高晟耀，王雪仁，唐宇航

(中國人民解放軍92578部隊(duì)，北京 100161)

相比于各向同性結(jié)構(gòu)，各向異性結(jié)構(gòu)[1-6]由于擁有高剛度比和強(qiáng)韌性等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于各種工程領(lǐng)域中。三維各向異性曲梁和直梁的振動(dòng)特性分析一直是振動(dòng)噪聲控制領(lǐng)域的熱門課題[7-21]。學(xué)者利用各種數(shù)值計(jì)算方法對三維直梁和曲梁進(jìn)行結(jié)構(gòu)建模和動(dòng)力學(xué)特性分析，如傳統(tǒng)有限元法，動(dòng)剛度法、傅里葉法等。然而，大部分的數(shù)值方法在計(jì)算曲梁時(shí)很難保證結(jié)構(gòu)幾何的精確性和高階函數(shù)連續(xù)等問題。等幾何方法[22]是一種能夠?qū)崿F(xiàn)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(computer aided design，CAD)與計(jì)算機(jī)輔助工程(computer aided engineering，CAE)的無縫連接，并具有很高的精確性的數(shù)值方法。由于該方法具有高精度，高收斂，網(wǎng)格細(xì)化方便與高階函數(shù)連續(xù)性等優(yōu)點(diǎn)而被應(yīng)用于求解各復(fù)合的梁、板和殼的力學(xué)問題[23-31]。本文針各向異性的直梁和曲梁結(jié)構(gòu)，并基于三維彈性理論，采用非均勻有理B樣條(non-uniform rational B-spline，NURBS)函數(shù)，同時(shí)結(jié)合有限元思想進(jìn)行幾何建模和振動(dòng)分析。通過一系列的數(shù)值算例驗(yàn)證該方法計(jì)算三維各向異性直梁和曲梁振動(dòng)特性的快速收斂性與良好的精確性，同時(shí)還分析了不同邊界下的參數(shù)影響。

1 三維各向異性梁

如圖1所示為三維各向異性梁結(jié)構(gòu)，其中a、b和h分別為梁的長、寬和高。笛卡爾坐標(biāo)選擇建立在三維梁的軸向起始面。

圖1 三維各向異性梁模型Fig.1 Model of three dimensional orthotropic beam

基于三維彈性線性方程，各向異性梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力可表示為:

(1)

(2)

式中：帶逗號的下角標(biāo)x、y、z表示相應(yīng)的位移分量的一階偏導(dǎo)數(shù)；u、v和w分別為x、y和z方向上的位移分量；Cij(i,j=1,2，…，6)為彈性材料系數(shù)，其具體表達(dá)式為：

(3)

(4)

(5)

(6)

C44=G23，C55=G13，C66=G12

(7)

式中：E1、E2、E3為3個(gè)方向上的楊氏模量；υij為泊松比，其滿足以下方程：

(8)

2 三維等幾何有限元

2.1 非均勻有理B樣條基函數(shù)

設(shè)節(jié)點(diǎn)矢量E=(ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn+p,ξn+p+1)，ξi(i=1,2，…，n+p+1)為非負(fù)不減參數(shù)。則B樣條的表達(dá)式[32]為:

1)p=0:

(9)

2)p>0:

(10)

式中：p為基函數(shù)的階數(shù)；n為基函數(shù)總數(shù)?；诠?jié)點(diǎn)矢量E=(0,0,0,0.5,1,1,1)的2階的B樣條函數(shù)如圖2所示。

圖2 基于E=(0,0,0,0.5,1,1,1)的B樣條函數(shù)Fig.2 B-splines functions based on E=(0,0,0,0.5,1,1,1)

在實(shí)際的建模仿真中，B樣條函數(shù)并不能很好的滿足工程設(shè)計(jì)師的要求。通過對每個(gè)B樣條函數(shù)引入相應(yīng)的權(quán)值，可以構(gòu)建非均勻有理B樣條函數(shù)(NURBS),其一維函數(shù)表達(dá)式為：

(11)

式中：Bi,p(ξ)為B樣條函數(shù)；wi為相對應(yīng)的權(quán)值。三維的NURBS為：

(12)

式中：Bi,p(ξ)、Bj,q(η)、Br,k(ζ)為3個(gè)參數(shù)空間上的B樣條函數(shù)；w(i,j,k)為對應(yīng)的權(quán)值。

2.2 三維等幾何振動(dòng)控制方程

在三維等幾何分析中，采用有限元思想，將作為形函數(shù)對未知位移分量的NURBS樣條函數(shù)：

(13)

式中a=i+(j-1)m+(k-1)ml;ua=(ua,va,wa)T為節(jié)點(diǎn)a的位移矢量；Na為控制點(diǎn)a的NURBS函數(shù)。

三維各向異性梁結(jié)構(gòu)的勢能U和動(dòng)能T為：

τxyγxy)dxdydz

(14)

(15)

基于哈密爾頓原理，三維各向異性梁結(jié)構(gòu)的虛功可表示為：

(16)

將式(1)～(6)代入式(16)，并結(jié)合有限元方法，三維各向異性梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程為：

[K-ω2M]u=0

(17)

式中：K和M分別為整體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；ω為固有角頻率；u為梁的控制點(diǎn)位移矢量。

3 三維梁等幾何數(shù)值算例

通過前部分的理論推導(dǎo)和求解方法，本文將對各向異性的直梁和曲梁進(jìn)行驗(yàn)證和數(shù)值結(jié)果的分析。并對異性的直梁和曲梁的參數(shù)變化對結(jié)構(gòu)的振特性影響進(jìn)行研究。

3.1 各向異性直梁數(shù)值結(jié)果

圖3 各向異性直梁的頻率收斂性Fig.3 Convergency of frequency of the orthotropic straight beams

表1 各向異性直梁的頻率f對比Table 1 Comparisons of frequencies f of orthotropic straight beams Hz

在本次對比中，梁結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)和材料屬性與表1中相同。在ANSYS計(jì)算中節(jié)點(diǎn)的數(shù)目大于一定數(shù)值時(shí)，其計(jì)算結(jié)果收斂。通過仿真計(jì)算可知傳統(tǒng)有限元計(jì)算該結(jié)構(gòu)的前4階固有頻率在節(jié)點(diǎn)大于2 793才趨于收斂。通過圖3可知，該方法計(jì)算結(jié)果在p=2時(shí)，控制點(diǎn)大于600收斂；在p=3時(shí)，控制點(diǎn)大于500收斂；在p=4時(shí)，控制點(diǎn)大于400收斂?？梢娫摲椒赏ㄟ^提高函數(shù)的階數(shù)，從而使計(jì)算效率優(yōu)于傳統(tǒng)有限元法。在本次對比分析中，ANSYS的數(shù)值結(jié)果采用SOLID45劃分了24 696個(gè)節(jié)點(diǎn)計(jì)算而得。而本方法的數(shù)值結(jié)果采用p=q=r=3的NURBS并結(jié)合10×4×4單元(控制點(diǎn)=637)計(jì)算而得。通過數(shù)據(jù)對比可以看出，該方法計(jì)算出的振動(dòng)頻率與ANSYS的計(jì)算結(jié)果能很好的吻合。從而驗(yàn)證了該方法具有很好的精確性。

圖4為邊界為C-S的各向異性直梁的前4階模態(tài)圖，進(jìn)一步驗(yàn)證該方法計(jì)算三維各向異性直梁的精確性。該模態(tài)圖計(jì)算所用的幾何參數(shù)和材料參數(shù)與表1中的一樣。從圖4和表1可以看出直梁結(jié)構(gòu)的第1階頻率與第2階頻率相等。這是因梁的寬和高是相等的，且該結(jié)構(gòu)的寬和高2個(gè)方向的材料屬性也是相等的。因而，在該參數(shù)下三維梁的第1階模態(tài)圖與第2階一樣，只是運(yùn)動(dòng)方向不一樣。通過模態(tài)圖的對比，可以驗(yàn)證該方法不僅能夠精確計(jì)算三維各向異性梁結(jié)構(gòu)，同時(shí)也能精確的描述梁的振動(dòng)模態(tài)。

圖4 C-S邊界下各向異性直梁的頻率收斂性Fig.4 Convergency of frequency of the orthotropic straight beams with C-S boundary condition

為了更好地分析幾何參數(shù)對各向異性梁的頻率影響，在本次分析寬度b=0.3 m，長度a=1 m，厚度h為變量。材料參數(shù)保持與收斂性分析一樣。圖5給出了長厚比對三維各向異性梁結(jié)構(gòu)的前4階無量綱頻率的影響。通過圖5可以看出，不管在什么邊界下，三維各向異性直梁結(jié)構(gòu)的固有頻率隨厚度的增加而增加。當(dāng)直梁的厚度增加時(shí)，會導(dǎo)致其在長度方向的抗彎剛度急劇增加。從而三維直梁的固有頻率增加。當(dāng)厚度h從0.05 m增加到0.125 m時(shí)，三維直梁的第3階固有頻率并沒有變化，其原因有可能是該振動(dòng)模態(tài)主要沿寬度方向振動(dòng)。

圖5 厚長比h/a對前4階無量綱頻率的影響Fig.5 Effects of thickness-to-length ratio h/a on the first four non-dimensional frequencies

3.2 各向異性曲梁數(shù)值結(jié)果

通過前文分析，可以看出該方法計(jì)算直梁頻率的可靠性和精確性，然而在實(shí)際工程中，曲梁的應(yīng)用比直梁更加廣泛。曲梁的材料參數(shù)保持不變：E1=40E2，E2=E3=2 GPa,G23=0.5E2,G13=G12=0.6E2,υ12=υ13=υ23=0.25,ρ=1 500 kg/m3。曲梁的結(jié)構(gòu)模型如圖6所示。

圖6 三維各向異性曲梁模型Fig.6 Model of three dimensional orthotropic curved beam

圖7為三維各向異性曲梁無量綱振動(dòng)頻率的收斂性，該收收斂性分析結(jié)構(gòu)的邊界、NURBS的階數(shù)和幾何劃分的單元與直梁分析一樣。曲梁的幾何參數(shù)為：a=1 m，b=h=0.1 m,R=1 m。從圖7可以看出該方法計(jì)算曲梁時(shí)也擁有快速收斂的特性。表2給出了三維各向異性曲梁的頻率對比。ANSYS的數(shù)值結(jié)果采用SOLID45劃分了25 872個(gè)節(jié)點(diǎn)計(jì)算而得。本方法的數(shù)值結(jié)果采用p=q=r=3的NURBS并結(jié)合10×4×4單元(控制點(diǎn)=637)計(jì)算而得。通過表2可以看出該方法計(jì)算曲梁與ANSYS計(jì)算的曲梁頻率結(jié)果也能吻合。表2中的曲梁頻率的誤差比表1中直梁的誤差大，是因?yàn)锳NSYS對曲面劃分網(wǎng)格與本方法差距所造成的。圖8為三維各向異性曲梁在C-S邊界下的前4階模態(tài)對比圖。從圖中可以看出曲梁的模態(tài)對比圖與ANSYS計(jì)算的模態(tài)圖能很好地吻合。

圖7 各向異性曲梁的頻率收斂性Fig.7 Convergency of frequency of the orthotropic curved beams

圖8 C-S邊界下各向異性曲梁的頻率收斂性Fig.8 Convergency of frequency of the orthotropic curved beams with C-S boundary condition

表2 各向異性曲梁的頻率f對比Table 2 Comparisons of frequencies f of orthotropic curved beams Hz

圖9為厚度變化對三維各向異性曲梁無量綱固有頻率的影響。在該分析中，材料參數(shù)保持不變。幾何參數(shù)設(shè)置為a=1 m;b=0.1 m;R=0.1;從圖9可以看出，三維各向異性曲梁的無量綱頻率在整體上隨厚度的增加而增加；無量綱曲線的斜率隨厚度的增加而減小。部分無量綱頻率在一定范圍內(nèi)隨著厚度的增加有可能保持不變，或者緩慢減少，如圖9中的C-C邊界下的第2階模態(tài)；C-C、C-S、S-S邊界下的第3階模態(tài)等。圖10為曲梁半徑變化對三維各向異性曲梁的無量綱固有頻率的影響。在該分析中，除了厚度h和半徑R外，三維各向異性曲梁的材料參數(shù)和幾何參數(shù)設(shè)置與圖9一樣。曲梁的厚度h=0.1 m。從圖10可以看出，半徑R對三維各向異性曲梁的無量綱固有頻率的影響與厚度相似。即除了三維各向異性曲梁的部分頻率在一定范圍內(nèi)不一定隨半徑的增加增加；但在整體上，三維各向異性曲梁的無量綱固有頻率隨半徑增加而增加。

圖9 厚長比對前4階無量綱頻率的影響Fig.9 Effects of thickness-to-length ratio h/a on the first four non-dimensional frequencies.

圖10 徑長比對前4階無量綱頻率的影響Fig.10 Effects of radius-to-length ratio h/a on the first four non-dimensional frequencies

4 結(jié)論

1)該方法在計(jì)算三維各向異性梁時(shí)具有快速收斂性，且基函數(shù)的階數(shù)越高，計(jì)算結(jié)果收斂速度越快。

2)該方法具有良好的精確性；其計(jì)算曲梁的固有頻率與傳統(tǒng)有限元結(jié)果吻合度低于該方法計(jì)算直梁固有頻率和傳統(tǒng)有限元結(jié)果的吻合度。

3)邊界約束越強(qiáng)，固有頻率越高；隨著半徑的增加，曲梁的前四階固有頻率增加；整體上固有頻率隨著厚度的增加而增加，但部分階次的固有頻率有可能不變。

4)借助NURBS強(qiáng)大的幾何建模能力，該方法還適用于求解更為復(fù)雜的三維曲梁結(jié)構(gòu)。