陳萬龍

(湖南省華容縣第二中學(xué)，414215)

性質(zhì)在斜三角形ABC中,恒有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

①

由兩角和的正切公式,易證斜三角形具有的如上性質(zhì).恰當(dāng)靈活應(yīng)用① 式,能快速有效處理斜三角形的某些問題.

評(píng)注本題由條件及① 式通過消元直接求得tanB,再從整體上用tanB來表示AB邊上的高,給問題求解提供了新思路.

tanAtanBtanC=tan3B.

利用① 式,可得

tanAtanBtanC

=tanA+tanB+tanC

又由a2+c2-ac=4,且a=c,可得a=c=b=2.

評(píng)注本題處理的關(guān)鍵是求B的最小值,利用① 式與基本不等式找到了解決問題的途徑；再在B取得最小值的前提下來處理三角形面積的最大值,根據(jù)余弦定理與基本不等式使問題得到了圓滿的解決.

解由數(shù)量積的定義,知題設(shè)等式可化為bccosA+2accosB=3abcosC；再由正弦定理,得sinBsinCcosA+2sinAsinCcosB=3sinAsinBcosC,即

由① 式與上式消去tanA,整理可得

(tan2C-3)tan2B-2tanCtanB+2tan2C=0.

評(píng)注本題利用方程思想來處理問題,解答過程與參考答案完全不一樣,可以算得上是有意義的事情.不過,此法對(duì)計(jì)算能力要求較高.

評(píng)注熟悉三角形五心的有關(guān)向量恒等式,是迅速求解本題的關(guān)鍵.而① 式的應(yīng)用,更是加快了問題的求解過程.

練習(xí)

1.(2016年江蘇高考題)在銳角?ABC中,若sinA=2sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值是______.