王彩華,杜金月,張靜

(天津師范大學數(shù)學科學學院,天津300387)

1.引言

界點集Γ=Γh={x0,xN}.記結(jié)點集對應的下標集ω={i|i=1,2,··· ,N?1},γ={0,N},.

本文中u(x0),u(x1),··· ,u(xN)為方程(1.1)在剖分結(jié)點處的精確值,簡寫為u0,u1,··· ,uN.U0,U1,··· ,UN為數(shù)值方法在結(jié)點處的近似值.A(xi)簡記為Ai,記Pe(x) =A(x)h/ε,Pei=.

因本文在數(shù)值實驗部分選取了多種差分格式進行了綜合數(shù)值比對,這里先將相關參考文獻中的差分格式(簡記為FD1,FD2,...,FD7)及實驗結(jié)果簡介如下.

基于模型方程(1.1),文[3]首先給出一種差分格式FD1,該格式具有二階精度和無條件穩(wěn)定收斂性,能夠突破中心差分格式μ ≤2的限制,實驗表明此格式適合數(shù)值求解參數(shù)ε較大的對流擴散問題,但當ε減小時FD1 數(shù)值精度下降.根據(jù)對流擴散過程的迎風效應,文[3]繼續(xù)將FD1修改成具有二階精度、無條件收斂的差分格式FD2;進一步地,文[3]在FD2基礎上通過攝動處理,建立了具有四階精度的差分格式FD3.實驗表明差分格式FD2,FD3適合求解ε較小的問題,但當網(wǎng)格過密部分結(jié)點位于邊界層附近時數(shù)值解精度變差.

Dennis等人提出了四階差分格式FD4[4],但數(shù)值實驗表明僅當ε較大時數(shù)值精度較好.陳國謙在二階指數(shù)型的Il’in[6]格式基礎上,通過對系數(shù)進行二階攝動修正,得到新的差分格式FD5[5],此差分格式具有四階精度,針對無源對流擴散問題數(shù)值計算效果較好.但文[7]指出FD5求解含源問題時數(shù)值精度下降.

文[7]通過對微分方程系數(shù)常數(shù)化處理與余項修正的思想,給出變系數(shù)的對流擴散方程的四階指數(shù)型差分格式FD6[7],FD6與FD5針對無源問題數(shù)值計算效果相當,FD6亦適宜于求解含源問題.

文[8]給出具有四階精度的FOC差分格式,但此格式色散誤差和耗散誤差較大.基于截斷誤差余項修正思想,文[9]在FOC基礎上給出一種有理型的四階緊致差分格式FD7[9],實驗結(jié)果表明該差分格式在ε較大時計算效果較好,卻不適應小參數(shù)問題.

綜上可見,有些參考文獻所給出的差分格式適合求解參數(shù)ε較大時的對流擴散問題,而有些格式適合求解參數(shù)ε較小時的問題.本文考慮能否在設計差分格式時即可根據(jù)ε的大小靈活選擇合適的差分格式,且數(shù)值計算精度更高,為此設計了兩類差分格式: 一類是橫向系列差分格式,適用于求解ε較大時的對流擴散問題,通過修正方法可使得該系列格式達到二階、四階、六階、八階數(shù)值精度,且第5節(jié)實驗表明當參數(shù)較大時本文的高階差分格式數(shù)值精度優(yōu)于各種參考差分格式;另一類是縱向系列格式,適用于求解ε較小時的對流擴散問題,實驗表明隨著參數(shù)ε的減小,橫向系列格式數(shù)值計算精度逐漸變差,而縱向系列格式數(shù)值精度逐漸提高,且亦優(yōu)于參考格式.

本文將橫向系列修正差分格式簡記為HDS1(同中心差分格式CDS),HDS2,HDS3,HDS4等(HDS:Horizontal Difference Scheme);將縱向修正的系列差分格式簡記為VDS1(同Il’in格式),VDS2,VDS3等(VDS: Vertical Difference Scheme).

2.橫向與縱向系列修正差分格式的設計思路

設函數(shù)u(x)充分光滑,當i=1,2,··· ,N?1時,將ui+1、ui?1在點xi處進行Taylor展開

如設

顯然q1(x)=1.對上式兩邊求導,有

得到遞推公式

依據(jù)上面遞推公式,可列出u(x)的高階導數(shù)降階組式如下

橫向系列差分格式的設計思路: 當ε較大時(例如為1時),將上面降階組式(2.6)代入泰勒展式(2.1),(2.2),可見,(2.1),(2.2)中h冪次保留幾項將對數(shù)值精度影響較大.如式(2.1),(2.2) 只保留到u′′(x)項,且將組式(2.6) 的的表達式代入到式(2.1),(2.2),兩式聯(lián)立消去u′(x)即可得到二階差分格式HDS1(同經(jīng)典的中心差分格式CDS);在HDS1基礎上繼續(xù)修正,(2.1),(2.2)保留到u(3)(x),u(4)(x),組式(2.6)相應的降階式子代入式(2.1),(2.2),消去u′(x),則得到四階差分格式HDS2;繼續(xù)修正,展式(2.1),(2.2)保留到u(5)(x),u(6)(x) 可得到六階差分格式HDS3;展式(2.1),(2.2)保留到u(7)(x),u(8)(x),可得到八階差分格式HDS4.這一過程可以繼續(xù)下去,本文僅詳細給出了HDS1-HDS4的差分格式.

縱向系列差分格式是在文[13]基礎上的改進,設計思路為: 當ε較小時(ε <<1),由降階組式(2.6)可見ε的負指數(shù)冪次如何保留對數(shù)值格式精度影響遠超過h的作用,此時上面的橫向差分格式設計不適宜求解小參數(shù)問題,本文設計了縱向差分格式.如組式(2.6) 僅保留縱向第一列關于1/ε指數(shù)冪次最大的項,舍去其他項,將其代入(2.1),(2.2),得到的關于u′(x) 的系數(shù)是收斂級數(shù),聯(lián)立(2.1),(2.2)消去u′(x)即得到的縱向差分格式VDS1(同Il’in格式);在VDS1 基礎上繼續(xù)修正,保留1/ε指數(shù)冪次下一項即次大的項,整理可得差分格式VDS2;同理進一步修正可得VDS3.這一過程可以繼續(xù)下去,本文僅給出了VDS1-VDS3 的差分格式.在縱向系列差分格式設計中,組式(2.6)中因為對u′′(x),u(3)(x)...都取了部分項作為近似代入(2.1),(2.2）,這與常見差分格式構(gòu)造思路不同，不能也不必進行關于h的截斷誤差分析.

接下來具體給出橫向系列差分格式與縱向系列差分格式.

3.橫向系列修正差分格式

為簡便記u(k)(xi)為u(k)i,聯(lián)立式(2.1)和(2.2),且由降階組式(2.6)可知,當i=1,2,··· ,N?1時

其中

其中ξi7,ξi8∈(xi?1,xi+1).

同前面格式推導過程一樣地,整理式(3.31)可得

4.縱向系列修正差分格式

由式(2.1),(2.2)及組式(2.6)得

此格式記為VDS2.

Ⅲ縱向差分格式VDS3

觀察組式(2.6)中qk(k=1,2,···),在VDS2基礎上,如保留分母中關于ε相同冪次的第三列和第四列,即保留qk的前四列,其通項分別為

5.數(shù)值實驗

例5.1對流擴散問題{

精確解

圖5.1 參數(shù)不同時算例5.1的精確解圖

圖5.1繪制了該問題精確解圖像,可見當參數(shù)ε很小時,解出現(xiàn)右邊界層.

記Eh表示步長為h的最大誤差,收斂率以下表格中xEm表示xm.

從下表5.1可見,當ε=1時不同數(shù)值方法其數(shù)值精度從低到高約可排序為: FD1,FD2,FD4,VDS1,VDS2,CDS,FD3,FD6,VDS3,FD5,HDS2,FD7,HDS3,HDS4.橫向修正的差分格式的數(shù)值結(jié)果是最好的.因為計算機雙精度數(shù)機器精度約為10?16,數(shù)值結(jié)果的誤差越小時受到舍入誤差影響越大,造成收斂率與理論分析不完全一致.因本文縱向系列修正差分格式是針對ε較小時設計的格式,數(shù)值結(jié)果也驗證了橫向修正差分格式更適宜求解ε較大時的問題.

表5.1 算例5.1,當ε=1 時最大絕對誤差及收斂階比較

當參數(shù)ε=0.01時,表5.2中數(shù)值方法的精度從低到高約為: FD1,CDS,FD2,VDS1,FD3,FD7,HDS2,FD4,VDS2,FD6,FD5,HDS3,HDS4,VDS3.但與表5.1比較,隨著參數(shù)ε的減小,橫向差分格式的計算精度逐漸下降,而縱向差分格式計算精度逐漸提高,且此時本文的HDS3,HDS4,VDS3格式計算精度優(yōu)于文獻的七種參考格式.各種差分格式的計算收斂階與理論分析基本吻合.

表5.2 算例5.1,當ε=0.01 最大絕對誤差及收斂階比較

FD7 8.66E-02 1.55E-03 5.89E-05 3.23E-06 1.94E-07 1.20E-08 rate * 5.80 4.72 4.19 4.06 4.01 CDS 8.55E-02 1.95E-02 4.64E-03 1.16E-03 2.90E-04 7.24E-05 rate * 2.14 2.07 2.00 2.00 2.00 HDS2 1.09E-02 7.58E-04 4.81E-05 3.06E-06 1.91E-07 1.20E-08 rate * 3.85 3.98 3.97 4.00 4.00 HDS3 7.45E-04 1.34E-05 2.12E-07 3.38E-09 5.25E-11 1.01E-12 rate * 5.80 5.98 5.97 6.00 5.70 HDS4 2.99E-05 1.35E-07 5.35E-10 2.23E-12 2.98E-13 1.30E-12 rate * 7.79 7.98 7.90 2.90 -2.13 VDS1 6.43E-04 1.80E-04 4.61E-05 1.17E-05 2.92E-06 7.31E-07 VDS2 3.25E-06 2.56E-07 2.38E-08 3.37E-09 6.77E-10 1.59E-10 VDS3 1.06E-08 2.09E-10 4.82E-12 1.17E-13 1.13E-13 1.57E-13

當參數(shù)ε=0.001時,表5.3可見各種方法的數(shù)值精度從低到高排列約為: CDS,FD1,FD4,FD7,HDS2,FD2,FD3,HDS3,FD6,FD5,VDS1,HDS4,VDS2,VDS3.與表5.1,表5.2中數(shù)據(jù)比較,隨著參數(shù)ε減小,與差分格式設計初衷吻合,此時橫向系列格式的計算精度變差,而縱向系列修正差分格式的數(shù)值精度明顯優(yōu)于橫向系列格式,亦優(yōu)于參考格式的計算精度,說明縱向格式更適宜求解參數(shù)ε較小的對流擴散問題.

表5.3 算例5.1,當ε=0.001 最大絕對誤差及收斂階比較

表5.4可見各種數(shù)值方法計算精度從低到高: FD1,FD4,FD7,CDS,HDS2,HDS3,HDS4,FD2,FD3,FD5,FD6,VDS1,VDS2,VDS3,參數(shù)變得更小時,文[3-9]中的FD1,FD2,FD3,FD4,FD7差分格式數(shù)值精度亦很低,而FD5,FD6數(shù)值精度較高.本文設計的橫向差分格式數(shù)值精度也逐漸變差,但縱向修正差分格式VSD1,VSD2,VSD3數(shù)值精度越來越高,且優(yōu)于參考格式計算精度,說明縱向修正差分格式更適宜于求解小參數(shù)奇異擾動問題.

表5.4 算例5.1,當ε=0.0001 最大絕對誤差及收斂階比較

小結(jié): 實驗結(jié)果與差分格式設計目的吻合,橫向系列修正差分格式適合于求解ε較大時的對流擴散問題,而當ε較小時縱向系列修正差分格式數(shù)值精度更好.且本文設計的差分格式的數(shù)值精度優(yōu)于文[3-9]中的差分格式的計算結(jié)果.我們亦針對另外兩個算例進行了實驗,得到了類似的結(jié)論,限于文章篇幅省略.