楊立乾，趙金樓，李根

(1.哈爾濱工程大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.江蘇科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

不同于其他設(shè)備，船舶在運(yùn)行過程中面臨著離岸時間長、航行環(huán)境復(fù)雜和維修條件有限等問題。因此，運(yùn)營者對船舶的可靠性有著較高的要求。船舶的可靠性取決于其關(guān)鍵部件的可靠性。在航行中，船舶關(guān)鍵部件的性能會隨著運(yùn)行時間的增加而逐漸退化直至完全失效，最終導(dǎo)致故障的發(fā)生。因此，開展船舶關(guān)鍵部件性能退化建模研究并基于該退化模型制定合理的視情維修策略對減少船舶故障次數(shù)以及降低船舶維修成本有著重要的意義。

近年來，船舶關(guān)鍵部件性能退化建模方面的研究受到學(xué)者的廣泛關(guān)注。涉及到的方法有非齊次泊松過程[1-2]、Wiener過程[3]、馬爾可夫過程[4]和隨機(jī)差分模型[5]。船舶關(guān)鍵部件的退化過程一般隨時間單調(diào)遞增，因此適合利用具有單調(diào)非減特性的Gamma過程進(jìn)行建模[6]。但是Gamma過程為跳躍過程，且計(jì)算涉及到Gamma分布、Gamma函數(shù)和不完全Gamma函數(shù)等，導(dǎo)致計(jì)算較為復(fù)雜。因此，學(xué)者對基于Gamma過程的船舶關(guān)鍵部件性能退化建模的研究較少。同時，現(xiàn)有文獻(xiàn)側(cè)重于性能退化建模而對視情維修策略研究較少。針對以上問題，本文采用Gamma過程對船舶關(guān)鍵部件的性能退化過程進(jìn)行了建模，并基于該退化模型制定了船舶視情維修策略。

1 性能退化和視情維修

退化失效是船舶關(guān)鍵部件的主要失效模式之一，它是指表征部件性能的參數(shù)會隨著部件運(yùn)行時間的增加而逐漸下降，當(dāng)該參數(shù)不斷下降并超過指定閾值時，則認(rèn)為該部件喪失功能而發(fā)生失效[7]。退化失效的過程如圖1所示。其中：X(t)為部件的性能退化量；LF為部件的失效閾值；T為X(t)達(dá)到LF的時間。

圖1 退化失效的過程Fig.1 The process of degradation failure

視情維修是應(yīng)對退化失效的最有效維修策略之一[2]。它是指對維修對象進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測和診斷，以掌握其實(shí)際性能狀況和性能的發(fā)展趨勢，并根據(jù)監(jiān)測和診斷的結(jié)果作出合理的維修安排[8]。視情維修的基本原理如圖2所示[9]。

圖2 視情維修的基本原理Fig.2 Basic principles of condition-based maintenance

LF在視情維修理論中，也被稱作“功能失效閾值”；與之對應(yīng)的，視情維修理論定義了部件的另一個失效閾值LP,即“潛在失效閾值”。當(dāng)0≤X(t)≤LP時，部件處于“運(yùn)轉(zhuǎn)區(qū)”，此時無需對部件進(jìn)行維修；當(dāng)LPLF時，部件完全失效。

2 基于Gamma過程的船舶關(guān)鍵部件性能退化模型

2.1 性能退化建模

記隨機(jī)變量X服從形狀參數(shù)為υ>0，尺度參數(shù)為u>0的Gamma分布，則其概率密度函數(shù)為：

(1)

若{X(t),t≥0}具有如下性質(zhì)：1)X(0)=0；2)X(τ)-X(t)～Ga(υ(τ)-υ(t),u)對任意的τ>t≥0成立；3)X(t)具有獨(dú)立增量。則稱連續(xù)時間隨機(jī)過程{X(t),t≥0}為具有形狀參數(shù)υ(t)>0，尺度參數(shù)u>0的Gamma過程。其中，在定義域t≥0上，υ(t)為非減、右連續(xù)的實(shí)值函數(shù)，且υ(0)≡0。

船舶關(guān)鍵部件的性能退化量X(t)滿足上述Gamma過程的定義，其性能退化過程可由其描述。

本文研究船舶關(guān)鍵部件的性能退化過程為平穩(wěn)Gamma過程的情況，即假設(shè)υ(t)=αt[10]。則在時刻t，性能退化量X(t)的期望和方差分別為：

(2)

X(t)的概率密度函數(shù)為：

(3)

2.2 部件的壽命分布和可靠度

根據(jù)圖2，部件的壽命T可以定義為其性能退化量X(t)首次達(dá)到其功能失效閾值LF的時間，即：

T=inf{t|X(t)≥LF,t≥0}

(4)

則部件的壽命分布函數(shù)為：

F(t)=Pr{TLF}=

(5)

部件在時刻t的可靠度為部件在時刻t的性能退化量X(t)未超過其功能失效閾值LF的概率:

(6)

根據(jù)Gamma過程的性質(zhì)及式(6)，考慮在t1時刻監(jiān)測到部件的性能退化量為X(t1)，且X(t1)t1，部件的性能退化量X(t)未超過其功能失效閾值LF的條件概率(亦即視情可靠度)為：

(7)

則部件的平均壽命和平均剩余壽命分別為：

(8)

(9)

2.3 模型參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

本文采用最大似然法對模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。船舶關(guān)鍵部件具有高可靠和長壽命的特點(diǎn)。因此，實(shí)踐中一般采用離散、長間隔且非周期性的狀態(tài)監(jiān)測方法，使得每個部件的監(jiān)測次數(shù)非常有限。這導(dǎo)致無法基于某一個部件的狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)對模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。實(shí)踐中，一般認(rèn)為相同的部件具有相同的性能退化機(jī)理。因此，可利用多個相同部件的性能退化數(shù)據(jù)來對模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

假設(shè)有m個相同的部件，對于部件i來說，共進(jìn)行了ni次狀態(tài)監(jiān)測。記對部件i進(jìn)行第j次狀態(tài)監(jiān)測時部件的運(yùn)行時間為ti,j，對應(yīng)的性能退化量的監(jiān)測值為X(ti,j)。令Δxi,j=X(ti,j)-X(ti,j-1)表示在監(jiān)測區(qū)間Δti,j=ti,j-ti,j-1內(nèi)性能退化量的增量，根據(jù)Gamma過程的定義，Δxi,j服從Gamma分布，即Δxi,j～Ga(αΔti,j,u)，則參數(shù)α和u的似然函數(shù)可以構(gòu)造為：

(10)

根據(jù)式(10)，對數(shù)形式的似然函數(shù)為：

ln[Γ(αΔti,j)]+αΔti,jln(u)-uΔxi,j}

(11)

分別對參數(shù)α和u求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于0得到：

(12)

利用數(shù)值計(jì)算方法求解方程組即可得到參數(shù)α和u的最大似然估計(jì)值。

2.4 模型參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

(13)

(14)

(15)

根據(jù)式(15)，參數(shù)α的80%置信區(qū)間為：

(16)

同理，參數(shù)u的80%置信區(qū)間為：

(17)

式中z10%為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)。

上述方法也可被進(jìn)一步擴(kuò)展以用于估計(jì)模型統(tǒng)計(jì)量的置信區(qū)間。以統(tǒng)計(jì)量E[X(t)]為例，其80%置信區(qū)間的計(jì)算方法為：

(18)

(19)

3 船舶關(guān)鍵部件的視情維修策略

3.1 問題描述

傳統(tǒng)的計(jì)劃維修策略有2個缺陷：1)會產(chǎn)生不必要的費(fèi)用，包括不必要的維修費(fèi)用和耽誤船期產(chǎn)生的費(fèi)用；2)無法預(yù)測故障的發(fā)生時間，即無法在故障發(fā)生前采取有效措施以避免故障的發(fā)生，從而會產(chǎn)生高昂的事后維修成本。

針對以上問題，本文以構(gòu)建的性能退化模型為基礎(chǔ)，制定了船舶關(guān)鍵部件的視情維修策略。該策略能夠從2個方面有效降低船舶的維修成本：1)在不影響部件可靠性的前提下盡量減少部件的狀態(tài)監(jiān)測次數(shù)；2)在潛在失效發(fā)生后就采取相關(guān)措施以避免功能失效和事后維修的發(fā)生。該視情維修策略的前提假設(shè)如下：1)船舶關(guān)鍵部件的故障一般不可修復(fù)，因此，本文只考慮部件的狀態(tài)監(jiān)測和更換2種維修操作；2)只有當(dāng)船舶掛靠在港口時才具備執(zhí)行上述維修操作的條件，這決定了部件的狀態(tài)監(jiān)測是離散的、非周期性的；3)每個部件都有一份已經(jīng)擬定好的狀態(tài)監(jiān)測計(jì)劃，這是傳統(tǒng)的計(jì)劃維修策略的基礎(chǔ)。

3.2 視情維修策略建模

策略1優(yōu)化部件的狀態(tài)監(jiān)測時間。

對于部件i而言，假設(shè)本次監(jiān)測時其運(yùn)行時間為ti,j，對應(yīng)的性能退化量的監(jiān)測值為X(ti,j)，且X(ti,j)

根據(jù)式(8)，在時刻t>ti,j，部件的性能退化量X(t)未超過其潛在失效閾值LP的條件概率為：

(20)

則根據(jù)式(9)，以潛在失效閾值LP為基準(zhǔn)，當(dāng)監(jiān)測時間為ti,j，性能退化量的監(jiān)測值為X(ti,j)時，部件的平均剩余壽命為：

(21)

根據(jù)E[Ti′-ti,j|X(ti,j)]和t′的大小關(guān)系，會有以下3種不同的情形：1)若t′>E[Ti′-ti,j|X(ti,j)]，說明在時間點(diǎn)ti,j+t′，部件的性能退化量已經(jīng)超過了其潛在失效閾值LP。因此，應(yīng)將原擬定的監(jiān)測計(jì)劃提前到某一時間點(diǎn)執(zhí)行，且最小的可提前時間為t′-E[Ti′-ti,j|X(ti,j)]；2)若t′

策略2選擇合理的部件更換時間。

執(zhí)行完策略1后，會產(chǎn)生一個新的狀態(tài)監(jiān)測點(diǎn)(ti,j+1,X(ti,j+1))。根據(jù)X(ti,j+1)大小，會有以下3種不同的情形以及對應(yīng)的維修策略：

1)若X(ti,j+1)

2)若LP≤X(ti,j+1)≤LF，則應(yīng)盡快更換新的部件。當(dāng)維修和備件等條件不具備時，也可將更換部件的時間推遲。設(shè)τ為推遲的時間，則最大可推遲時間τmax可表示為：

τmax=E[Ti-ti,j+1|X(ti,j+1)]=

(22)

3)若X(ti,j+1)>LF，則部件發(fā)生故障。應(yīng)該立即停止船舶的運(yùn)行并進(jìn)行事后維修，即更換新的部件。

3.3 維修策略優(yōu)劣準(zhǔn)則

為了便于對比不同的維修策略，本文采用單位時間內(nèi)的維修費(fèi)用來作為優(yōu)劣準(zhǔn)則。該費(fèi)用C為：

(23)

式中：cm為一次狀態(tài)監(jiān)測的費(fèi)用；N為在更換發(fā)生前的狀態(tài)監(jiān)測次數(shù)；cp為一次預(yù)防性更換的費(fèi)用；cf為一次故障更換的費(fèi)用；y為示性函數(shù)，當(dāng)y=1時發(fā)生預(yù)防性更換，當(dāng)y=0時發(fā)生故障更換。

上述各項(xiàng)費(fèi)用均包含維修本身產(chǎn)生的費(fèi)用及因維修而誘發(fā)的其它費(fèi)用，如耽誤船期產(chǎn)生及故障發(fā)生后雇傭拖船產(chǎn)生的費(fèi)用等。實(shí)踐表明，故障更換的誘發(fā)費(fèi)用要遠(yuǎn)高于預(yù)防性更換的誘發(fā)費(fèi)用：

cf>cp>cm

(24)

4 基于氣缸套磨損數(shù)據(jù)的實(shí)例分析

氣缸套是船用重型柴油機(jī)的關(guān)鍵部件之一，磨損失效是其主要的故障模式[13]。本文利用一套真實(shí)的船用柴油機(jī)氣缸套磨損數(shù)據(jù)來驗(yàn)證所提出的性能退化模型及視情維修策略的有效性。這些數(shù)據(jù)采集于33個氣缸套。具體數(shù)據(jù)參見文獻(xiàn)[13]。

4.1 數(shù)值結(jié)果

圖3 磨損量的監(jiān)測值、E[X(t)]的最大似然估計(jì)值和X(t)的80%概率區(qū)間Fig.3 The observed wear,the maximum likelihood estimation of E[X(t)] and the 80% probability interval for X(t)

根據(jù)參數(shù)估計(jì)的結(jié)果，可以計(jì)算出氣缸套在各個運(yùn)行時間的可靠度以及在不同狀況下的視情可靠度，如圖4所示。所使用的LF的值為4 mm[13]。進(jìn)而可以求得氣缸套的平均壽命E(T)為43 743 h；當(dāng)t1=12 000 h,X(t1)=1.95 mm時，氣缸套的平均剩余壽命E(T-12 000|1.95)為22 969 h；當(dāng)t1=30 000 h,X(t1)=3.60 mm時，氣缸套的平均剩余壽命E(T-30 000|3.60)為5 381 h。

圖4 氣缸套的可靠度R(t)和視情可靠度R[t|X(t1)]的最大似然估計(jì)值Fig.4 The maximum likelihood estimation of cylinder liners′ reliability R(t) and condition-based reliability R[t|X(t1)]

4.2 維修策略對比分析

為了驗(yàn)證本文所提出的視情維修策略的有效性，基于3.3節(jié)的優(yōu)劣準(zhǔn)則對比分析了傳統(tǒng)的計(jì)劃維修策略和本文的視情維修策略。以文獻(xiàn)[13]中的i=12和i=28 2個氣缸套為例。每個氣缸套的維修計(jì)劃可直接獲得，氣缸套的功能失效閾值LF=4 mm[13]，且假設(shè)氣缸套的潛在失效閾值LP=3.8 mm，狀態(tài)監(jiān)測費(fèi)用cm=20 000 RMB/次，預(yù)防性更換費(fèi)用cp=100 000 RMB/次；故障更換費(fèi)用cf=500 000 RMB/次。

對于氣缸套i=12而言，在計(jì)劃維修策略下，其總的狀態(tài)監(jiān)測次數(shù)為4次。在第4次監(jiān)測時，磨損量的監(jiān)測值為3.95 mm，已接近但未超過功能失效閾值LF。因此，操作者會立即或者在一個較短的時間內(nèi)對該氣缸套進(jìn)行預(yù)防性更換(這取決于是否有備件)。則氣缸套的壽命T≈45 000 h，在更換發(fā)生前的狀態(tài)監(jiān)測次數(shù)N=4。根據(jù)式(23)，單位時間內(nèi)的維修費(fèi)用C=4.00 RMB/h。若將上述計(jì)劃維修策略調(diào)整為本文所提出的視情維修策略，則監(jiān)測時間、氣缸套壽命、單位時間內(nèi)的維修費(fèi)用等如表1所示。其中，氣缸套的第1次狀態(tài)監(jiān)測時間不應(yīng)被提前或者推遲，因?yàn)樵摃r間一般是根據(jù)氣缸套的技術(shù)說明書確定的，是被強(qiáng)制執(zhí)行的。此后各次狀態(tài)監(jiān)測的時間以及氣缸套的壽命是依據(jù)3.2節(jié)確定的。為便于計(jì)算，這里使用的提前時間為最小可提前時間，推遲時間為最大可推遲時間。但在實(shí)際應(yīng)用中還應(yīng)考慮船舶到達(dá)修船廠的實(shí)際時間。與調(diào)整后的監(jiān)測時間所對應(yīng)的磨損量監(jiān)測值是通過對真實(shí)監(jiān)測值進(jìn)行線性插值獲得的。

同理，可求得氣缸套i=28在計(jì)劃維修策略和視情維修策略下的各項(xiàng)指標(biāo)，如表1所示。

表1 計(jì)劃維修策略和視情維修策略的對比結(jié)果Table 1 Comparison between the planned maintenance strategy and the proposed condition-based maintenance strategy

由表1可知，對于氣缸套i=12而言，視情維修策略并未改變氣缸套的更換類型，而且還將氣缸套的壽命從45 000 h縮短到了42 923 h。但是，視情維修策略減少了一次狀態(tài)監(jiān)測。因此，視情維修策略略微降低了維修成本，將單位時間內(nèi)的維修費(fèi)用從4.00 RMB/h降低到了3.73 RMB/h。對于氣缸套i=28而言，雖然視情維修策略增加了一次狀態(tài)監(jiān)測，而且還將氣缸套的壽命從55 460 h縮短到了52 755 h。但是，視情維修策略有效避免了事后維修的發(fā)生，所以大幅度地降低了維修成本，將單位時間內(nèi)的維修費(fèi)用從10.10 RMB/h降低到了3.41 RMB/h。雖然視情維修策略可能會縮短部件的使用壽命，但它能夠有效避免事后維修的發(fā)生，從而節(jié)省大量的事后維修成本。所以，總的來說，視情維修策略優(yōu)于傳統(tǒng)的計(jì)劃維修策略。

5 結(jié)論

1)本文所構(gòu)建的模型能夠很好地刻畫船舶關(guān)鍵部件的性能退化規(guī)律；相比于計(jì)劃維修策略，本文所提出的視情維修策略能夠顯著地降低船舶關(guān)鍵部件的維修成本。

2)本文所提出的性能退化模型和視情維修策略雖然只在氣缸套的磨損過程上進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)，但是它們適用于船舶上具有單調(diào)非減退化特性的任何部件。而且它們還可以被推廣到其他高可靠、長壽命的離岸設(shè)備。這對于此類設(shè)備的維修優(yōu)化具有重要的理論和實(shí)際意義。

本文構(gòu)建的性能退化模型只適用于單調(diào)非減的性能退化過程，而無法描述波動的性能退化過程；部件的性能退化過程并非是平穩(wěn)的，因此本文模型的準(zhǔn)確性還可以被進(jìn)一步提高。以上2個問題是下一步研究的重點(diǎn)。