劉 彬, 王營輝, 姜佳磊, 劉 爽

(燕山大學 電氣工程學院,河北 秦皇島 066004)

1 引 言

板帶軋制產(chǎn)品在科研儀器、航天設(shè)備以及高精度儀表方面有著重要的應用,然而目前軋機生產(chǎn)過程中的振動問題嚴重制約了軋制水平的提高[1,2]。為了提高軋機設(shè)備運行的穩(wěn)定性及軋制效率,對彈簧力非線性約束下加吸振器控制裝置的軋機輥系穩(wěn)定性及控制展開深入研究[3,4]。針對提高板帶軋機的穩(wěn)定運行的研究,提高軋機生產(chǎn)水平,劉彬等分析了軋件水平振動對軋制力和摩擦力動態(tài)特性的影響規(guī)律,仿真研究了軋件水平振動速度和軋機輥系振動位移隨軋輥轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律[5];謝長貴等對工作輥周期內(nèi)各階段振動信號進行了分析研究,當軋制速度為中高速穩(wěn)定軋制階段時,工作輥對中間輥的相對運動形成工作輥表面振紋,該輥面振紋反作用于軋機,進而引起軋機強迫振動[6];侯東曉等研究了軋制過程中非線性條件約束下輥縫工作界面變摩擦力的影響規(guī)律,通過分析耦合系統(tǒng)幅頻特性,得到軋機耦合系統(tǒng)隨軋輥非線性剛度和外激勵幅值變化規(guī)律[7];朱勇等研究了非線性彈簧力對軋機系統(tǒng)振動產(chǎn)生的影響,應用數(shù)值分析的方法得出軋機系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象以及典型的非線性動力學行為[8];Tran等研究了液壓缸的非線性特性,得到液壓缸的非線性特性主要由液壓缸內(nèi)部摩擦系數(shù)非線性和液壓缸等效剛度非線性共同導致的[9];范小彬等引入Duffing振子和參數(shù)激勵的剛度函數(shù),建立了一種軋機等效剛度非線性變化的軋機輥系振動模型,結(jié)合最大李雅普諾夫指數(shù)確定系統(tǒng)混沌運動狀態(tài),最后得到抑制軋機輥系振動的方法[10]。本文從軋機輥系機械結(jié)構(gòu)進行考慮,利用吸振器裝置的減振原理,通過在軋機系統(tǒng)上安裝吸振器控制裝置對軋機振動進行有效抑制,同時引入時滯反饋函數(shù)設(shè)計了系統(tǒng)的時滯反饋控制方程[11]。

本文以帶吸振器控制裝置的軋機輥系為研究對象,建立了非線性條件約束下的軋機輥系振動物理模型,引入時滯反饋控制函數(shù),設(shè)計了帶吸振器的軋機系統(tǒng)振動位移、振動速度的時滯反饋控制方程,通過仿真得到不同反饋增益參數(shù)和時滯量參數(shù)對軋機輥系主系統(tǒng)的影響規(guī)律,為抑制軋機振動提供了理論支持。

2 帶吸振器控制裝置的軋機輥系模型

軋機吸振器是通過彈性元件和阻尼元件把輔助質(zhì)量連接到軋機主系統(tǒng)(軋機支架)上的減振裝置,吸振器安裝到軋機上輥系上后,二者構(gòu)成一個兩自由度系統(tǒng),減振器在空間和結(jié)構(gòu)上的安裝情況如圖1所示。軋機輥系和吸振器裝置只做垂直方向的直線運動,在系統(tǒng)靜止時軋機上輥系和吸振器裝置的平衡位置為運動原點,軋機輥系和吸振器裝置的振動位移的大小代表振動強度,為減小軋機輥系的振動,就需要減小振動位移;軋機輥系在簡諧外激勵作用下振動,軋機輥系的振動能量通過吸振器的彈性元件和阻尼元件轉(zhuǎn)移到吸振器裝置上,吸振器通過彈性元件和阻尼元件作用在軋機輥系上的作用力與外界對軋機輥系的作用力方向相反,從而把軋機輥系的振動能量轉(zhuǎn)移到摩擦力中和吸振器裝置的動能中,從而來減小軋機輥系的振動位移,達到抑制振動的效果。

圖1 安裝減振器后的軋機輥系簡圖Fig.1 Rolling mill roll diagram after installing the damper

如圖2所示,在軋機上輥系等效質(zhì)量m1上安裝一個動力吸振器m2,x1為軋機上輥系的絕對位移,x2為吸振器的絕對位移。圖2中k1和c1分別為軋機上輥系和軋件之間的等效剛度和等效阻尼,k2和c2分別表示吸振器和軋機上輥系之間的等效剛度和等效阻尼。Fl(t)=Fsin (ωt)為等效負載力,其中F為外激勵幅值,ω為外激勵的角頻率,Fs(x)為機械液壓缸的彈簧力。

圖2 帶吸振器兩自由度系統(tǒng)模型Fig.2 Two-degree-of-freedom system model with vibration absorber

軋機上輥系和吸振器以及軋機上輥系和軋件之間的等效剛度和等效阻尼為線性,液壓缸的彈簧力是非線性的,系統(tǒng)模型的運動方程為:

(1)

為了求得軋件軋輥耦合振動的幅頻響應,近似認為軋機系統(tǒng)受到的外部激勵具有周期性,通過移項和替換,將式(1)化成標準形式:

(2)

為了對軋機輥系垂直振動進行控制,引入振動位移和速度雙時滯反饋函數(shù),通過調(diào)節(jié)反饋增益系數(shù)和時滯參數(shù),對帶吸振器的軋機系統(tǒng)的不穩(wěn)定振動控制效果進行分析,并且選擇出最佳的參數(shù)組合,從而引入了時滯反饋控制函數(shù):

(3)

為了近似得到系統(tǒng)的計算結(jié)果,設(shè)立兩種快變和慢變的時間尺度T0=t;T1=εt;對時間t的導數(shù)可寫為采用多尺度法求解方程,只討論一次近似解,設(shè)方程的解為:

(4)

將式(4)代入式(3),展開后令方程兩端ε的同次冪系數(shù)相等,得到各階近似方程:

(5)

(6)

將零次項方程組的解設(shè)為式(7)的形式,帶入一次項方程組中得:

(7)

(8)

式中cc代表左邊各項的共軛。

2.1 受控方程主共振響應求解

考慮系統(tǒng)主共振,ω10遠離ω20,ω10無限接近θ,假設(shè)此時ω=ω10+εσ,其中σ為頻率調(diào)諧因子。將ω=ω10+εσ代入式(8)中,消除久期項后得到:

(9)

為了求解方程,引入A1,A2的極坐標形式,A1=0.5aeiφ1,A2=0.5beiφ2,其中a,b,φ1,φ2都是時間T1的函數(shù),引入中間變量θ=σT1-φ1,代入式(8)并分離實部和虛部得:

(10)

(11)

2.2 受控方程內(nèi)共振響應求解

考慮內(nèi)共振情況,假設(shè)ω=ω10+εσ,ω20=ω10+εσ1,其中σ、σ1為頻率調(diào)諧因子,代入式(9),可得:

(12)

(13)

式(13)為引入時滯反饋控制函數(shù)之后的軋機輥系受控幅頻方程。從幅頻方程解的形式可以看出,軋機輥系的振動幅值受到外激勵幅值和頻率以及軋機參數(shù)等多種因素的影響,會造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定運行“跳躍現(xiàn)象”。引入時滯控制函數(shù)之后,可以通過調(diào)節(jié)控制參數(shù),使得軋機輥系振動幅值的“跳躍現(xiàn)象”出現(xiàn)的頻率區(qū)間變小,削弱軋機輥系低頻振動幅值出現(xiàn)的“跳躍現(xiàn)象”,為提高軋機系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性提供了理論支持。

3 帶吸振器的軋機輥系振動極限環(huán)幅值穩(wěn)定性分析

時間歷程曲線和相圖是軋機輥系振動狀態(tài)的直觀體現(xiàn),通過仿真圖,可以判斷軋機輥系振動的走勢并做出適當?shù)恼{(diào)整。軋機輥系的振動由于其自身具有的突發(fā)性和發(fā)散性特點,極有可能發(fā)生高頻自激振動,對軋機系統(tǒng)的安全運行存在隱患。如果將軋機輥系的振動發(fā)散行為進行控制,使軋機輥系的極限環(huán)幅值收斂于一個較小的范圍,這也就在一定程度上增強了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此,首先對軋機輥系振動的極限環(huán)幅值的穩(wěn)定性控制效果進行檢驗,比較控制參數(shù)變化對軋機輥系穩(wěn)定性的影響。圖3和圖4為非受控的軋機輥系振動特性仿真,圖5和圖6為g1=10 000,g2=50,τ1=0.75T,τ2=0時(工況1)的軋機輥系振動特性,圖7和圖8為g1=15 000,g2=50,τ1=0,τ2=0.75T時(工況2)的軋機輥系振動特性。時域圖和相圖如圖3到圖8所示。

圖3 非受控的時域圖Fig.3 Uncontrolled time domain diagram

圖4 非受控的相圖Fig.4 Uncontrolled phase diagram

圖5 工況1時域圖Fig.5 Time domain diagram of case 1

圖6 工況1相圖Fig.6 Phase diagram of case 1

圖7 工況2時域圖Fig.7 Time domain diagram of case 2

圖8 工況2相圖Fig.8 Phase diagram of case 2

從仿真結(jié)果的對比中可以看出,沒有引入時滯反饋函數(shù)之前,帶吸振器的軋機輥系主系統(tǒng)的振動幅值在起振瞬間緩慢的增大并最終達到穩(wěn)定振蕩。引入時滯反饋控制函數(shù)后,通過調(diào)整增益系數(shù)和時滯量,可以改善系統(tǒng)的振幅和收斂特性。當g1=10 000,g2=50,τ1=0.75T,τ2=0時,軋機輥系的振動幅值近似呈現(xiàn)等幅振蕩的狀態(tài),系統(tǒng)的振動幅值相對減小并且極限環(huán)幅值趨于穩(wěn)定。當g1=15 000,g2=50,τ1=0,τ2=0.75T時,軋機輥系的振動幅值出現(xiàn)收斂的情況并且極限環(huán)幅值很快達到穩(wěn)定,同時軋機輥系的振動幅值進一步減小。

4 帶吸振器的軋機輥系振動幅頻特性穩(wěn)定性分析

在軋機輥系的非線性動力學特性分析過程中,如果在幅頻曲線中出現(xiàn)了幅值的“跳躍現(xiàn)象”,此時系統(tǒng)的振動幅值對應的出現(xiàn)一頻多值的現(xiàn)象,不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定運行。為了避免軋機輥系振動幅頻曲線出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象,分別調(diào)整速度位移反饋增益系數(shù)和時滯量參數(shù),消除軋機輥系振動幅值存在的多值振動。仿真結(jié)果如圖9到圖12所示。

圖9 隨g1變化的幅頻曲線Fig.9 Amplitude-frequency curves varying with g1

從圖9到圖12的仿真結(jié)果可以看出,隨著反饋參數(shù)的變化,軋機輥系振動幅值的“跳躍現(xiàn)象”相應地出現(xiàn)一些不同程度的改變。

圖9的仿真結(jié)果表明:隨著位移反饋增益系數(shù)g1的增大,軋機輥系的振動幅值沿谷脊線減小,當g1的取值數(shù)量級大于 8×104時,軋機輥系振動幅值的“跳躍現(xiàn)象”逐漸消失。

圖10的仿真結(jié)果表明:當g2的取值為200時,系統(tǒng)的“跳躍現(xiàn)象”消失;然而當g2在0到200之間取值時,軋機輥系的振動幅值減小,軋機輥系振動幅值出現(xiàn)“跳躍現(xiàn)象”的頻率區(qū)段增大,系統(tǒng)的穩(wěn)定性受到削弱。

圖10 隨g2變化的幅頻曲線Fig.10 Amplitude-frequency curves varying with g2

圖11的仿真結(jié)果表明:時滯量參數(shù)τ1的變化不僅會改變軋機輥系振動的幅值,還會影響軋機輥系振動的固有頻率以及“跳躍現(xiàn)象”出現(xiàn)的頻率區(qū)間。

圖11 隨τ1變化的幅頻曲線Fig.11 Amplitude-frequency curves varying with τ1

圖12的仿真結(jié)果表明:相對于τ1的影響,時滯量參數(shù)τ2的變化沒有改變軋機輥系振動的固有頻率。隨著τ2的變化,軋機輥系振動幅值沿著谷脊線變大或減小,當τ2=0.5T時,系統(tǒng)的“跳躍現(xiàn)象”消失,軋制系統(tǒng)恢復穩(wěn)定。

圖12 隨τ2變化的幅頻曲線Fig.12 Amplitude-frequency curves varying with τ2

5 結(jié) 論

本文建立了一種帶吸振器的軋機輥系振動模型,通過吸振器的彈性元件和阻尼元件將軋機輥系的振動能量轉(zhuǎn)移到吸振器控制裝置上,從而減小軋機輥系的振動位移,達到抑制振動的效果。引入時滯反饋控制函數(shù),設(shè)計帶吸振器的軋機輥系振動位移、振動速度的時滯反饋控制方程。采用多尺度法,求得軋機系統(tǒng)主共振和內(nèi)共振情況下的幅頻響應方程。分析了軋機輥系振動幅頻特性的穩(wěn)定性,得到不同反饋增益參數(shù)和時滯量參數(shù)對帶吸振器的軋機輥系的影響規(guī)律,適當?shù)脑龃蠓答佋鲆嫦禂?shù)g1和g2,減小時滯量系數(shù)τ1和τ2可以改善系統(tǒng)穩(wěn)定性和收斂性。