張慧　常文武

摘要：無論從訓練學生邏輯思維的角度，還是從數學史進課堂的角度看，“2是無理數的證明”都是非常好的選題。但是，教材提供的代數證法，學生很難接受和理解。對此，教學設計嘗試采用幾何證法，并以一個寓言故事為引子，同時融入折紙活動。

關鍵詞：無理數;幾何證法;折紙;教學設計

一、問題提出

初中生大概都會經歷兩個經典的數學證明，其中一個是勾股定理的證明，另一個是√2是無理數的證明。勾股定理（西方稱之為畢達哥拉斯定理）無須贅言，是初中幾何的基礎。其證明學生必須掌握。而√2的無理性最早是畢達哥拉斯的弟子希帕索斯發(fā)現的，它是一個代數命題，引發(fā)了一次重大的數學危機。其證明是選學內容（現行各版本的初中數學教材均將其代數證法作為拓展閱讀材料），教師通常略過不講，而讓學生自己閱讀理解。

筆者認為，無論從訓練學生邏輯思維的角度，還是從數學史進課堂的角度看，“√2是無理數的證明”都是非常好的選題。那么，對于教材提供的方法，學生的理解和掌握情況如何呢？下面是筆者與某位數學“資優(yōu)生”的對話——

師 你了解√2是無理數嗎？

生 了解。

師 知道怎么證明嗎？

生 學過，讓我想想。

（學生沉思。）

師 能不能寫下來。

生 （寫）設√2=q/p，則2=q²/p²，2p²=q²……

（學生出現卡頓。）

師 q/p是什么樣的分數？

生 約過分的最簡分數。

師 那么，p和q怎么樣？

（學生遲疑。）

師 沒有公因數哦。接下來怎么辦？

（學生遲疑。）

師 可見右邊是偶數。

生 對對對，q是偶數。再設q=2k……后面忘了。

師 你嘗試把q=2k代入上式看看。

生 哦，可得p²=2k²，然后呢？

師 由此發(fā)現p的奇偶性是什么？

……

可見，對于教材提供的方法，學生刻意模仿都很困難。其實，對初中生而言，證明本來就比較陌生，反證法則更加陌生。如果刻板地教或讓學生看教材上的證明，只會讓學生畏懼證明。所以，我們嘗試給出一種新的證明方法及教學設計，幫助學生理解這個命題及其證明。

二、教學設計

我們嘗試采用幾何方法來證明這個命題，并以一個寓言故事為引子。教學主要包含如下幾個步驟：

（一）故事導引

根據“龜兔賽跑”的故事，創(chuàng)設“龜兔同行”的問題情境：

一只烏龜和一只兔子，它們是好朋友。烏龜和兔子，一個爬著行，一個立著跳。如圖1，烏龜爬一個身子的距離（每個身段之間無足跡）是某等腰直角三角形的斜邊，兔子跳一下的跨度是該等腰直角三角形的直角邊。請問：如果它們一開始齊頭并進地去散步，并一直這樣走下去，它們的足跡會在某處再次重疊嗎？

這個問題情境化沿用了龜兔賽跑的寓言，便于學生形象直觀地理解問題。而且，暗合了當初希帕索斯發(fā)現√2的問題原型：兔子跳一下的跨度就是正方形的邊長，烏龜的身長就是相應正方形的對角線長。

（二）結論數學化

通過該問題的解決，得出結論：無論用多么精細的尺子的一格當1，量出的等腰直角△ABC的斜邊AB與直角邊BC的長度不可能都是整數。

（三）結論證明

運用反證法，具體如下：

如圖2，作等腰直角△ABC斜邊AB上的高CD，并且繼續(xù)作由高分割得到的一個小等腰直角三角形斜邊上的高DE、EF……我們可以得到一系列旋轉變小的等腰直角三角形。顯然，這個過程可以無限地進行下去。

現在假設在規(guī)定了非常細小的單位長度（例如原子的直徑）后，用這把非常精細的尺子度量AB與BC，發(fā)現它們都是整數。我們開始推演：

由勾股定理，AC²+BC²=AB²，即2BC²=AB²。

由BC是整數知2BC2是偶數，得AB2也是偶數，得AB是偶數（奇數的平方為奇數，偶數的平方為偶數），從而AB的一半，即高CD也為整數。

在等腰直角△BCD中，斜邊BC和直角邊CD同為整數，同理，又能推得高DE為整數。

如此這般，一連串的高EF、FG、GH、HI……都將是整數。

這些高顯然是一串無限、不斷遞減的數。它們永遠保持是整數，可能嗎？

這是不可能的，因為無論一開始的斜邊AB長多么大，其對應的高CD已經減半，而CD上的高EF又將減半……再大的數不停地對半折損，最終一定會小于1。

所以，問題就出在一開始的假設不合理。于是，我們就得承認任何等腰直角三角形的斜邊、直角邊的長度都不能同時為整數。

（四）問題解決

設兔子跳一下的跨度，即某等腰直角三角形直角邊的長度為1，則烏龜的身長，即該等腰直角三角形斜邊的長度為√2。

假如烏龜和兔子的足跡在某處再次重疊，就意味著烏龜身長的m倍等于兔子跳了n下的跨度，即m√2=n，兩邊平方得2m²=n²，根據勾股定理的逆定理可知，以整數m當直角邊長，整數n當斜邊長，可構成一個等腰直角三角形。

這就與前面我們證明過的結論矛盾了。所以，烏龜和兔子無論走多遠，足跡都不會在某處再次重疊。

三、學具使用

在上述證明中，得到圖2，除了直接畫圖之外，還可以使用學具：2n（n為整數且大于等于2）個同樣大小的等腰直角三角形拼成大的等腰直角三角形。而每一個等腰直角三角形都可以通過折紙得到，具體方法如圖3所示。

四、教學反思

幾何方法讓學生對抽象的“2是無理數”有了直觀、清晰的理解，寓言故事拉近了數學與生活的距離，折紙活動使得數學更平易近人。

數學證明教學的本意是培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，但是過分注重形式的嚴密往往讓證明變得枯燥和晦澀。犧牲一些表達的簡潔但不失去邏輯的嚴密，往往能讓數學證明變得易于接受，也不違背數學證明教學的初衷。

實踐表明，數學史與數學文化內容以及動手做活動在精心的安排下可以進入尋常的課堂，成為潤物無聲的教學素材和新穎的教學手段。