張元生

本學期，我們六年級數(shù)學組的課例研究聚焦于 “數(shù)學思考”新增的兩道例題：例3：“△、□、○、☆、◎各代表一個數(shù)。（1）已知△+□=24， △ =□+□+□。求△ 、□的值。（2）已知：○+☆=160，◎+☆=160?！鹗欠竦扔凇?？”例4：“什么是平角？平角與直線有什么區(qū)別？（1）每相鄰兩個角可以組成一個平角，一共能組成幾個平角？（2）您能推出∠1=∠3嗎？”

從教材編排來看，例3是等量代換的內容，等量代換是指一個量用與它相等的量去代替，是演繹推理的基礎。例3中，△ 、□的值是以等量代換為基礎逐步推理得出的。例4是一道經(jīng)典的用演繹推理來進行證明的幾何題。這兩道例題逐層推進：從“通過演繹推理得到結果——例3（1）”到“通過演繹推理得到結論——例3（2）”，再到“用演繹推理進行幾何證明——例4”，這一過程是演繹推理經(jīng)驗逐步積累的過程。按教材編排特點，這兩道例題是可以作為一課時內容進行教學的，于是，我們以“數(shù)學思考——簡單的推理”為課題，開始了磨課活動。

一、一磨——生搬硬套

我們以“依據(jù)條件用有邏輯的數(shù)學語言表達推理過程”為主要目標，以“初識推理（例3〈1〉）→再識推理（例3〈2〉）→拓展延伸（例4）”為教學思路開始第一次磨課。

沒想到，教學中第一環(huán)節(jié)就出現(xiàn)了問題。當出示例3（1）后，大概3分鐘，多數(shù)學生都能說出△ 、□的值。指名口答時，學生基本都能說出關鍵：將“△+□=24”中的△換成“□+□+□”。但當老師要求學生一步一步說清楚自己的想法，并說出每一步的依據(jù)時，學生面面相覷，不知所措。于是，老師借助課件，一步一步帶領學生推理，并指導每一步推理的依據(jù)。之后，例3（2）與例4的教學，學生更是畏畏縮縮，教師只得生搬硬套，勉強完成教學任務，而“依據(jù)條件用有邏輯的數(shù)學語言表達推理過程”的主要目標沒有達成。

為什么會這樣？這一課的難點在哪兒？如何才能有所突破呢？我們認為，這一課最大的困難是學生缺乏演繹推理的經(jīng)驗。

要想有所突破，首先，應該要有必要的鋪墊，要讓學生明白什么是演繹推理的依據(jù)，哪些可以作為演繹推理的依據(jù)。其次，要讓學生知道演繹推理的過程，應是從已知開始，逐步推理出結論的過程。最后是要幫助學生構建推理的模式，借助模式進行有邏輯的數(shù)學表達。

二、二磨——越俎代庖

根據(jù)大家的建議修改了教學設計后，二磨開始了。課前老師與學生以“仔細地觀察，認真地思考，規(guī)范、嚴謹?shù)乇硎觥睘橹黝}與學生進行了交流，鼓勵學生在本節(jié)課能規(guī)范、嚴謹?shù)乇硎鲎约旱南敕?，并說明：嚴謹，就是要說清楚依據(jù)，然后以兩個小問題導入本課：

1.∠1+ ∠2=？你的依據(jù)是什么？

2.如果x+5=22，那么x=？依據(jù)是什么？

之后的例2兩個小題的教學中，教師在學生交流的基礎上，構建了“已知：_，可得：_（依據(jù)：_），所以_（依據(jù)：_）”的表述模式，并引導學生表述推理過程，教學比較順利。但當老師出示例4（2）“你能推出∠1=∠3嗎？”的問題，放手讓學生自主推理時，問題出現(xiàn)了：全班只有幾個同學舉手，而且也是支支吾吾，表述不清。

應該說，導入環(huán)節(jié)有一定的鋪墊作用，可以喚起學生的知識儲備，知道“平角=180°”“等式的性質”等是進行推理的依據(jù)（課中說依據(jù)時，明顯比上一課順暢），例3教學時的表述模式，也應該能讓學生說清楚推理過程。為什么到例4教學環(huán)節(jié)時，還是這樣困難呢？如何才能有進一步突破呢？

我們分析，例3的教學有“越俎代庖”之嫌，教師根據(jù)學生的交流進行整理，以課件出示的形式完善表述模式，但這只能讓學生初步感知，而無法逐步內化。學生演繹推理的經(jīng)驗積累過程，并不是一個范例可以解決的。我們考慮，“用數(shù)學語言嚴謹?shù)乇磉_”的學習過程，應要讓學生經(jīng)歷“示范模式→填空模式→自主推理”的過程;推理的體驗過程，應該要讓學生經(jīng)歷從最簡單模式（已知→結果）到稍復雜模式（已知→過渡結論→結論）的過程。只有在這樣的過程中，學生不斷反思總結，不斷積累經(jīng)驗，才能最終“水到渠成”。

三、三磨——水到渠成

教學設計在大家的建議下修改完善，由我執(zhí)教開始了第三次磨課。

1.起點——學生的最近發(fā)展區(qū)

師出示右圖，問：∠1+∠2=？

生：180°。

師追問：為什么？

生：∠1、∠2可以組成一個平角。

師：那為什么是180°呢？

生：因為平角是180°。

師出示：因為 ∠1和∠2可以組成一個平角，所以∠1+ ∠2=180°（依據(jù)：平角=180°）。

師：數(shù)學的表達重在嚴謹規(guī)范，當老師提問“∠1+ ∠2=？”時，你能像這樣把你的想法說清楚、說完整，你就是最棒的！

師再出示：已知x+5=22，可得x=？

生：已知x+5=22，可得x=17，依據(jù)是等式的性質。

教學的切入點應要直擊學生的最近發(fā)展區(qū)。本課“依據(jù)條件用有邏輯的數(shù)學語言表達推理過程”這一目標實現(xiàn)有較大難度的原因在于學生表達經(jīng)驗的匱乏，那我們就尋找學生最易表達的范例，引領學生走入最近發(fā)展區(qū)，以此為基礎逐步推進，幫助學生逐步積累數(shù)學表達的經(jīng)驗。

2.示范——構建數(shù)學表達模式

師出示：△、□、○各代表一個數(shù)。已知△+□=24， △ =□+□+□。求△ 、□的值。

學生觀察、思考、計算。

師：△、□的值各是多少？你是怎么想的？

生：□的值是6，△的值是18。可以把△+□=24中的“△”換成“□+□+□”，求出□=6，那么△=24-6=18。

師：“△”能換成“□+□+□”嗎？為什么？

生：可以，因為△ =□+□+□。

師：一個量用與它相等的量去代替，這就是“等量代換”。同學們，你們能規(guī)范、嚴謹?shù)匕严敕ㄕf清楚嗎？試試看。

師逐步引導學生說清楚推理過程，并交流每一步推理的依據(jù)，最后課件出示：已知：△+□=24，△ =□+ □+ □。

可得：□+ □+ □ +□=24（依據(jù)：等量代換），

即：4×□=24（依據(jù)：乘法意義），

所以：□=6（依據(jù)：等式性質）。

3.填空——模式內化的階梯

師再出示：□=6，那么△=？

生齊說：△=18。

師課件出示：已知：_，可得：_（依據(jù)：_），所以：_（依據(jù)：_）。

師：你能借助這個模式把你的想法說清楚嗎？

生1：已知□=6，△+□=24，可得……

生2：已知□=6，△=□+ □+ □，可得……

教師在教學中，對于“□=6，那么△=？”的問題往往一帶而過，但我認為這應是學生演繹推理經(jīng)驗積累的一大契機。首先，同一題目中由完整模式的示范到填空模式的嘗試的過程，是學生將模式逐步內化的必要過程，是學生演繹推理的必要過渡。其次，選擇不同的已知條件：“□=6，△+□=24” “□=6，△=□+ □+ □”推導出相同的結果：△=18。可以讓學生初步感知演繹推理的方法多樣性，為例4推理的方法多樣性埋下伏筆。

4.回想——推理模式建構、方法掌握的催化劑

師出示：○、☆、◎各代表一個數(shù)。已知：○+☆=160， ◎+☆=160。那么：○ 是否等于◎？

學生觀察思考后交流。

生1：因為“○=160-☆，◎=160-☆”，所以“○=◎”。

生2：因為“○+☆=◎+☆”，所以“○=◎”。

師：回想一下我們之前的表述過程，你們能將他們的想法規(guī)范、嚴謹?shù)乇硎龀鰜韱幔?/p>

生互相交流后反饋。師以“已知：_， 可得：_（依據(jù)：_），所以：_，（依據(jù)：_）”的模式板書。

教師引導學生對比兩種推理方法。

5.自主——推理方法的鞏固與拓展

出示右圖。

師：你知道哪些角的和是180°嗎？請規(guī)范、嚴謹?shù)鼗卮稹?/p>

生：因為∠1和 ∠2組成一個平角，所以∠1+ ∠2=180°，依據(jù)是平角=180°……

師根據(jù)學生口答，逐步出示：∠1+ ∠2=180°，∠2+ ∠3=180°，∠3+∠4=180°，∠4+ ∠1=180°。

師：以這些為已知條件，你能推出∠1=∠3嗎？請將推理過程完整地寫在作業(yè)紙上。

師借助展臺展示學生推理過程。

……

演繹推理在小學階段以例題形式出現(xiàn)，可看出編者重視小學與初中數(shù)學教學的延續(xù)性，有意識地滲透初中內容，為學生未來的數(shù)學學習作必要的準備和鋪墊。我們一線教師應該要思考編寫意圖，把教學重心放在對演繹推理這一方法的感悟和體驗，從而積累演繹推理的初步經(jīng)驗。