陸建明

(江蘇省常州市第一中學(xué)，213003)

一、?？碱}呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)?BMN是橢圓C的內(nèi)接三角形.

(i)若點(diǎn)B為橢圓C的上頂點(diǎn),原點(diǎn)O為?BMN的垂心,求線段MN的長;

(ii)若原點(diǎn)O為?BMN的重心,求原點(diǎn)O到直線MN距離的最小值.

本題為2020年江蘇省南京鹽城二模考試題.命題組給出的參考答案如下.

(2)(i)略.

若n≠0,此時直線MN的斜率存在.設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2),則有

x1+x2=-m,y1+y2=-n.

6mx+8ny+3m2+4n2=0.

二、本源探究

上述解法符合解析幾何的本質(zhì),用代數(shù)思想完美解決了幾何最值問題.經(jīng)研究,筆者發(fā)現(xiàn)該最值問題源于圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì),用橢圓光學(xué)性質(zhì)能夠更巧妙地解決這個問題.為此,我們先證明幾個相關(guān)結(jié)論.

結(jié)論3(橢圓的光學(xué)性質(zhì))從橢圓的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)過橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn),且反射鏡面所在直線為橢圓在入射點(diǎn)處的切線.[1]

證明設(shè)∠F1AF2=α,則

三、?？碱}巧解

由上述本源探究,利用橢圓的光學(xué)性質(zhì),我們不難得到文首?？碱}的如下巧妙解答.