李艷東，朱 玲，郭 媛，于 穎，趙麗娜

1.齊齊哈爾大學(xué) 計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006

2.齊齊哈爾大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006

1 引言

由于保持編隊(duì)的一組移動(dòng)機(jī)器人在很多領(lǐng)域的有用性，世界上很多研究者關(guān)注這一領(lǐng)域，并提出了多種不同的編隊(duì)控制策略，如基于行為的控制[1]、虛擬結(jié)構(gòu)法[2]及領(lǐng)航者-跟隨者法[3-4]等，其中領(lǐng)航者-跟隨者法是最常用的機(jī)器人編隊(duì)控制方法。傳統(tǒng)的編隊(duì)控制[5-7]通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器來(lái)保持編隊(duì)，需滿(mǎn)足“完美的速度跟蹤”假設(shè)，其缺乏對(duì)擾動(dòng)等不確定性的魯棒性。為克服不確定性的影響，就必須考慮機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)，文獻(xiàn)[8-10]已經(jīng)包含了跟隨機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，以驅(qū)動(dòng)器力矩作為控制輸入，但實(shí)際應(yīng)用中，機(jī)器人以直流電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)器，以驅(qū)動(dòng)器電壓作為輸入更合理[11]，因此本文編隊(duì)控制的研究將考慮含驅(qū)動(dòng)器動(dòng)力學(xué)的模型作為研究對(duì)象。

在一些實(shí)際應(yīng)用中，比如軍事、災(zāi)后救援、運(yùn)載等領(lǐng)域，要求一組機(jī)器人在一定時(shí)間內(nèi)達(dá)成期望的編隊(duì)，而文獻(xiàn)[12-13]等設(shè)計(jì)的有限時(shí)間控制器收斂速度受初始條件限制，初始條件變化將直接影響控制器鎮(zhèn)定時(shí)間，無(wú)法實(shí)現(xiàn)這一愿望。Polyakov[14]開(kāi)創(chuàng)的固定時(shí)間問(wèn)題的研究，為解決這一問(wèn)題帶來(lái)了希望，釋放了初始條件，通過(guò)控制器常數(shù)參數(shù)的人為設(shè)計(jì)就能決定機(jī)器人編隊(duì)的達(dá)成時(shí)間，這就涉及到了固定時(shí)間編隊(duì)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[15-17]將針對(duì)一階、二階標(biāo)量系統(tǒng)的固定時(shí)間設(shè)計(jì)框架用到了多智能體系統(tǒng)一致控制上，然而，這些文獻(xiàn)都是采用將多變量系統(tǒng)解耦成包含單輸入通道的控制問(wèn)題，然后再通過(guò)標(biāo)量系統(tǒng)的固定時(shí)間設(shè)計(jì)框架進(jìn)行設(shè)計(jì)，直到現(xiàn)在針對(duì)多變量多輸入系統(tǒng)的固定時(shí)間控制問(wèn)題進(jìn)行設(shè)計(jì)的文獻(xiàn)也不多見(jiàn)[18]；此外，針對(duì)非完整移動(dòng)機(jī)器人，并考慮以驅(qū)動(dòng)器電壓作為控制輸入且克服外部干擾的情況，因變量之間的耦合，增加了設(shè)計(jì)的困難性，采用多變量固定時(shí)間設(shè)計(jì)框架進(jìn)行編隊(duì)控制設(shè)計(jì)將更有意義。

針對(duì)多變量系統(tǒng)抗干擾固定時(shí)間控制設(shè)計(jì)可以采用開(kāi)關(guān)控制，但因?yàn)檩斎氲念l繁動(dòng)作，存在抖振現(xiàn)象，不利于系統(tǒng)實(shí)際應(yīng)用，文獻(xiàn)[19-20]提出的多變量連續(xù)類(lèi)超螺旋固定時(shí)間算法很好地解決了開(kāi)關(guān)控制輸入抖振的問(wèn)題，受此啟發(fā)，本文將采用連續(xù)類(lèi)超螺旋固定時(shí)間算法用到受外部干擾的移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)控制中。綜合上面的分析，本文將研究一隊(duì)受外部干擾作用的電驅(qū)動(dòng)非完整移動(dòng)機(jī)器人的多變量固定時(shí)間連續(xù)編隊(duì)控制問(wèn)題。

2 原理

2.1 非完整移動(dòng)機(jī)器人模型

電驅(qū)動(dòng)非完整移動(dòng)機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型如下[11]：

其中q=(x,y,θ)T為機(jī)器人的姿態(tài)向量，(x,y)表示后軸中點(diǎn)c在笛卡爾坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，θ為機(jī)器人的導(dǎo)向角。兩驅(qū)動(dòng)輪的間距為2R，驅(qū)動(dòng)輪的半徑為r。v和ω分別為移動(dòng)機(jī)器人的線速度和角速度，Mˉ(q)為系統(tǒng)慣性矩陣，是與位置和速度有關(guān)的向心力和哥氏力矩陣，是僅與輪距R和輪半徑r有關(guān)的非奇異矩陣，為外部擾動(dòng)，，ur與ul是加在右輪和左輪電機(jī)的輸入電壓，d是機(jī)器人后軸到前部的距離。其中矩陣：

其中，m是移動(dòng)機(jī)器人平臺(tái)質(zhì)量，I為機(jī)器人平臺(tái)繞輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為速度與左右驅(qū)動(dòng)輪速度的關(guān)系矩陣，a1=N2KTKb/Ra與a2=NKT/Ra為參數(shù)；N為電機(jī)齒輪與機(jī)器人驅(qū)動(dòng)輪上齒輪的齒輪比，KT為電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)，Ra為電阻，Kb是反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)。

2.2 領(lǐng)航者跟隨者編隊(duì)動(dòng)力學(xué)模型

考慮如圖1所示相對(duì)距離為lij，相對(duì)方位角為ψij的兩個(gè)受非完整約束的領(lǐng)航者-跟隨者機(jī)器人系統(tǒng)。

圖1 領(lǐng)航者-跟隨者機(jī)器人系統(tǒng)

由圖1可以得到：

則編隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)如下[21]：

其中，γj=ψij+θij，θij=θi-θj。

注1如無(wú)特殊說(shuō)明，下標(biāo)i代表領(lǐng)航者參數(shù)，下標(biāo)j代表跟隨者參數(shù)，本文中j取1，2，即兩臺(tái)跟隨者。

由式（2）、（5）可以得到考慮驅(qū)動(dòng)器動(dòng)力學(xué)的領(lǐng)航者跟隨者編隊(duì)狀態(tài)空間動(dòng)力學(xué)方程如下：

2.3 固定時(shí)間控制

在編隊(duì)控制器設(shè)計(jì)之前，先介紹幾個(gè)需要用到的引理和定義。

定義1[17-18]對(duì)于系統(tǒng)：

定義2[17-18]如果系統(tǒng)（8）是全局有限時(shí)間穩(wěn)定，而且設(shè)定時(shí)間函數(shù)T(x0)是有界的，即>0，T(x0)≤Tmax，那么系統(tǒng)（8）在原點(diǎn)固定時(shí)間穩(wěn)定。

引理1[18]如果存在一個(gè)Lyapunov函數(shù)，且對(duì)于參數(shù)α,β>0，p>1>q>0，其解滿(mǎn)足不等式：

那么原點(diǎn)是固定時(shí)間穩(wěn)定的，其設(shè)定時(shí)間函數(shù)有可以由設(shè)定常數(shù)計(jì)算出的界，即：

引理2[18]對(duì)于一個(gè)一階多變量系統(tǒng)：

其中，x∈?n，α,β>0，p>1>q>0，那么，系統(tǒng)（11）在原點(diǎn)是全局固定時(shí)間穩(wěn)定的，且設(shè)定時(shí)間估計(jì)由式（10）給出。

3 控制器設(shè)計(jì)

控制器設(shè)計(jì)分兩部分，第一部分進(jìn)行編隊(duì)跟蹤部分的設(shè)計(jì)，采用固定時(shí)間編隊(duì)控制算法，使跟隨者在不依賴(lài)初始條件的情況下，通過(guò)設(shè)計(jì)參數(shù)的選擇在固定時(shí)間內(nèi)達(dá)到指定的編隊(duì)隊(duì)形；第二部分針對(duì)跟隨者機(jī)器人所受有界不確定干擾情況，依據(jù)機(jī)器人電驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行抗干擾的固定時(shí)間動(dòng)力學(xué)電壓控制器設(shè)計(jì)。

3.1 固定時(shí)間編隊(duì)控制問(wèn)題

電驅(qū)動(dòng)非完整移動(dòng)機(jī)器人領(lǐng)航者-跟隨者法固定時(shí)間控制的目標(biāo)就是通過(guò)設(shè)計(jì)編隊(duì)控制器、動(dòng)力學(xué)電壓控制器使：

其中，lijd與ψijd分別為跟隨機(jī)器人與領(lǐng)航機(jī)器人的相隔距離與相對(duì)方位角的期望值，Vjc為跟隨者機(jī)器人的期望速度。本文主要關(guān)注跟隨者機(jī)器人，給出如下假設(shè)。

假設(shè)1作用在跟隨者機(jī)器人上的擾動(dòng)有界，即≤ρj，ρj為正常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)存在且有界，即L，L為正常數(shù)。

假設(shè)2領(lǐng)航者機(jī)器人跟蹤一個(gè)提前定義的時(shí)變軌跡。

假設(shè)3跟隨者機(jī)器人可以獲得所有自身的狀態(tài)和領(lǐng)航者機(jī)器人的速度。

3.2 固定時(shí)間運(yùn)動(dòng)學(xué)領(lǐng)航者-跟隨者編隊(duì)控制器

對(duì)于編隊(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)系統(tǒng)（6），控制輸入Vj=[vjωj]T，既然detG=d/lij≠0，G-1存在，假定期望的距離lijd和方位角ψijd是時(shí)不變的，使用狀態(tài)反饋技術(shù)可以得到多變量固定時(shí)間運(yùn)動(dòng)學(xué)編隊(duì)控制器（MFTFC）如下：

定理1對(duì)于多變量一階系統(tǒng)（6），設(shè)計(jì)編隊(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器（13），那么編隊(duì)跟蹤偏差ej在設(shè)定時(shí)間函數(shù)T0內(nèi)收斂到0，跟隨者在通過(guò)控制器參數(shù)設(shè)計(jì)的設(shè)定時(shí)間T0內(nèi)實(shí)現(xiàn)編隊(duì)跟蹤，時(shí)間T0與系統(tǒng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。

令 y0=≥0 ，有，式（17）則變?yōu)椋瑒t由引理1，式（17）在固定時(shí)間式（15）所示時(shí)間T0內(nèi)收斂到原點(diǎn)，即系統(tǒng)（6）中的lij、ψij在固定時(shí)間內(nèi)達(dá)到lijd、ψijd，實(shí)現(xiàn)指定編隊(duì)，或者依據(jù)引理2，由運(yùn)動(dòng)學(xué)編隊(duì)跟蹤偏差微分方程（14）直接得到上述結(jié)論。證畢。

3.3 超螺旋固定時(shí)間動(dòng)力學(xué)連續(xù)電壓控制器

前面設(shè)計(jì)解決了編隊(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)層面的固定時(shí)間編隊(duì)控制問(wèn)題，以設(shè)計(jì)速度控制器作為輸入，可以實(shí)現(xiàn)跟隨者在固定時(shí)間與領(lǐng)航者達(dá)到指定編隊(duì)，但實(shí)際使用中，跟隨者機(jī)器人必然受到外部干擾的影響，因此，在干擾存在的情況下，應(yīng)考慮機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，這里，將編隊(duì)控制得到的速度作為動(dòng)力學(xué)（7）的期望速度輸入，進(jìn)行抗干擾的超螺旋固定時(shí)間動(dòng)力學(xué)連續(xù)電壓控制器設(shè)計(jì)，定義速度跟蹤誤差：

結(jié)合式（7）和（18）可以得到速度跟蹤誤差微分方程如下：

對(duì)于輸入量Uj，基于文獻(xiàn)[20]的多變量類(lèi)超螺旋固定時(shí)間控制方法進(jìn)行的固定時(shí)間控制器設(shè)計(jì)如下：

其中，p1>1，那么，閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)有如下形式：

定理2對(duì)于存在干擾ξ(t)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（22），≤L，那么，ejc和y在固定時(shí)間T1內(nèi)收斂于原點(diǎn)，即跟隨者機(jī)器人實(shí)現(xiàn)速度跟蹤并克服外部干擾τˉdj。

定理2證明見(jiàn)文獻(xiàn)[20]。

通過(guò)變量替換可以得到基于多變量超螺旋固定時(shí)間算法的跟隨者機(jī)器人動(dòng)力學(xué)固定時(shí)間連續(xù)電壓控制器（MSTFTC）如下：

定理3對(duì)形如動(dòng)力學(xué)方程（7）的電驅(qū)動(dòng)跟隨者機(jī)器人j，假設(shè)1～3同時(shí)滿(mǎn)足，設(shè)計(jì)跟隨者機(jī)器人驅(qū)動(dòng)器電壓控制器（24），那么跟隨者機(jī)器人速度跟蹤偏差ejc在設(shè)定時(shí)間T1（式（23））內(nèi)收斂到0，跟隨者在通過(guò)控制器參數(shù)設(shè)計(jì)的設(shè)定時(shí)間T1內(nèi)實(shí)現(xiàn)動(dòng)力學(xué)速度跟蹤，時(shí)間T1與系統(tǒng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。

證明由定理2，很顯然定理3成立。

為了進(jìn)行對(duì)比，這里給出跟隨者機(jī)器人多變量固定時(shí)間魯棒控制器（MFTRC）如下：

其中，α1，β1，p1為設(shè)計(jì)常數(shù)，同式（24），sgn(?)為符號(hào)函數(shù)，顯然式（25）采用開(kāi)關(guān)控制項(xiàng)來(lái)克服干擾，為非連續(xù)控制。

進(jìn)一步，通過(guò)變量替換得到跟隨者機(jī)器人多變量固定時(shí)間魯棒電壓控制器（MFTRUC）如下：

注2機(jī)器人編隊(duì)在T0max內(nèi)達(dá)到期望編隊(duì)，跟隨者在T1max內(nèi)實(shí)現(xiàn)速度跟蹤，取T=max(T0max,T1max)，則通過(guò)設(shè)計(jì)控制參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)存在擾動(dòng)情況下機(jī)器人編隊(duì)在T內(nèi)達(dá)到期望編隊(duì)。

圖2 電驅(qū)動(dòng)移動(dòng)機(jī)器人多變量固定時(shí)間連續(xù)編隊(duì)控制結(jié)構(gòu)圖

4 仿真與結(jié)果分析

文中所設(shè)計(jì)的電驅(qū)動(dòng)移動(dòng)機(jī)器人多變量固定時(shí)間連續(xù)編隊(duì)控制算法（MFTFC+MSTFTC）框圖如圖2所示，通過(guò)MATLAB/SIMULINK對(duì)所提出算法進(jìn)行仿真分析，三臺(tái)非完整移動(dòng)機(jī)器人組成三角編隊(duì)（lijd=1，ψijd=±120°）作為研究對(duì)象，取編隊(duì)機(jī)器人模型物理參數(shù)完全相同如表1所示。

表1 機(jī)器人系統(tǒng)模型物理參數(shù)

圖3 三角編隊(duì)圓形軌跡跟蹤

圖4 跟隨者與領(lǐng)航者相對(duì)距離跟蹤偏差

圖5 跟隨者與領(lǐng)航者方位角跟蹤偏差

圖6 跟隨者速度跟蹤偏差

圖7 跟隨者角速度跟蹤偏差

圖8 跟隨者輸入U(xiǎn)j1（MFTFC+MSTFTC算法）

圖9 跟隨者輔助輸入U(xiǎn)j1（MFTRC+MFTRUC算法）

（1）領(lǐng)航者與跟隨者相對(duì)編隊(duì)初始位姿差[0.5 3π/5 0.5-3π/5]，采用MFTFC+MSTFTC算法的仿真結(jié)果如圖3～圖8的（a）圖所示，采用MFTRC+MFTRUC算法的仿真結(jié)果如圖9（a）所示（限于篇幅，此算法只給出輔助輸入U(xiǎn)j1用于比較研究）。

（2）領(lǐng)航者與跟隨者相對(duì)編隊(duì)初始位姿差[0.5 π/3 1.5-π/3]，采用MFTFC+MSTFTC算法的仿真結(jié)果如圖3～圖8的（b）圖所示，采用MFTRC+MFTRUC算法的仿真結(jié)果如圖9（b）所示。

（3）領(lǐng)航者與跟隨者相對(duì)編隊(duì)初始位姿差[1.5 π/6 2-π/6]，采用MFTFC+MSTFTC算法的仿真結(jié)果3～圖8的（c）圖所示，采用MFTRC+MFTRUC算法的仿真結(jié)果如圖9（c）所示。

在參數(shù)的選取上，可以看出三種軌跡跟蹤情況參數(shù)一致，領(lǐng)航者與跟隨者相對(duì)編隊(duì)初始位姿差不同，即初始條件不同，從仿真結(jié)果圖3～圖7（MFTFC+MSTFTC算法）中的（a）～（c）圖可以看出，三種情況都實(shí)現(xiàn)了較好的跟蹤，克服了滿(mǎn)足假設(shè)條件干擾的影響，且?guī)缀踉谙嗤臅r(shí)間（通過(guò)控制器參數(shù)設(shè)計(jì)的設(shè)定時(shí)間）跟隨者機(jī)器人達(dá)到了期望編隊(duì)位置，跟隨者機(jī)器人實(shí)現(xiàn)了對(duì)期望速度的跟蹤，說(shuō)明控制效果與初始條件無(wú)關(guān)，實(shí)現(xiàn)了固定時(shí)間控制。

在公共參數(shù)相同的情況下，三種軌跡跟蹤情況，采用 MFTFC+MSTFTC 算法的圖 8的（a）～（c）和采用MFTFC+MFTRUC算法的圖9的（a）～（c）跟隨者輔助輸入U(xiǎn)j1的對(duì)比可以看出，連續(xù)控制的超螺旋固定時(shí)間算法（MFTFC+MSTFTC）消除了輸入抖振現(xiàn)象，開(kāi)關(guān)控制的固定時(shí)間魯棒控制算法（MFTFC+MFTRUC）則存在明顯的抖振現(xiàn)象，不利用實(shí)際應(yīng)用。

5 結(jié)束語(yǔ)

文章研究了多機(jī)器人的編隊(duì)控制問(wèn)題，基于l-ψ領(lǐng)航者-跟隨者控制結(jié)構(gòu)提出了電驅(qū)動(dòng)非完整移動(dòng)機(jī)器人固定時(shí)間連續(xù)編隊(duì)控制算法。依據(jù)領(lǐng)航者-跟隨者編隊(duì)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)空間模型設(shè)計(jì)的多變量固定時(shí)間編隊(duì)控制，以及在動(dòng)力學(xué)層面，以驅(qū)動(dòng)器電壓作為控制量設(shè)計(jì)的多變量超螺旋固定時(shí)間連續(xù)電壓控制。通過(guò)調(diào)整設(shè)計(jì)常數(shù)參數(shù)，而無(wú)需關(guān)注機(jī)器人初始狀態(tài)就能夠使跟隨者機(jī)器人在固定時(shí)間內(nèi)與領(lǐng)航者機(jī)器人保持期望編隊(duì)，且在克服有界干擾的情況下，實(shí)現(xiàn)了固定時(shí)間內(nèi)對(duì)理想速度的跟蹤。在跟隨者機(jī)器人存在干擾情況下，對(duì)三臺(tái)機(jī)器人組成的三角編隊(duì)以多種初始條件情況跟蹤圓形軌跡進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，并與開(kāi)關(guān)控制的魯棒固定時(shí)間控制算法進(jìn)行了對(duì)比。仿真實(shí)例及分析較好地說(shuō)明了所提算法的有效性及連續(xù)控制消除輸入抖振的優(yōu)越性，從而增加了編隊(duì)機(jī)器人在干擾存在情況下對(duì)達(dá)成編隊(duì)有時(shí)間要求場(chǎng)合的實(shí)用性。對(duì)于機(jī)器人編隊(duì)同時(shí)存在負(fù)載變化、摩擦及外部干擾等多不確定性的情況，將是進(jìn)一步研究的內(nèi)容。