匡金龍

摘要：數(shù)學實驗將“做”“學”“思”合一，引導學生進行身心一體的具身認知，具有很好的直觀性和探索性，對學生的數(shù)學理解有積極的促進作用。小學數(shù)學教學中，教師應積極開發(fā)和實施數(shù)學實驗。具體途徑有：對接“生活”與“數(shù)學”，促進概念的理解;統(tǒng)一“形式”與“本質(zhì)”，促進規(guī)律的理解;聯(lián)結“符號”與“操作”，促進計算法則與數(shù)量關系等的理解。

關鍵詞：數(shù)學實驗數(shù)學理解 數(shù)學概念數(shù)學規(guī)律數(shù)形結合

實踐表明，數(shù)學學習方式的不同決定了數(shù)學理解水平的不同。數(shù)學實驗是為了獲得或解決某個數(shù)學概念、規(guī)律（法則、關系）或問題，借助外在的物質(zhì)和操作手段，進行數(shù)學探索的學習方式。數(shù)學實驗將“做”“學”“思”合一，引導學生進行身心一體的具身認知，具有很好的直觀性和探索性，對學生的數(shù)學理解有積極的促進作用。小學數(shù)學教學中，教師應依據(jù)教材，結合學生實際，積極開發(fā)和實施數(shù)學實驗，有效促進學生的數(shù)學理解。具體途徑如下：

一、對接“生活”與“數(shù)學”，促進概念的理解

小學數(shù)學中的絕大多數(shù)概念源于生活。學生在日常生活中形成的“自然概念”是習得數(shù)學概念的經(jīng)驗基礎，能促進數(shù)學概念的理解;但有時也會受到經(jīng)驗的局限，反過來阻礙數(shù)學概念的理解。數(shù)學實驗中的操作對象往往是半抽象的實物或抽象的模型，能以簡單、直觀的方式，幫助學生跨越數(shù)學化理解的障礙，排除一些非本質(zhì)因素的干擾，充分理解數(shù)學概念。教師應該利用學生“自然概念”中的有效成分，巧妙地將“生活”與“數(shù)學”對接，開展數(shù)學實驗教學，幫助學生克服思維定式，深刻理解數(shù)學概念。

例如，“認識三角形的高”是教學的難點：學生習慣上會將“生活經(jīng)驗”和“數(shù)學概念”等同起來，把對身高的理解簡單遷移至三角形的高，導致出現(xiàn)認識上的偏差。事實上，生活中物體的高與數(shù)學中圖形的高雖然有著共同的本質(zhì)特征——都指物體或圖形底部到頂端的距離，但其抽象程度不同——生活中人、樹等物體都有顯著的現(xiàn)實背景，其高也就有特定的指向性，不會隨著物體位置的變化而變化;而數(shù)學中三角形等圖形是通過舍棄物體外在的非本質(zhì)因素，抽取其形的共同點而得到的數(shù)學化產(chǎn)物，其高也就具有相對性，即將任意一邊水平擺放都能找到對應的高。以身高推想三角形的高，學生難免會陷入“以偏概全”的泥沼。

基于以上認識，筆者通過數(shù)學實驗幫助學生克服思維定式，深刻理解三角形的高。教學設計如下：

1.喚醒：你的身高是多少？怎么測量得到的？

2.猜想：三角形有高嗎？你認為三角形的高在哪兒？

3.實驗：到底是不是你們想的那樣？我們一起來找找三角形的高。

（1）正位找高：把三角形最長的一條邊水平擺放，找高。引導學生通過對比，明確高是“最高點（頂點）到對邊的垂直距離”。

（2）換位找高：將三角形其他兩條邊分別水平擺放，找高。引導學生說出找高的方法，進而得出三角形的高就是“從頂點到對邊垂直線段的長度”。

4.質(zhì)疑：三角形的高有幾條？和你一開始想的一樣嗎？

5.抽象：什么是三角形的高？（三角形任意一個頂點到對邊的垂直線段都是三角形的高，三角形每一條邊都有對應的高。）

……

當學生借助身高片面理解三角形的高時，教師利用實驗，抓取生活經(jīng)驗中的有效成分（對高的本質(zhì)認識），讓學生自行修正和調(diào)節(jié)原有的認知，從而正確建構三角形的高的意義。

二、統(tǒng)一“形式”與“本質(zhì)”，促進規(guī)律的理解

數(shù)學規(guī)律是同一類數(shù)學現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)系，是數(shù)學知識的主要表現(xiàn)形式。規(guī)律教學不僅要探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的外在形式，更要洞察規(guī)律的內(nèi)在本質(zhì)，從而獲得對規(guī)律一般的、普遍的理解。實踐表明，只關注規(guī)律外在形式的表達，而忽略規(guī)律內(nèi)在意義的理解，是無法使規(guī)律扎根于學生的心中，成為指導解決問題的重要工具和手段的。規(guī)律教學中，教師可以設計適當?shù)臄?shù)學實驗活動，引導學生從規(guī)律形式深入到規(guī)律本質(zhì)，實現(xiàn)外在“規(guī)律表達”與內(nèi)在“規(guī)律理解”的統(tǒng)一。

例如，學習“分數(shù)的基本性質(zhì)”前，學生已經(jīng)初步認識了分數(shù)的意義和大小等，能結合具體情境用不同的分數(shù)表示同一對象的大小。基于原有的經(jīng)驗，結合對一定數(shù)量實例的感知，學生能輕而易舉地找到相等的分數(shù)中分子、分母的變化規(guī)律。教學中，教師要引導學生深入探究規(guī)律產(chǎn)生的本質(zhì)原因，促進學生對規(guī)律的理解。

為引導學生將規(guī)律納入已有的認知結構，可以設計這樣的數(shù)學實驗——

1.提問：（出示圖1）陰影部分可用哪個分數(shù)表示？引導學生得到大小相同但分子、分母不同的分數(shù)，初步感知分的份數(shù)和取的份數(shù)之間的同變關系。

2.實驗：（出示圖2）你能畫圖找出和25相等的分數(shù)嗎？不畫圖呢？試一試。

3.交流：你是怎么找到和25相等的分數(shù)的？引導學生總結方法：（1）將圖中的每一份都再等分成幾小份;（2）將分數(shù)的分子、分母同時乘相同的數(shù)。

4.溝通：這兩種方法之間有什么關系？為什么？引導學生總結：將圖中的每一份都再等分成幾小份，就相當于將分數(shù)的分子、分母同時乘相同的數(shù);因為分數(shù)的意義就是將單位“1”平均分成一定的份數(shù)，再取一定的份數(shù)，分母就是分的份數(shù)，分子就是取的份數(shù)。

……

這里，教師設計“畫圖找出和25相等的分數(shù)”的實驗活動，引導學生發(fā)現(xiàn)分的份數(shù)、取的份數(shù)和分子、分母同變規(guī)律之間的內(nèi)在關聯(lián)，將分數(shù)的基本性質(zhì)與分數(shù)的意義聯(lián)系起來，使找規(guī)律的過程變成基于原理創(chuàng)造規(guī)律的過程。

三、聯(lián)結“符號”與“操作”，促進計算法則與數(shù)量關系等的理解

很多數(shù)學對象有著數(shù)（對應“符號”）和形（蘊含“操作”）兩種表征方式。不同表征方式之間的轉換和聯(lián)結，能有效促進學生對數(shù)學對象的理解。尤其是將抽象、靜態(tài)的“符號”表征轉化為直觀、動態(tài)的“操作”表征，非常有利于以形象思維為主的小學生理解比較抽象的計算法則、數(shù)量關系等。因此，小學數(shù)學教學中，教師要通過適當?shù)臄?shù)學實驗活動，引導學生進行代數(shù)表征和幾何表征之間的轉化，實現(xiàn)“符號”與“操作”的聯(lián)結，加深學生對較為抽象的內(nèi)容的理解。

例如，教學“小數(shù)乘小數(shù)”時，教師通常引導學生根據(jù)積的變化規(guī)律或單位轉化方法（作為算理），基于整數(shù)乘整數(shù)的算法得到小數(shù)乘小數(shù)的算法（關鍵是確定積的小數(shù)點的位置）。但是，這兩種方法都比較抽象，學生理解起來有一定的困難。對此，可以根據(jù)乘法的幾何意義，設計適當?shù)臄?shù)學實驗，引導學生通過畫圖，基于整數(shù)乘整數(shù)的算法得到小數(shù)乘小數(shù)的算法，并強化對積的變化規(guī)律的理解。教學設計如下：

1.問題：在一個長6米、寬4米的長方形教室內(nèi)擺放課桌，每張課桌長0.6米、寬0.4米，每張課桌的面積是多少平方米？引導學生列出算式0.6×0.4，并嘗試計算。

2.啟發(fā)：能不能用畫圖的方式探求計算結果？

3.實驗：先畫一個長6米、寬4米的長方形（表示教室），再在其中畫一個長0.6米、寬0.4米的長方形（表示課桌），如圖3。

4.啟發(fā)：大長方形和小長方形有什么關系？小長方形的面積是多少？

5.結論：6÷10=0.6，4÷10=0.4，10×10=100，大長方形里面有100個小長方形;6×4=24，24÷100=0.24，小長方形的面積是0.24平方米。

6.引導：這樣的算法還可以用什么規(guī)律來

概括？

7.結論：積的變化規(guī)律。

再如，教學“求比一個數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)是多少”的問題時，學生理解“一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）幾分之幾”的關系時存在困難。有經(jīng)驗的教師會引導學生把這樣簡略的關系句細化，比如：“黃彩帶比紅彩帶長14”的意思是“黃彩帶比紅彩帶長的部分是紅彩帶的14”。這對學生的理解有幫助。但是，這樣的表達還是很抽象。而且，學生也很難通過這樣的方式理解比較關系相反的兩個等價的關系句，如“黃彩帶比紅彩帶長14”相當于“紅彩帶比黃彩帶短15”。對此，可以引入適當?shù)臄?shù)學實驗：

出示方格背景圖中的紅、黃2根彩帶（見圖4，其中深色為紅色，淺色為黃色），讓學生觀察思考黃彩帶比紅彩帶長幾分之幾、紅彩帶比黃彩帶短幾分之幾，進而對比思考，同樣是紅、黃兩根彩帶相比，為什么得到的分數(shù)不一樣（標準不同）。然后，可以給出具體數(shù)據(jù)，讓學生進行計算。這樣，學生便由“信息接收者”變?yōu)椤耙饬x建構者”，真正理解了“一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）幾分之幾”的關系，能根據(jù)解題的需要在“詳細表達”和“簡略表達”之間自由切換。