朱小扣

(安徽省無為第三中學(xué)城北校區(qū)，238300)

在競賽中,柯西不等式對(duì)不等式的證明與求代數(shù)式的最值有著十分重要的作用. 與此同時(shí),柯西不等式經(jīng)常也與其他不等式結(jié)合使用,能解決很多有難度的試題. 本文旨在幫助同學(xué)們突破有關(guān)柯西不等式運(yùn)用的難點(diǎn)和熱點(diǎn)問題.

一、柯西不等式的直接運(yùn)用

例1(2018年河北初賽題)若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=3,x+2y-2z=4,則zmax+zmin=______.

分析視z為參數(shù)并移項(xiàng),再使用柯西不等式得不等式,可使問題獲解.

例3(2018年河南初賽題)已知cos(α+β)=cosα+cosβ,試求cosα的最大值.

二、柯西不等式與待定系數(shù)法綜合

運(yùn)用柯西不等式結(jié)合待定系數(shù)法可以解決很多最值問題.待定系數(shù)法配湊系數(shù)是很有技巧性的,可進(jìn)一步延拓柯西不等式的解題范圍.

=12.

評(píng)注利用待定系數(shù)法與柯西不等式是解決此類問題常用的方法.此法不僅可以含兩個(gè)根號(hào)的函數(shù)的最大值,只要用法得當(dāng),還可以求出含多個(gè)根號(hào)的函數(shù)的最大值.

三、與其它不等式綜合使用

1.先用其他的不等式預(yù)處理,再用柯西不等式證明

評(píng)注本題無法直接用柯西不等式,必須用其他不等式預(yù)處理,轉(zhuǎn)化為利于應(yīng)用柯西不等式的形式. 又如:

例8(數(shù)學(xué)通訊問題306)已知正數(shù)a，b，c滿足abc=1,求證:

評(píng)析當(dāng)我們看到一題無法直接用柯西不等式解決時(shí),不能放棄柯西不等式,要想到先運(yùn)用均值不等式,配方等方法預(yù)處理后,再用柯西不等式試試.

2. 先用柯西不等式預(yù)處理,再用其他不等式證明

≥2(ab+bc+ca).

①

令a=x2,b=y2,c=z2,則由舒爾不等式及均值不等式,得

故原不等式成立.

證明用數(shù)學(xué)歸納法.

(1)當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論顯然成立.

由柯西不等式,可得

綜上,對(duì)任意非負(fù)數(shù)a1,a2,…,an,結(jié)論都成立.

評(píng)注在解決一道難題時(shí),也可用柯西不等式先預(yù)處理,再用其他的方法如數(shù)學(xué)歸納法去證明.這體現(xiàn)了考查柯西不等式與其他不等式知識(shí)的交匯.因此,我們必須要掌握好柯西不等式.