段廣仁

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001)

0 引 言

控制科學(xué)的核心目標(biāo)是設(shè)計出穩(wěn)定且具有良好性能的閉環(huán)控制系統(tǒng)。長期以來，控制科學(xué)家們基于對不同控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)和運動規(guī)律的深刻認(rèn)識，提出了多種控制系統(tǒng)設(shè)計方法。這些方法所適用的系統(tǒng)從線性系統(tǒng)到非線性系統(tǒng)，從單輸入單輸出系統(tǒng)到多輸入多輸出系統(tǒng)，極大地推動了科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步。

線性系統(tǒng)作為最簡單、最基本的一類動態(tài)系統(tǒng)，是系統(tǒng)控制理論中發(fā)展最成熟、應(yīng)用最廣泛的一個組成分支。線性系統(tǒng)的控制設(shè)計分為基于古典控制理論的設(shè)計和基于現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論的設(shè)計兩大部分?；诠诺淇刂评碚摰脑O(shè)計以Laplace變換和復(fù)變函數(shù)理論為主要數(shù)學(xué)工具，以傳遞函數(shù)為基本數(shù)學(xué)模型，以頻域響應(yīng)法為主要研究方法，主要針對單變量線性定常系統(tǒng)進(jìn)行分析與綜合?；诂F(xiàn)代線性系統(tǒng)理論的設(shè)計以現(xiàn)代數(shù)學(xué)為主要工具，通過在時域內(nèi)建立系統(tǒng)模型的狀態(tài)空間描述，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計出期望的控制律。典型的設(shè)計方法包括極點配置[1-3]，特征結(jié)構(gòu)配置[4-6]以及基于Riccati方程的線性二次型最優(yōu)控制[7-8]等。

自然界或工程實際中的許多系統(tǒng)都是非線性的。例如，航天器制導(dǎo)與控制系統(tǒng)、機器人系統(tǒng)、電力系統(tǒng)等。早在19世紀(jì)初期，人們的研究側(cè)重在線性系統(tǒng)上，而對于非線性控制方面的研究也只有簡單的相平面分析方法。直到19世紀(jì)末期，人們開始逐步針對不同類型的非線性系統(tǒng)提出了不同的方法?？傮w來說，關(guān)于非線性控制[9-22]設(shè)計的方法可以歸納為三大類(如圖1所示)。

圖1 非線性系統(tǒng)控制設(shè)計Fig.1 Control design of nonlinear system

1)基于李雅普諾夫泛函的設(shè)計方法

1892年，俄國著名科學(xué)家李雅普諾夫完成了他的博士論文：《論運動穩(wěn)定性的一般問題》，奠定了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，也為非線性系統(tǒng)設(shè)計提供了一般性的理論方法，即李雅普諾夫第二方法。這類方法的基本思想是通過尋找一個李雅普諾夫泛函，即一種廣義的“能量”函數(shù)來度量系統(tǒng)非線性部分的動態(tài)，設(shè)計控制器使被控系統(tǒng)“耗散”到給定的目標(biāo)狀態(tài)。李雅普諾夫方法是一種根本性的基礎(chǔ)設(shè)計方法。隨著時間的推演，人們針對更加具體的系統(tǒng)類別又提出了相應(yīng)李雅普諾夫泛函的求取方法，從而在這一方向上產(chǎn)生了一些新方法。從考慮匹配條件的滑?？刂芠14,23-24]，到約束條件更為寬松的反步法[15,25-26]，再到利用開環(huán)系統(tǒng)的無源性的無源化方法[16,27]，這些都構(gòu)成了非線性控制發(fā)展史上的里程碑式的結(jié)果。

2)最優(yōu)控制方法

最優(yōu)控制是通過權(quán)衡系統(tǒng)狀態(tài)和輸入來設(shè)計系統(tǒng)的控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)達(dá)到最小。關(guān)于非線性最優(yōu)控制理論的研究可以追溯到20世紀(jì)50、60年代，通過離散的Bellman動態(tài)規(guī)劃方法將離散最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為HJB (Hamilton-Jacobi-Bellman)方程的求解問題[28-29]。到了20世紀(jì)中葉，出現(xiàn)了著名的Pontryagin極大值原理，可以把一般的連續(xù)非線性控制問題轉(zhuǎn)化為HJB方程的兩點邊值問題進(jìn)行求解[30-31]。在這一方向上，針對不同的系統(tǒng)形式和指標(biāo)形式，后期又涌現(xiàn)出了一批新方法，如H∞控制[17,32]和預(yù)測控制[18,33]等。線性二次型最優(yōu)控制是Pontryagin極大值原理在線性系統(tǒng)框架下的完美呈現(xiàn)。作為線性二次型最優(yōu)控制的一種直接推廣，人們又進(jìn)一步提出了基于狀態(tài)依賴Riccati方程的方法[34]來解決非線性二次型最優(yōu)控制問題。

3)以線性主導(dǎo)的設(shè)計方法

人們對于線性系統(tǒng)的認(rèn)識是比較深入和完備的，線性系統(tǒng)的許多特性也是最為人們所青睞的。因此，人們自然希望利用線性系統(tǒng)來研究非線性系統(tǒng)，或者說盡量把非線性系統(tǒng)的控制問題歸結(jié)為線性系統(tǒng)的控制問題。出于這種考慮，歷史上產(chǎn)生了兩種自然的思想。

一種是求取非線性系統(tǒng)的一個控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)成為線性系統(tǒng)，這就是所謂的反饋線性化方法。一旦一個非線性系統(tǒng)能反饋線性化，則線性系統(tǒng)理論和方法就可以直接使用，反饋線性化方法是20世紀(jì)70年代的代表性成果[35]。后期發(fā)展的微分幾何方法的一個主要優(yōu)點也在于反饋線性化[36]。從控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)出發(fā)，利用已有的微分幾何及微分代數(shù)方法，將線性系統(tǒng)已有的成果通過用流形代替線性空間的方式推廣到非線性系統(tǒng)上，同時也考慮如何在一定條件下將“復(fù)雜”的非線性控制系統(tǒng)通過非線性變換轉(zhuǎn)化為某種意義下等價的線性控制系統(tǒng)。

另一類設(shè)計思路是用線性系統(tǒng)來逼近非線性系統(tǒng)的方法。增益調(diào)度方法和模糊T-S方法是這方面的典型代表。增益調(diào)度方法將線性化方法的有效性擴(kuò)展到若干個工作點，針對每個工作點設(shè)計線性反饋控制器[22,37]。模糊T-S方法利用T-S模糊規(guī)則將非線性系統(tǒng)描述為若干個線性子系統(tǒng)的動態(tài)線性組合進(jìn)行控制器設(shè)計[38]。

下節(jié)中將在上述非線性控制系統(tǒng)設(shè)計方法分劃的框架下對飛行器的非線性控制方法給出一個概述，并由此引出偽線性系統(tǒng)的概念。接下來的兩節(jié)則分別給出了衛(wèi)星姿態(tài)與軌道控制和飛行器制導(dǎo)與控制中典型飛行器控制問題的一般偽線性系統(tǒng)模型描述。有關(guān)偽線性系統(tǒng)控制的直接參數(shù)化方法將在該文的第二部分中繼續(xù)討論。

1 飛行器控制方法

航空航天技術(shù)是21世紀(jì)以來發(fā)展最迅速、對人類社會最有影響力的尖端科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域之一。飛行器是航空航天活動的重要載體，也是航空航天技術(shù)的核心組成部分。飛行控制技術(shù)作為飛行器的靈魂，是實現(xiàn)飛行器安全、穩(wěn)定飛行的重要保障，對飛行器系統(tǒng)設(shè)計有著舉足輕重的作用。飛行器可以粗略分為航空飛行器(如導(dǎo)彈)、航天飛行器(如衛(wèi)星)以及臨近空間飛行器三大類。雖然不同類別的飛行器所處飛行環(huán)境以及動力學(xué)特性大相徑庭，但從控制設(shè)計角度來看，它們都是典型的具有多變量、多通道耦合、不確定、受干擾等特點的非線性被控對象，所追求的目標(biāo)也都是速度快、精度高、準(zhǔn)確、穩(wěn)定又具良好機動性[39]。隨著控制理論的蓬勃發(fā)展與飛行器控制研究的不斷深入，當(dāng)前有關(guān)非線性系統(tǒng)的各種控制設(shè)計方法幾乎均被嘗試應(yīng)用于飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計中，內(nèi)容遍及古典控制、現(xiàn)代控制、時域方法、頻域方法、魯棒控制、自適應(yīng)控制、預(yù)測控制、智能控制等諸多范圍[40-57]。本節(jié)從方法論的角度對飛行器控制方法做一簡單概述。

1.1 基于李雅普諾夫泛函的飛行器控制方法

常用的基于李雅普諾夫泛函的飛行器控制設(shè)計方法包括滑模變結(jié)構(gòu)控制方法和反步法?；？刂品椒ň哂许憫?yīng)快、算法簡單、對于模型參數(shù)和外界擾動不靈敏等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于飛行器控制領(lǐng)域。文獻(xiàn)[58-61]基于滑模控制方法研究了衛(wèi)星姿態(tài)控制，文獻(xiàn)[62]將滑模控制方法應(yīng)用于航天器自主交會對接問題。文獻(xiàn)[63-65]利用滑?？刂品椒ㄑ芯苛藢?dǎo)彈導(dǎo)引律控制設(shè)計問題，文獻(xiàn)[66-68]和文獻(xiàn)[69-70]分別將滑?？刂品椒☉?yīng)用于具有強不確定性的高超聲速飛行器控制和導(dǎo)彈制導(dǎo)控制一體化設(shè)計中。

相比于滑模變結(jié)構(gòu)控制，反步法的最大優(yōu)勢是可以有效地處理非匹配不確定性?；诜床椒ǖ娘w行器控制設(shè)計利用飛行器系統(tǒng)模型所固有的級聯(lián)結(jié)構(gòu)，通過靈活選用李雅普諾夫函數(shù)結(jié)合遞推方法設(shè)計控制律。文獻(xiàn)[71]將反步法與魯棒自適應(yīng)控制相結(jié)合，研究了導(dǎo)彈自動駕駛儀的控制設(shè)計。文獻(xiàn)[72]和[73]等則將反步法與滑?？刂葡嘟Y(jié)合設(shè)計航天器姿態(tài)跟蹤控制算法。文獻(xiàn)[74]結(jié)合干擾觀測器和反步法研究了存在飽和與測量不確定性情形下的航天器姿態(tài)鎮(zhèn)定控制律設(shè)計問題。考慮到標(biāo)準(zhǔn)反步法存在“級數(shù)膨脹”的缺陷，一些改進(jìn)的反步法也被應(yīng)用于飛行器控制中。文獻(xiàn)[75-76]結(jié)合動態(tài)面控制技術(shù)實現(xiàn)了導(dǎo)彈制導(dǎo)控制一體化設(shè)計，文獻(xiàn)[77]利用指令濾波反步法設(shè)計了三通道飛行器控制系統(tǒng)。近年來，隨著研究不斷深入，一些特殊形式的李雅普諾夫函數(shù)也被引入到基于反步法的飛行器控制設(shè)計中。文獻(xiàn)[78]利用基于障礙李雅普諾夫函數(shù)的反步法研究了考慮狀態(tài)約束的航天器自主交會姿軌控制問題。文獻(xiàn)[79]利用基于積分形式的強李雅普諾夫函數(shù)的反步法設(shè)計了具有有限時間收斂特性的航天器姿態(tài)跟蹤控制算法。

1.2 基于優(yōu)化的飛行器控制方法

最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論中較成熟的一個分支，最優(yōu)控制在飛行器控制方面具有很強的應(yīng)用背景，典型的如燃料最省控制、最優(yōu)調(diào)姿規(guī)律、最優(yōu)制導(dǎo)律等[80]。基于優(yōu)化的控制設(shè)計方法也被廣泛應(yīng)用于飛行器制導(dǎo)控制律設(shè)計以及航天器控制中，如文獻(xiàn)[81]針對機動目標(biāo)制導(dǎo)律問題設(shè)計了基于跳變系統(tǒng)的最優(yōu)制導(dǎo)律，文獻(xiàn)[82]和[83]分別提出基于線性二次型和預(yù)測控制的最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計方法。文獻(xiàn)[84-87]則利用不同優(yōu)化控制方法研究了航天器姿態(tài)控制問題?？紤]到飛行器動力學(xué)模型通常呈現(xiàn)出較強的非線性，因此，近年來基于優(yōu)化的飛行器控制設(shè)計大多集中于非線性最優(yōu)控制方面。眾所周知，求解非線性最優(yōu)控制問題的最大障礙在于HJB方程很難求得解析解。為了克服這個困難，兩種有效的數(shù)值解法被提出，一種是狀態(tài)依賴Riccati方程(State dependent riccati equation, SDRE)方法，另一種是θ-D方法。前者通過實時地求解一類代數(shù)Riccati方程得到局部漸近穩(wěn)定的次優(yōu)反饋控制律，后者通過一種攝動方法給出了HJB方程的一個數(shù)值解，并利用該數(shù)值解可以構(gòu)造一類反饋次優(yōu)控制律。由于該數(shù)值解不必實時求取，從而極大地降低了求解的復(fù)雜性。Stansbery等[88]和Vaddi等[89]分別應(yīng)用SDRE方法設(shè)計了航天器的姿軌聯(lián)合控制律和導(dǎo)彈導(dǎo)引控制一體化控制律。Xin等[90-91]學(xué)者將θ-D技術(shù)應(yīng)用于多種飛行器優(yōu)化控制律設(shè)計中。

1.3 基于線性主導(dǎo)的飛行器控制方法

前文已經(jīng)提及，線性系統(tǒng)的控制設(shè)計相對于非線性系統(tǒng)來說要簡單得多，且人們對于線性系統(tǒng)理解更為深刻，因此，在進(jìn)行飛行器控制設(shè)計時也自然會考慮采用基于線性系統(tǒng)理論的設(shè)計方法。常見的基于線性主導(dǎo)的飛行器控制設(shè)計分為兩類，一類是基于近似線性化模型的設(shè)計，另一類是基于精確線性化模型的設(shè)計。

基于近似線性化模型設(shè)計的基本思路是,首先根據(jù)設(shè)計要求確定若干個特征點，并將飛行器模型于各個特征點處線性化，得到若干個局部線性化模型；然后利用局部線性化模型，結(jié)合古典或現(xiàn)代控制理論(如古典的根軌跡法、頻域設(shè)計法，現(xiàn)代的線性最優(yōu)控制、H∞與μ綜合，魯棒參數(shù)化方法等)設(shè)計各特征點處的局部控制器；最后通過擬合各個局部控制器的切換規(guī)律完成整體系統(tǒng)的控制器設(shè)計。這種設(shè)計方法現(xiàn)已相當(dāng)成熟，并已被許多實際飛行試驗證明是非常有效的，相關(guān)工作可見文獻(xiàn)[92-98]。但是需要指出的是，該方法是建立在系統(tǒng)慢時變這一假設(shè)之上的，同時難以從理論上嚴(yán)格保證閉環(huán)系統(tǒng)全局穩(wěn)定性，因此，基于該方法所設(shè)計的控制器也難以從根本上絕對保證飛行的安全性。

基于精確線性化模型的設(shè)計是首先利用反饋線性化技術(shù)或者動態(tài)逆技術(shù)將飛行器原始非線性模型轉(zhuǎn)化為線性形式，進(jìn)而應(yīng)用熟知的線性系統(tǒng)控制方法進(jìn)行控制器設(shè)計。與近似線性化方法相比，它不會產(chǎn)生模型精度損失[99]，因而受到控制科學(xué)家和工程師的廣泛關(guān)注，也被應(yīng)用于飛行器控制設(shè)計中，如文獻(xiàn)[100-101]分別利用反饋線性化和動態(tài)逆方法研究導(dǎo)彈控制系統(tǒng)設(shè)計，文獻(xiàn)[102]結(jié)合反饋線性化方法和干擾觀測器設(shè)計了高超聲速飛行器縱向控制系統(tǒng)，文獻(xiàn)[103-104]將反饋線性化技術(shù)應(yīng)用于航天器姿態(tài)控制中。雖然反饋線性化方法在非線性控制領(lǐng)域顯示了巨大的優(yōu)越性，然而，由于它依賴于精確的對象模型，因此其在飛行器控制中的應(yīng)用受到了一定程度上的限制。

隨著航空航天技術(shù)的飛速發(fā)展，現(xiàn)代飛行器具有多任務(wù)、多工作模式、大范圍高速機動等特點。這種新型飛行器以寬廣的飛行包絡(luò)、極高的飛行速度、超強的機動性和靈活的敏捷性為基本特征，其動力學(xué)特性表現(xiàn)為復(fù)雜的快時變、多變量強耦合、嚴(yán)重不確定性和強非線性。飛行器的控制系統(tǒng)設(shè)計面臨著更精確、更靈活而又更可靠的多方面要求，這也從根本上限制了一些經(jīng)典設(shè)計方法的使用。從發(fā)展角度看，現(xiàn)代飛行控制設(shè)計面臨著前所未有的困難和挑戰(zhàn)，其理論和方法亟需進(jìn)一步完善、創(chuàng)新和發(fā)展[105-108]。

1.4 偽線性系統(tǒng)控制方法

上文闡述了非線性控制系統(tǒng)的“以線性為主導(dǎo)的設(shè)計方法”。試想，如果我們能在形式上將非線性系統(tǒng)表為線性系統(tǒng)，然后利用線性系統(tǒng)的一些設(shè)計思想來設(shè)計控制律，在某些情況下是否可以得到一些更好的結(jié)果呢？

這類形似線性系統(tǒng)實則非線性系統(tǒng)的系統(tǒng)便稱為偽線性系統(tǒng)。在過去的十年中，我們把線性系統(tǒng)參數(shù)化設(shè)計方面的工作推廣到偽線性系統(tǒng)，為偽線性系統(tǒng)的研究打開了一個廣闊的空間，也為很多飛行器控制問題，如衛(wèi)星姿態(tài)控制、空間交會與攔截、飛行器姿態(tài)控制以及飛行器制導(dǎo)等，提供了一條簡單、有效的途徑[109-114]。

本文的目的就是介紹飛行器控制的偽線性系統(tǒng)方法。下一節(jié)將一些典型的飛行器控制問題轉(zhuǎn)化為偽線性系統(tǒng)問題，然后在該文的第二部分給出一般偽線性系統(tǒng)控制的直接參數(shù)化設(shè)計方法。

2 衛(wèi)星姿軌控制問題

根據(jù)剛體動量矩定理可知，衛(wèi)星的姿態(tài)動力學(xué)模型在慣性坐標(biāo)系中可以表述為

(1)

式中

(2)

分別是衛(wèi)星的慣量矩陣和角速度，

(3)

分別是控制力矩、重力梯度力矩和干擾力矩。動力學(xué)方程(1)也可寫為如下分量形式：

(4)

2.1 衛(wèi)星姿態(tài)控制問題

采用歐拉角描述衛(wèi)星姿態(tài)具有更直接、更明顯的幾何意義。

2.1.1基于歐拉角的描述

采用歐拉角φ,?和ψ描述衛(wèi)星姿態(tài)，描述方式與坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)方式有關(guān)。當(dāng)采用Z(ψ)→Z(φ)→Z(?)的旋轉(zhuǎn)順序時，衛(wèi)星的角速度在慣性坐標(biāo)系中的表達(dá)式為

(5)

另外，式(1)中的重力梯度力矩Tg可根據(jù)下述公式得到

(6)

對方程(5)兩端求導(dǎo)，可得衛(wèi)星的角加速度關(guān)于歐拉角的表達(dá)式。將角速度表達(dá)式(5)、重力梯度力矩表達(dá)式(6)以及獲得的角加速度表達(dá)式代入式(1)，經(jīng)過整理，可得關(guān)于歐拉角的一組二階微分方程組。為了表達(dá)方便，我們引入如下一組π函數(shù)

(7)

(8)

(9)

則可以將得到的二階微分方程表述為二階偽線性系統(tǒng)的形式。

命題1[109]. 定義干擾向量Td如式(3)所示，狀態(tài)變量為

則描述衛(wèi)星姿態(tài)運動的方程(4)～(6)可以轉(zhuǎn)化為如下二階矩陣形式

(10)

其中

這里，

上述中的π函數(shù)由式(7)～(9)給出。

2.1.2基于四元數(shù)的描述

采用四元數(shù)描述衛(wèi)星姿態(tài)，衛(wèi)星的姿態(tài)運動學(xué)模型在慣性坐標(biāo)系中的表達(dá)式為

(11)

其中

(12)

這里，

式中

對方程(11)兩端求導(dǎo)，可以得到衛(wèi)星的四元數(shù)關(guān)于角速度和角加速度的表達(dá)式

(13)

在式(11)兩邊同時左乘ET(Q)，并利用關(guān)系ET(Q)E(Q)=I3，經(jīng)過整理，可以得到角速度ω關(guān)于四元數(shù)的表達(dá)式

(14)

其中

(15)

這里，

(16)

(17)

其中

(18)

這里，

另一方面，重力梯度力Tg可根據(jù)下式得到

式中:C3是旋轉(zhuǎn)矩陣的第三列向量，表達(dá)為

(19)

命題2[110]. 定義狀態(tài)變量q、轉(zhuǎn)動慣量J及控制變量u如式(12)和(1)～(2)，那么基于四元數(shù)描述的姿態(tài)運動方程(1)和(11)可以轉(zhuǎn)化為如下二階矩陣形式

(20)

其中

(21)

(22)

(23)

2.2 空間交會與攔截問題

2.2.1空間合作交會問題

圖2 合作航天器交會系統(tǒng)Fig.2 Cooperative spacecraft rendezvous

為從追蹤航天器到目標(biāo)的向量在該坐標(biāo)系中的表示，其中，xr,yr和zr為相對位置變量。

假設(shè)所考慮的追蹤航天器和目標(biāo)航天器均為剛體，并且僅受重力和各自的推力影響。定義ac是由追蹤航天器推進(jìn)裝置的推力產(chǎn)生的加速度，at是由目標(biāo)航天器推進(jìn)裝置的推力產(chǎn)生的加速度，則航天器相對軌道動力學(xué)模型可由如下二階微分方程表示：

ac-at

(24)

式中:μ是地球引力常數(shù)，R為目標(biāo)航天器的軌道半徑，

(25)

下述命題將得到的二階微分方程(24)表述為偽線性系統(tǒng)的形式。

命題3[111]. 定義狀態(tài)變量和控制變量為

則描述合作航天器交會問題的方程(24)可轉(zhuǎn)化為如下的二階矩陣形式

(26)

其中

2.2.2空間非合作交會與攔截問題

假設(shè)所考慮的航天器均為剛體，只受重力和主動脈沖的作用，且不考慮自旋、繞太陽旋轉(zhuǎn)等因素的影響。令Rch為從地球中心到追蹤航天器的矢量，|Rch|為Rch的模，ach為追蹤航天器產(chǎn)生的加速度；Rta為從地球中心到目標(biāo)航天器的矢量，記|Rta|為Rta的模，ata為目標(biāo)航天器產(chǎn)生的加速度。設(shè)r=Rta-Rch為從追蹤航天器到目標(biāo)航天器的向量，根據(jù)二體問題，兩個航天器之間的相對運動在地心慣性坐標(biāo)系OIXIYIZI(ECI)中可描述為

(27)

式中:μ是地球引力常數(shù)。

(28)

對于交會和攔截問題，人們普遍承認(rèn)|Rch|?|r|，因此有

(29)

將式(27)代入式(28)，并結(jié)合式(29)，可得

(30)

其中，傾斜角ε為xl與xl到XI-ZI平面的投影之間形成的夾角，偏航角β為xI與xl到XI-ZI平面的投影形成的夾角，且ε和β均可測，

這里Rx,Ry和Rz為Rch的分量。

命題4[112]. 定義

則在LOS坐標(biāo)系中的航天器交會問題的相對運動方程(30)可改寫為二階矩陣形式：

(31)

其中

在攔截問題中,不考慮變量ρ，只考慮角度β和ε。

命題5[112]. 定義

則衛(wèi)星攔截模型可轉(zhuǎn)化為如下二階矩陣模型

(32)

其中

3 飛行器制導(dǎo)與控制問題

3.1 飛行器姿態(tài)控制問題

導(dǎo)彈的姿態(tài)動力學(xué)模型在慣性坐標(biāo)系中可以表述為式(1)。但在本小節(jié)中我們考慮重力梯度力矩Tg=0的情形。

另一方面，導(dǎo)彈的姿態(tài)運動學(xué)模型可以表示如下[57]

(33)

式中:?,ψ,γ分別是導(dǎo)彈的俯仰角，偏航角和滾轉(zhuǎn)角，用以表示導(dǎo)彈的相應(yīng)姿態(tài)，其余符號物理意義與式(1)相同。

歐拉角(?,ψ,γ)經(jīng)常被用于定義導(dǎo)彈在地球坐標(biāo)系下的姿態(tài)，而導(dǎo)彈本體坐標(biāo)系是固定在導(dǎo)彈之上隨著導(dǎo)彈運動。地球坐標(biāo)系和導(dǎo)彈本體坐標(biāo)系之間具有以下轉(zhuǎn)換關(guān)系[80]

(34)

(35)

命題6[113]. 如式(1)定義向量u，同時定義狀態(tài)變量為

(36)

則描述導(dǎo)彈姿態(tài)運動的方程(1)和(33)可以轉(zhuǎn)化為如下二階矩陣形式

(37)

其中

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

其中

Θ0(?,γ)=Θ(sin2γsin2?,cos2?cos 2γ,

-cos2γsin2?)

(44)

上述中的Θ函數(shù)由式(35)給出。

由式(38)可見，只要俯仰角?不達(dá)到π/2，矩陣B(x)便是有限的。

3.2 飛行器制導(dǎo)問題

如圖3所示，考慮導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對運動問題。假設(shè)目標(biāo)是一艘軍艦，因此其在垂直方向上不存在相對運動，而只在水平面上進(jìn)行機動。

圖3 導(dǎo)彈-目標(biāo)幾何關(guān)系Fig.3 Missile-target engagement geometry

O-xyz是地面參考坐標(biāo)系。M,T和MT分別表示導(dǎo)彈、目標(biāo)和導(dǎo)彈-目標(biāo)視線，r表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的距離，qθ和qφ分別是MT的傾角和方位角，Vt表示目標(biāo)的速度，φt表示Vt的方位角。需要說明的是，由于假設(shè)目標(biāo)始終在水平面運動，所以Vt的傾角等于零。相應(yīng)地，Vm表示導(dǎo)彈的速度，θm和φm分別表示Vm的傾角和方位角。

引入如下的變量

(45)

則圖3中所示的導(dǎo)彈-目標(biāo)相對運動方程可以表示為[65]

(46)

另外，導(dǎo)彈的質(zhì)心動力學(xué)模型可以表示為

(47)

式中:u1和u2分別表示導(dǎo)彈加速度沿著航跡坐標(biāo)系在Oy軸和Oz軸的分量。

考慮到此問題的物理意義，為了實現(xiàn)有效的制導(dǎo)，需要提出以下必要合理的假設(shè)：

假設(shè)1.Vm>Vt，且πr對于取值范圍內(nèi)所有的qθ,qφ,φm和θm都不為零。

對式(46)中的第二個和第三個方程的兩端分別進(jìn)行求導(dǎo)，并將式(45)和(47)代入求導(dǎo)后的結(jié)果，再結(jié)合式(46)中的第一個方程，經(jīng)過整理可得一組二階微分方程組，從而可得導(dǎo)彈制導(dǎo)模型的偽線性系統(tǒng)形式。

命題7[114]. 定義狀態(tài)變量和控制變量為

(48)

則導(dǎo)彈制導(dǎo)模型(46)和(47)可以轉(zhuǎn)化為如下二階矩陣形式

(49)

其中

(50)

B(x)=

(51)

(52)

(53)

這里

Vmcosθmcos(qφ-φm)

(54)

說明1. 式(45)中的at1和at2具有明確的物理意義，代表目標(biāo)機動加速投影，詳見文獻(xiàn)[114]。

4 結(jié)束語

飛行器控制問題本質(zhì)上都是非線性的，只有在極特殊的情況下才能按線性情況來處理。

盡管非線性控制方法很多，但在穩(wěn)定性這一重要問題上都給出了比較苛刻的條件。這也導(dǎo)致了飛行器的許多非線性控制方法不是十分令人滿意。

雖然飛行器控制問題多種多樣，本文卻展示了它們的一個公共特性，即它們的模型都可以表述為一類二階偽線性系統(tǒng)形式。如果針對這種一般的二階偽線性系統(tǒng)存在非常簡單、方便、有效的控制方法，那么許多飛行器控制問題便得到圓滿解決。該文的第二部分將介紹一般二階偽線性系統(tǒng)的一種直接參數(shù)化設(shè)計方法。這種直接方法比起基于一階狀態(tài)空間模型的設(shè)計方法顯示了極大的優(yōu)越性。

致謝

作者感謝其學(xué)生章智凱、趙琴、胡艷梅、黃秀韋等人協(xié)助查找文獻(xiàn)和組織材料。