馮曉東，周倩倩，章萬鵬，何 溯，張佳丹，趙容舟

(1.紹興文理學(xué)院 土木工程學(xué)院，浙江 紹興 312000 2.浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310000)

“張拉整體”這一概念由Snelson和Fuller在20世紀(jì)60年代提出，該類結(jié)構(gòu)體系一般是由若干離散的桿元和索元組成，其中桿元受壓，索元受拉.結(jié)構(gòu)中的受拉索元存在著自應(yīng)力，在未受外力作用情況下，該結(jié)構(gòu)可起到自適應(yīng)平衡作用.由于這類智能結(jié)構(gòu)存在著一系列的潛在優(yōu)點(diǎn)，使其自出現(xiàn)以后，“張拉整體”概念便在眾多工程和科學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.在生物力學(xué)領(lǐng)域中研究細(xì)胞骨架力學(xué)特性時(shí)通常運(yùn)用張拉整體模型，并將其視為合適的研究模型.但現(xiàn)有的張拉整體模型并不能夠較好地解決這些幾何和拓?fù)湫螒B(tài)極為復(fù)雜的聚合物纖維結(jié)構(gòu).因此復(fù)雜且非對(duì)稱的張拉整體結(jié)構(gòu)自由形態(tài)設(shè)計(jì)仍需進(jìn)行深入的研究.

近年來，針對(duì)張拉整體結(jié)構(gòu)研究所得的找形方法主要有:以多面體幾何分析為基礎(chǔ)發(fā)展的幾何分析法、力密度法及其他系列關(guān)于張拉整體結(jié)構(gòu)找形的衍生算法[4-5].此外，還有將結(jié)構(gòu)找形問題轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問題的非線性規(guī)劃法；在原有找形基礎(chǔ)上的改進(jìn)力密度法；利用有限單元法確定結(jié)構(gòu)初始形態(tài)[9]；張拉整體結(jié)構(gòu)找形中蟻群算法的應(yīng)用[4]；多自應(yīng)力模態(tài)張拉整體結(jié)構(gòu)的數(shù)值找形方法；基于平衡方程和幾何相容方程的形式解決找形問題[13]等.

現(xiàn)有找形方法大多基于一定的條件假定，其中如以力密度系數(shù)作為符號(hào)變量并需假定各構(gòu)件長(zhǎng)度[14]；通過假定結(jié)構(gòu)對(duì)稱以達(dá)到縮減矩陣簡(jiǎn)化找形步驟的目的[15].由于事先確定結(jié)構(gòu)的初始假定條件存在難度.因此，對(duì)于快速求解復(fù)雜的、非對(duì)稱的張拉整體結(jié)構(gòu)的找形問題仍存在一定的挑戰(zhàn).

本文為解決一類張拉整體結(jié)構(gòu)的找形問題，提出了一種新型數(shù)值分析找形方法.分別采用譜分解和奇異值分解法處理結(jié)構(gòu)體系的平衡矩陣和力密度矩陣.根據(jù)力密度矩陣和平衡矩陣的最小秩虧條件，采用雙向循環(huán)迭代的方式，以相當(dāng)小數(shù)量的迭代即可獲得任意穩(wěn)定態(tài)，求解節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和力密度，即:滿足于切線剛度矩陣為正定矩陣或超穩(wěn)定態(tài).同時(shí)，張拉整體結(jié)構(gòu)自由形態(tài)的幾何剛度矩陣必為正定矩陣.現(xiàn)有的找形方法往往需要假定張拉整體結(jié)構(gòu)的單元長(zhǎng)度、初始節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、力密度矩陣的半正定性或幾何對(duì)稱性等條件，但本文所呈現(xiàn)的方法中，只根據(jù)已有結(jié)構(gòu)的空間維數(shù)、單元類型以及節(jié)點(diǎn)間的幾何拓?fù)潢P(guān)系，就可完成找形，本文較其他找形方法具有明顯的優(yōu)勢(shì).

1 力密度找形法及相應(yīng)的秩虧條件

1.1 基本假定

張拉整體結(jié)構(gòu)找形需要基于以下六條基本假定：

(1)已知結(jié)構(gòu)的幾何拓?fù)溥B接，其形態(tài)由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)表示；

(2)節(jié)點(diǎn)連接均為鉸接；

(3)不考慮任何外力作用；

(4)忽略結(jié)構(gòu)自重.

(5)不考慮任何整體或局部的彎曲變形；

(6)不考慮耗散力對(duì)結(jié)構(gòu)體系的影響.

1.2 張拉整體結(jié)構(gòu)的自平衡方程

對(duì)任意張拉整體結(jié)構(gòu)，關(guān)聯(lián)矩陣CS∈Rb×(n+nf)可用于表示結(jié)構(gòu)的連接關(guān)系.其中,b為單元數(shù)量，d為結(jié)構(gòu)空間維度.根據(jù)節(jié)點(diǎn)的約束情況，可分為自由節(jié)點(diǎn)和固定節(jié)點(diǎn)，分別用n和nf來表示.

基于上述定義，假設(shè)連接單元k兩端的節(jié)點(diǎn)編號(hào)分別為i和j(i

(1)

根據(jù)節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系，CS可分為C和Cf，分別表示自由節(jié)點(diǎn)間和固定節(jié)點(diǎn)間的連接關(guān)系.考慮這兩者在數(shù)字標(biāo)記順序上的優(yōu)先關(guān)系(固定節(jié)點(diǎn)可優(yōu)于自由節(jié)點(diǎn))，故關(guān)聯(lián)矩陣CS可表示為

(2)

對(duì)任意單元可根據(jù)靜力平衡關(guān)系建立如下平衡方程：

(3)

(4)

(5)

式中：x,y,z為節(jié)點(diǎn)在各方向上的坐標(biāo)；t為對(duì)應(yīng)單元內(nèi)力；lk為對(duì)應(yīng)單元長(zhǎng)度；px,py,pz(∈Rn)分別為作用在自由節(jié)點(diǎn)各方向上的外力.

定義上式qk=t/lk(k=1,2…b)為力密度，且矩陣表示為q={q1,q2,…,qb}T∈Rb.故整個(gè)結(jié)構(gòu)體系的力密度矩陣Q∈Rb×b可表示成

Q=diag(q)

(6)

且任意節(jié)點(diǎn)在x,y,z三個(gè)方向上需滿足平衡方程組：

CTQCx+CTQCfxf=px

(7)

CTQCy+CTQCfyf=py

(8)

CTQCz+CTQCfzf=pz

(9)

因?yàn)閺埨w結(jié)構(gòu)本身具備無固定節(jié)點(diǎn)的特征，故在忽略外力和自重的條件下，整個(gè)結(jié)構(gòu)體系可視為一個(gè)空間自由體系，可根據(jù)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)來確定體系的幾何形狀，且有

px=0

(10)

py=0

(11)

pz=0

(12)

選用矩陣E∈Rn×n和Ef∈Rn×nf簡(jiǎn)化公式，

E=CTQC

(13)

Ef=CTQCf

(14)

根據(jù)式可得，矩陣任意列或行元素之和均為0，因此對(duì)任意一個(gè)張拉整體結(jié)構(gòu)而言，矩陣E必然為一個(gè)對(duì)稱的奇異方陣[16]，表示張拉整體結(jié)構(gòu)的力密度矩陣.

方程組(7)～(9)和方程組(10)～(14)可表示為：

Ex=0

(15)

Ey=0

(16)

Ez=0

(17)

繼續(xù)對(duì)方程組～合并與簡(jiǎn)化，得

E[x,y,z]=CTQC[x，y，z]=[0，0，0]

(18)

式中:[x，y，z]為張拉整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)矩陣.

將式(13)代入式(15)～(17)，整合后可得張拉整體結(jié)構(gòu)的自平衡方程：

(19)

式中：A∈Rdn×b為張拉整體結(jié)構(gòu)的平衡矩陣.

1.3 兩個(gè)必要的秩虧條件

由于d維張拉整體結(jié)構(gòu)至少存在一種可行自應(yīng)力且需滿足以下秩虧條件[16]來保證結(jié)構(gòu)自應(yīng)力模態(tài)數(shù)s=b-rA≥1和獨(dú)立機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)m=dn-rA[17]

秩虧條件一，考慮半正定矩陣E，即

nE=n-rE=n-rank(E)≥d+1

(20)

式中：nE為矩陣E的秩虧.

秩虧條件二，考慮平衡矩陣A，即

s=rA=rank(A)

(21)

此外，式(12)為式(10)無解的必要條件.

其中獨(dú)立機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)包含剛體位移模態(tài)數(shù)和無窮小機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)兩部分[18].無窮小機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)mim可由以下式子得到.

mim=m-rb

(22)

(23)

式中：m為獨(dú)立機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)；rb為剛體位移模態(tài)數(shù).

2 基于矩陣分析的找形步驟

本文提出了一種避免事先假定(單元長(zhǎng)度，幾何對(duì)稱性等)的找形方法，但需已知結(jié)構(gòu)的空間維數(shù)、拉壓?jiǎn)卧贾们闆r以及關(guān)聯(lián)矩陣，便能通過算法得到找形結(jié)果[19].

由已知的結(jié)構(gòu)拉壓關(guān)系，如下定義矢量：

(24)

圖1 自由形態(tài)張拉整體結(jié)構(gòu)找形流程圖Fig.1 Process of the proposed form-finding procedure for free-form tensegrity structures

(25)

(26)

2.1 力密度矩陣的特征值分解

將力密度矩陣特征值分解，得

E=ΗΛΗT

(27)

HHT=In

(28)

式中：H∈Rn×n為正交矩陣，hi∈Rn為矩陣E第i列的特征向量基，

Λ∈Rn×n其對(duì)角線上的元素λi為hi對(duì)應(yīng)的特征值；

In∈Rn×n為單位矩陣；

根據(jù)上述分解結(jié)果得，矩陣E的零特征值個(gè)數(shù)與零空間的維數(shù)一致[20].此時(shí)，定義Λ中對(duì)角線元素(特征值)不大于零的個(gè)數(shù)為k，存在以下兩種情況

(29)

(30)

Chi=0

(31)

det|ld(ld)T|=0

(32)

(33)

式中：ld為d維空間中b個(gè)單元的長(zhǎng)度.

當(dāng)矩陣E不滿足式子時(shí)，結(jié)構(gòu)體系則處于非自平衡狀態(tài).在這種狀態(tài)下，整個(gè)迭代過程將迫使矩陣的秩虧增大使其能夠滿足最小秩虧條件，且矩陣E并非定為半正定矩陣.因此需要引入張切線剛度矩陣KT去判別拉整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，其表達(dá)式如下所示

(34)

式中：KE為彈性剛度矩陣；KG為幾何剛度矩陣；e為各單元材料的楊氏模量(矢量)；a為各單元材料的橫截面面積(矢量)；l0為各單元的初始長(zhǎng)度(矢量)；I∈R3×3為單位矩陣；?為張量積.

根據(jù)式子確定忽略剛體位移數(shù)量.當(dāng)切線剛度矩陣處于正定狀態(tài)，則整個(gè)結(jié)構(gòu)體系將是穩(wěn)定的.

dT(KT)d>0

(35)

(36)

式中：rb為式中定義的剛體位移模態(tài)數(shù).

結(jié)合上述兩種情況可知，正交矩陣H前四組特征向量基(分別相應(yīng)于前四個(gè)最小的特征值)中選擇三組可能為張拉整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，再通過循環(huán)迭代的方式，使得特征值逐步遞減為零，使得結(jié)構(gòu)體系最終能夠處于平衡狀態(tài).

(37)

2.2 平衡矩陣的奇異值分解

對(duì)平衡矩陣A奇異值分解可得：

A=UVWT

(38)

(39)

(40)

μ1≥μ2≥…≥μb≥0

(41)

式中：U∈Rdn×dn和W∈Rb×b均為正交矩陣；

V∈Rdn×b為由矩陣A的非負(fù)奇異值組成的對(duì)角矩陣.

在算法計(jì)算流程中，對(duì)于自應(yīng)力模態(tài)數(shù)s可分為兩種情況.

(1)平衡態(tài)(s=1)

通過平衡矩陣的奇異值分解可得到力密度和機(jī)構(gòu)的矢量空間基.因此，矩陣U和矩陣W應(yīng)有如下形式的零空間：

(42)

(43)

式中：m∈Rdn為m個(gè)無窮小機(jī)構(gòu)所組成的量.

定義機(jī)構(gòu)矩陣M∈Rdn×(dn-rA)如下：

(44)

由于s=b-rA=1，式(34)可寫成如下形式：

(45)

若矢量q1與q0符號(hào)相同，即sign(q1)≡sign(q0)，則矢量q1為滿足齊次方程的唯一自應(yīng)力模態(tài).

(2)非平衡態(tài)(s=0)

在結(jié)構(gòu)自應(yīng)力模態(tài)數(shù)為0的情況下，q不存在非零解.此時(shí)，若將矩陣W的右奇異矢量基wb(對(duì)應(yīng)于矩陣V中最小的右奇異值μb)作為近似的q，則矢量q1與q0可能會(huì)存在不同符號(hào).為了解決該問題，必須逐一嘗試矩陣W所有列，找到某個(gè)wj(j=b,b-1,…,1)的所有元素都與q0符號(hào)相同，即sign(wj)≡sign(q0).此時(shí)， 近似的q可用矢量wj直接使用.經(jīng)過上述步驟，所得到的q，使得下式滿足

Aq≈0

(46)

綜上所述，為滿足式(25)和式(26)所述的兩個(gè)秩虧條件，通過式和式的循環(huán)迭代，得到最終的結(jié)構(gòu)形態(tài)及自應(yīng)力.值得注意的是，對(duì)于給定的張拉整體結(jié)構(gòu)，可先判斷結(jié)構(gòu)的自應(yīng)力模態(tài)數(shù)s，若為1，則本方法所求得的力密度系數(shù)矢量q是唯一的.若大于1，則可能存在滿足條件的多種矢量q，而本方法所求得的力密度系數(shù)矢量q則是一種可行解.

2.3 設(shè)計(jì)誤差評(píng)估

鑒于張拉整體結(jié)構(gòu)為自平衡結(jié)構(gòu)體系，故采用不平衡力矢量υf∈Rdn作為評(píng)估計(jì)算結(jié)果精度的指標(biāo)，其定義如下.

υf=Aq

(47)

在各個(gè)方向上不平衡力矢量υf分別表示為：

υx=Ex

(48)

υy=Ey

(49)

υz=Ez

(50)

引入Euclidean范數(shù)，則設(shè)計(jì)誤差κ可以表示為

(51)

文中，控制設(shè)計(jì)誤差κ在10-10以內(nèi).

3 算例

本節(jié)主要是通過一類張拉整體結(jié)構(gòu)數(shù)值算例驗(yàn)證該找形方法的有效程度和適用程度.根據(jù)算例結(jié)果表明，本文所研究的找形方法在應(yīng)用于分析解決穩(wěn)定形態(tài)和超穩(wěn)定形態(tài)下的張拉整體結(jié)構(gòu)時(shí)，非常適用.

3.1 6桿24索張拉整體結(jié)構(gòu)

以空間6桿24索張拉整體結(jié)構(gòu)為例，求解該結(jié)構(gòu)穩(wěn)定狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)形態(tài)及自應(yīng)力.該結(jié)構(gòu)共有30個(gè)單元，12個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)上均連接4根索和1根桿.結(jié)構(gòu)的拓?fù)溥B接及構(gòu)件拉壓關(guān)系如圖2所示.其中編號(hào)25～30為桿單元，其余為索單元.

圖2 6桿24索張拉整體結(jié)構(gòu)拓?fù)溥B接圖Fig.2 Topological connection of tensegrity structure with 6 struts and 24 cables

圖3 無指定節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)下得到的6桿24索張拉整體結(jié)構(gòu)的幾何形態(tài) Fig.3 The obtained geometric configuration of tensegrity structure (6 struts and 24 cables) without specified node coordinates

根據(jù)本論文所研究的找形方法，自動(dòng)分配初始力密度矢量如下：

此結(jié)構(gòu)包含1個(gè)自應(yīng)力模態(tài)和1個(gè)內(nèi)部機(jī)構(gòu)位移模態(tài)，通過乘積力的正定性，以驗(yàn)證此結(jié)構(gòu)體系為靜不定且動(dòng)不定結(jié)構(gòu)，幾何穩(wěn)定.如圖3，展示了本結(jié)構(gòu)在無指定節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)情況下的幾何形態(tài).

指定張拉整體部分節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：(0，0，0)、(0，1，0)、(2，0，0)、(4，3，0)、(3，2，1).根據(jù)本文算法，最終結(jié)構(gòu)經(jīng)12次迭代后收斂，找到滿足限定條件下的張拉整體結(jié)構(gòu)如圖4，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)見表1，并在表2中列出此結(jié)構(gòu)歸一化后的可行自應(yīng)力.

圖4 找形得到的6桿24索張拉整體結(jié)構(gòu)(狀態(tài)1)Fig.4 The obtained tensegrity structure with 6 struts and 24 cables (configuration 1)

表1 圖4所示結(jié)構(gòu)的各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

在相同的初始條件下，僅僅改變部分指定節(jié)點(diǎn)，具體更改如下(1)( 0，0，0)、(3)( 5，0，-1)、(6)( 0，3，0)、(9)( 2，2，5)、(12)( 6，2，1).同樣以圖1中的計(jì)算流程對(duì)新節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)下的張拉整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行找形計(jì)算.最終得到的張拉整體結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螒B(tài)如圖5所示，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)與構(gòu)件自應(yīng)力如表3和表4所示.

表2 圖4所示結(jié)構(gòu)各構(gòu)件的自應(yīng)力

圖5 找形得到的6桿24索張拉整體結(jié)構(gòu)(狀態(tài)2)Fig.5 The obtained tensegrity structure with 6 struts and 24 cables (configuration 2)

表3 圖5所示結(jié)構(gòu)的各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

三維6桿24索張拉整體結(jié)構(gòu)在有無事先指定節(jié)點(diǎn)的兩種情況條件下得到的找形結(jié)果表明，該算法在無指定節(jié)點(diǎn)情況下，找形結(jié)果可接近于經(jīng)典擴(kuò)展八面體張拉整體，構(gòu)件受力也較為均勻.而在指定部分節(jié)點(diǎn)情況下，仍可找到一種穩(wěn)定的張拉整體結(jié)構(gòu)形態(tài).兩者找形結(jié)果不同是由于自應(yīng)力模態(tài)數(shù)為1的張拉整體結(jié)構(gòu)形態(tài)與結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.即指定節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)找形結(jié)果定會(huì)出現(xiàn)特定的張拉整體結(jié)構(gòu)與其對(duì)應(yīng)[23].

表4 圖5所示結(jié)構(gòu)各構(gòu)件的自應(yīng)力

4 張拉整體結(jié)構(gòu)模型制作

在現(xiàn)有成果中，對(duì)結(jié)構(gòu)找形的研究基本處于數(shù)值計(jì)算階段，制作實(shí)際模型并進(jìn)行驗(yàn)證的研究相對(duì)較少.本節(jié)將基于算例中的找形結(jié)果，制作三維六桿24索張拉整體結(jié)構(gòu)，并將所得模型與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較.同時(shí)，嘗試改變初始模型的節(jié)點(diǎn)位置，比較改變前后模型的狀態(tài).結(jié)合模型制作期間存在的技術(shù)問題，對(duì)結(jié)果進(jìn)行初步分析總結(jié).

4.1 模型制作過程

此模型含有6個(gè)桿單元，24個(gè)索單元，12個(gè)節(jié)點(diǎn).根據(jù)算例的找形結(jié)果，其拉索單元的力密度、長(zhǎng)度及內(nèi)力均相等.由此確定結(jié)構(gòu)單元尺寸：桿單元受壓，選擇長(zhǎng)度為0.5 m，直徑為10 mm的PVC管；索單元受拉，選擇長(zhǎng)度為0.7 m的棉絞線.對(duì)結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型進(jìn)行力學(xué)模型簡(jiǎn)化，完成初始模型制作，具體流程如下：

(1)首先剪裁六段長(zhǎng)度為0.5 m的PVC管，在每段PVC管兩端，用鉛筆畫出深15 mm、寬3 mm且位于同一直徑方向上的黑實(shí)線，再使用鋼鋸、刻刀、剪刀等工具分別在PVC管兩端，沿黑實(shí)線刻出凹槽，并進(jìn)行適當(dāng)打磨使其光滑.

(2)裁剪六段長(zhǎng)度為0.7 m的棉絞線，并在每段棉絞線中點(diǎn)處用黑色簽字筆做上記號(hào).以棉絞線中點(diǎn)為基準(zhǔn)，卡入PVC管一端的凹槽中，將棉線兩端拉直至另一端凹槽，每邊預(yù)留長(zhǎng)度為5 mm，并使用膠帶進(jìn)行固定，如圖6所示.

(3)用上述方法制作完成六組桿件，完成準(zhǔn)備工作，采用臨時(shí)支撐將6根壓桿進(jìn)行臨時(shí)固定.同時(shí)，為方便穿索過程,任意選取兩根壓桿采用彈性固定.

(4)將各個(gè)桿端按照x，y，z的坐標(biāo)方向順序依次進(jìn)行連接，模型具備初步形態(tài)時(shí)，調(diào)整每個(gè)索段位置并拉緊棉線，以對(duì)6桿24索張拉整體結(jié)構(gòu)模型施加一定的力.在結(jié)構(gòu)模型具有一定剛度時(shí)，拆除臨時(shí)支撐裝置.

圖6 安裝桿件的前期準(zhǔn)備Fig.6 Preparation for installation of members

圖7 張拉成型后的六桿張拉整體結(jié)構(gòu)Fig.7 The formed configuration of tensegrity structure with 6 struts

自應(yīng)力的產(chǎn)生機(jī)理：通過對(duì)索單元施加預(yù)應(yīng)力，使索拉伸改變節(jié)點(diǎn)坐標(biāo).同時(shí)導(dǎo)致其他構(gòu)件單元的產(chǎn)生拉伸或者壓縮，進(jìn)而達(dá)到施加預(yù)應(yīng)力的效果.在施加過程中，若索單元受壓則會(huì)松弛.因此，在對(duì)索單元拉伸時(shí)，需要保證其他索單元仍處于受拉緊繃的狀態(tài).基于此原則及自應(yīng)力的產(chǎn)生機(jī)理，按上述制作方法后調(diào)試不同的索單元，最終可得到6桿24索張拉整體結(jié)構(gòu)模型，如圖7所示.

4.2 不同約束條件下的結(jié)構(gòu)形態(tài)分析

基于圖7所示初始模型，對(duì)上述制作流程進(jìn)行調(diào)整.即在第3步和第4步進(jìn)行自動(dòng)構(gòu)型時(shí)，任意選取五個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)其固定，通過調(diào)節(jié)其他剩余索桿單元，使其在調(diào)整后仍能保持為自穩(wěn)定狀態(tài)，并觀察模型在此時(shí)的結(jié)構(gòu)形態(tài).

經(jīng)過初步實(shí)驗(yàn)，總結(jié)出下述規(guī)律：

(1)當(dāng)束的節(jié)點(diǎn)包含兩根平行桿段時(shí)，穩(wěn)定后各節(jié)點(diǎn)沿桿段方向的位移變化較大，整體形態(tài)較初始構(gòu)型呈壓縮或拉伸狀態(tài).

(2)當(dāng)約束的節(jié)點(diǎn)在空間內(nèi)相對(duì)分散時(shí)，穩(wěn)定后大部分節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)相對(duì)情況(1)較小，但個(gè)別節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)較大，整體呈現(xiàn)不規(guī)則狀.

4.3 原因分析與存在問題

對(duì)比理論解，結(jié)合制作過程中遇到的技術(shù)障礙，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行初步的分析和總結(jié)，并提出下一階段可深入進(jìn)行研究的內(nèi)容，具體如下：

(1)對(duì)于初始結(jié)構(gòu)，其形態(tài)在桿件位置和棉線的張拉狀態(tài)進(jìn)行略微調(diào)整后，與理論結(jié)果較為接近.誤差主要來源考慮是實(shí)驗(yàn)材料，工具以及制作流程存在一定缺陷.具體包括：剪裁處的光滑度和水平度不易保證；桿件兩端凹槽的方向存在一定偏角；棉絞線的質(zhì)量參差不一，力學(xué)性能指標(biāo)無法得到準(zhǔn)確保證；棉線的拉伸過程只能在多次嘗試后憑借經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行，沒有合適的定量工具進(jìn)行控制.

(2)對(duì)于存在約束的結(jié)構(gòu)，不同的約束條件會(huì)產(chǎn)生不同結(jié)果，與理論結(jié)果也存在一定差異，主要差異考慮在對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行固定時(shí)，位置定位不夠精準(zhǔn).對(duì)于第一種情況，由于固定節(jié)點(diǎn)包含兩根同方向桿段，固定位置相對(duì)容易且準(zhǔn)確，最終形態(tài)與理論結(jié)果較為接近.第二種情況由于涉及固定的桿段數(shù)量較多，節(jié)點(diǎn)位置的控制相對(duì)繁瑣，易發(fā)生偏移，最終結(jié)果的成型率相對(duì)較低，規(guī)律性不夠明顯.

5 結(jié)論

在傳統(tǒng)張拉整體結(jié)構(gòu)找形方法的研究基礎(chǔ)上,運(yùn)用矩陣分析理論和結(jié)構(gòu)幾何拓?fù)淅碚?，綜合考慮該類結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)剛度、穩(wěn)定性、設(shè)計(jì)誤差和幾何拓?fù)涞戎T多因素，提出了一種同時(shí)適用于自由形態(tài)和指定形態(tài)的張拉整體結(jié)構(gòu)的找形方法.在此基礎(chǔ)上，通過制作空間六桿張拉整體結(jié)構(gòu)模型，證實(shí)了該找形方法的準(zhǔn)確性和有效性.

(1)本文的找形方法迭代次數(shù)少，精度高，既能夠較為迅速準(zhǔn)確地尋找到滿足既定要求的張拉整體結(jié)構(gòu)的幾何形態(tài)和自應(yīng)力，同時(shí)也極大地縮短了找形的周期.

(2)通過固定與釋放節(jié)點(diǎn)，以六桿二十四索空間張拉整體結(jié)構(gòu)為算例，對(duì)其自由形態(tài)和指定形態(tài)進(jìn)行搜尋，證實(shí)該算法可有效尋找到滿足設(shè)計(jì)要求的張拉整體結(jié)構(gòu)的初始形態(tài).

(3)基于找形結(jié)論，利用棉絞線模擬拉索，PVC管模擬壓桿，制作空間六桿張拉整體結(jié)構(gòu)模型，證實(shí)了該找形方法的可靠性與合理性.