu)型可用一個(gè)三維整數(shù)坐標(biāo)的集合表示。一個(gè)集合中的所有點(diǎn)進(jìn)行相同的旋轉(zhuǎn)、平移變換后所得到的新集合與原集合表示的構(gòu)型為同一構(gòu)型。

并非任意集合都可表示組合體構(gòu)型，當(dāng)集合中出現(xiàn)如圖13中(2)(3)所示兩種結(jié)構(gòu)時(shí)，認(rèn)為該集合不合理，在重構(gòu)過程中應(yīng)排除。

圖13 合理與不合理構(gòu)型的示例Fig.13 Examples of reasonable and unreasonable configurations

文中將模塊面接觸定義為連通，分離和弱連接定義為非連通。此外構(gòu)型的連通性可通過求解無向圖中各節(jié)點(diǎn)間最短路徑的方法判斷。

判斷流程如圖14所示，將構(gòu)型中每個(gè)模塊作為無向圖中的頂點(diǎn)，當(dāng)某模塊的某面與另一模塊的某面相接觸時(shí)，則認(rèn)為兩模塊相連，在無向圖中對(duì)應(yīng)兩頂點(diǎn)通過一條邊相連，所有相連頂點(diǎn)之間的邊的權(quán)值均為1。得到無向圖之后，計(jì)算該無向圖中所有頂點(diǎn)與其他頂點(diǎn)間的最短距離(兩頂點(diǎn)間最短通路上的權(quán)值之和)，若存在某兩頂點(diǎn)間的距離為無窮大，則該構(gòu)型不連通。

圖14 構(gòu)型連通性判斷流程Fig.14 Program flow to judge connectivity of configurations

2.2 不同構(gòu)型間差異度的評(píng)價(jià)指標(biāo)

微納聚合體衛(wèi)星從初始構(gòu)型變換為目標(biāo)構(gòu)型的過程可類比為路徑規(guī)劃的過程，重構(gòu)過程中每一個(gè)中間構(gòu)型相當(dāng)于路徑上某一節(jié)點(diǎn)。要以盡可能少的步數(shù)實(shí)現(xiàn)重構(gòu)，相當(dāng)于尋找從初始構(gòu)型到目標(biāo)構(gòu)型間的最短路徑。最主要的問題是找到一個(gè)指標(biāo)，可以衡量兩構(gòu)型間的“距離”，重合度以及最優(yōu)分配度量[16]均可實(shí)現(xiàn)以上功能。

重合度可用兩構(gòu)型對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)集合的交集的元素個(gè)數(shù)來衡量。構(gòu)型A對(duì)應(yīng)的模塊坐標(biāo)集合為α，構(gòu)型B對(duì)應(yīng)的模塊坐標(biāo)集合為β，兩集合交集為γ=α∩β，則集合γ中元素的數(shù)量為兩構(gòu)型的重合度。

最優(yōu)分配度量的計(jì)算方法如下文所述。

ai(i=1,…,n)為構(gòu)型A中的模塊，bj(j=1,…,n)為構(gòu)型B中的模塊，定義如下函數(shù)：

f(A,B)=∑1≤i, j≤nkijdij

(10)

式中：dij為ai到bj的網(wǎng)格距離(即在網(wǎng)格中移動(dòng)的最小步數(shù))，當(dāng)ai將移動(dòng)到bj位置時(shí)，kij為1，否則為0。由于各模塊初末位置一一對(duì)應(yīng)，因此有以下約束：

(11)

(12)

定義最優(yōu)分配度量為：

δ(A,B)=minf(A,B)

(13)

則最優(yōu)分配度量值可由Hungarian算法[17]求得，求解過程由以下示例進(jìn)行說明。

圖15(a)為當(dāng)前4個(gè)模塊組成的平面構(gòu)型，(b)為目標(biāo)構(gòu)型，(c)為兩構(gòu)型的疊加。由于各模塊位置確定，因此疊加構(gòu)型唯一確定。

圖15 示例構(gòu)型Fig.15 Example of configurations

定義4×4的矩陣D，其元素Dij=dij(圖15(c)中模塊i到j(luò)’的網(wǎng)格距離)。則矩陣D的值如下所示：

δ(A,B)=D11+D22+D33+D44

(14)

2.3 重構(gòu)規(guī)劃算法設(shè)計(jì)

重構(gòu)規(guī)劃算法需要找到一條從初始構(gòu)型到目標(biāo)構(gòu)型的較短的“路徑”，對(duì)路徑的搜索方法以A*算法為基礎(chǔ)，將最優(yōu)分配度量與重合度共同作為“路徑”上節(jié)點(diǎn)之間距離的度量指標(biāo)，為達(dá)到對(duì)稱式重構(gòu)的目的，根據(jù)1.2中構(gòu)型變化對(duì)稱性判定條件對(duì)中間構(gòu)型進(jìn)行篩選。

根據(jù)A*算法的原理，定義估價(jià)函數(shù)f(x)=d(x)+h(x)，其中d(x)為初始構(gòu)型到當(dāng)前構(gòu)型x的變換步數(shù)，h(x)為當(dāng)前構(gòu)型x到目標(biāo)構(gòu)型的估計(jì)距離(與最優(yōu)分配度量值呈正相關(guān)，與重合度呈負(fù)相關(guān))。搜索前建立open列表與close列表；將初始構(gòu)型作為當(dāng)前的父節(jié)點(diǎn)構(gòu)型，將初始構(gòu)型存入close列表；根據(jù)模塊運(yùn)動(dòng)約束得到父節(jié)點(diǎn)構(gòu)型所有可達(dá)構(gòu)型，并將不在close列表中的可達(dá)構(gòu)型放入open列表；用對(duì)稱性條件考察open列表中的構(gòu)型，若存在滿足條件的構(gòu)型，則將不滿足條件的構(gòu)型從open列表刪除；在open列表中篩選出與目標(biāo)構(gòu)型重合度度量值最大的構(gòu)型，其余構(gòu)型從open列表中刪除；在open列表中篩選出與目標(biāo)構(gòu)型最優(yōu)分配度量值最小的構(gòu)型，其余構(gòu)型從open列表中刪除；隨機(jī)選擇open列表中剩余構(gòu)型之一，將其作為新的父節(jié)點(diǎn)構(gòu)型，并存入close列表；重復(fù)以上步驟，直到目標(biāo)構(gòu)型出現(xiàn)在open列表中。算法流程如圖16所示。

圖16 重構(gòu)規(guī)劃算法流程Fig.16 Program flow of reconfiguration planning

3 算法校驗(yàn)

微納聚合體衛(wèi)星的一種典型應(yīng)用場(chǎng)景為空間陣列天線的展開與構(gòu)型變換。其構(gòu)型分為發(fā)射構(gòu)型(即由運(yùn)載火箭發(fā)射時(shí)的小包絡(luò)尺寸構(gòu)型)和在軌構(gòu)型(即入軌后根據(jù)不同功能需求展開而成的構(gòu)型)。在軌構(gòu)型中，陣列天線常用的典型構(gòu)型包括面陣構(gòu)型與線陣構(gòu)型。本節(jié)采用對(duì)稱性重構(gòu)規(guī)劃算法對(duì)以上三類典型構(gòu)型間的變換進(jìn)行校驗(yàn)。

1)發(fā)射構(gòu)型重構(gòu)為面陣構(gòu)型

模塊總數(shù)為12，需以適當(dāng)比例設(shè)置運(yùn)動(dòng)模塊數(shù)量?？紤]到運(yùn)動(dòng)模塊數(shù)量不宜過多，為在運(yùn)動(dòng)模塊數(shù)量較少的情況下校驗(yàn)算法對(duì)對(duì)稱運(yùn)動(dòng)的篩選作用，本算例將運(yùn)動(dòng)模塊數(shù)量上限設(shè)置為僅大于1的奇數(shù)3，規(guī)劃結(jié)果如圖17所示。

圖17 算例1計(jì)算結(jié)果Fig.17 Calculation result of numerical example 1

2)發(fā)射構(gòu)型重構(gòu)為線陣構(gòu)型

參數(shù)設(shè)置與(1)相同，規(guī)劃結(jié)果如圖18所示。

圖18 算例2計(jì)算結(jié)果Fig.18 Calculation result of numerical example 2

3)面陣構(gòu)型重構(gòu)為線陣構(gòu)型

參數(shù)設(shè)置與(1)相同，規(guī)劃結(jié)果如圖19所示。

圖19 算例3計(jì)算結(jié)果Fig.19 Calculation result of numerical example 3

3個(gè)算例由規(guī)劃算法得到的重構(gòu)過程總步數(shù)、對(duì)稱式重構(gòu)步數(shù)及其所占的比例如表1所示。

表1 規(guī)劃計(jì)算結(jié)果分析Table 1 Analysis of calculation result of planning algorithm

由表可知，對(duì)于三個(gè)算例，組合體都在較少的步數(shù)內(nèi)完成了重構(gòu)。其中對(duì)稱式重構(gòu)的步數(shù)所占的比例在不同算例中差別較大，但最低也接近50%，最高為100%，證明了對(duì)稱式重構(gòu)規(guī)劃算法的有效性。

4 結(jié) 論

本文為解決微納聚合體衛(wèi)星的重構(gòu)規(guī)劃問題，首先建立了動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。仿真結(jié)果表明：當(dāng)某兩個(gè)模塊的運(yùn)動(dòng)滿足對(duì)稱性條件時(shí)，兩者的運(yùn)動(dòng)對(duì)微納聚合體衛(wèi)星本體姿態(tài)的干擾可相互抵消。

基于上述分析，本文設(shè)計(jì)了微納聚合體衛(wèi)星對(duì)稱式重構(gòu)規(guī)劃算法。通過3個(gè)典型算例對(duì)該算法進(jìn)行校驗(yàn)。校驗(yàn)結(jié)果表明：該算法可實(shí)現(xiàn)在盡可能多的對(duì)稱運(yùn)動(dòng)步數(shù)下進(jìn)行重構(gòu)。

同時(shí)，由仿真結(jié)果可知，不同的初始與目標(biāo)構(gòu)型下，對(duì)稱運(yùn)動(dòng)比例差別較大，說明算法運(yùn)行結(jié)果對(duì)各初始條件敏感。因此，初始與目標(biāo)構(gòu)型、模塊總數(shù)、運(yùn)動(dòng)模塊數(shù)量等因素對(duì)規(guī)劃結(jié)果的影響有待研究。此外，對(duì)稱性步數(shù)是否存在理論上限，是否存在無法對(duì)稱變構(gòu)的構(gòu)型等問題有待進(jìn)一步研究。