鄂 斌，楊志紅，崔乃剛，王小剛

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天工程系，哈爾濱 150001；2. 中國(guó)航天科工飛航技術(shù)研究院，北京 100074)

0 引 言

輕質(zhì)化、柔性化是現(xiàn)代航天器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的發(fā)展趨勢(shì)之一，然而這種設(shè)計(jì)會(huì)使得結(jié)構(gòu)的低頻模態(tài)分布較為聚集，在受到空間外部擾動(dòng)等作用[1]或者進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)容易發(fā)生振動(dòng)。同時(shí)，柔性航天器自身的結(jié)構(gòu)阻尼小，振動(dòng)發(fā)生后并不能快速衰減，特別是在有諸多低頻模態(tài)存在的情況下，振動(dòng)持續(xù)時(shí)間過長(zhǎng)的問題會(huì)尤為明顯。長(zhǎng)時(shí)間的持續(xù)振動(dòng)對(duì)其上精密元器件的正常工作和空間任務(wù)普遍的高精度指向等需求而言都是十分不利的。

針對(duì)柔性航天器結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制問題，學(xué)者們提出了多種主動(dòng)振動(dòng)控制方法[2-4]。由于壓電陶瓷材料具有響應(yīng)速度快、重量輕和能源消耗低等特點(diǎn)，壓電陶瓷元件被廣泛地作為執(zhí)行器應(yīng)用于空間航天器的主動(dòng)振動(dòng)控制[5]。然而，使用壓電陶瓷元件作為執(zhí)行器進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)控制時(shí)會(huì)發(fā)生控制溢出問題[6]。另一種能夠廣泛應(yīng)用于柔性航天器主動(dòng)振動(dòng)并具有突出優(yōu)點(diǎn)的執(zhí)行器是角動(dòng)量交換裝置，它能夠在僅占用較小內(nèi)部空間的條件下，提供足夠大的控制力矩。

針對(duì)帶有角動(dòng)量裝置的柔性體結(jié)構(gòu)構(gòu)型，D’Eleuterio和Hughes[7-8]研究了具有連續(xù)分布的陀螺特性的固定邊界柔性結(jié)構(gòu)，基于線彈性假設(shè)推導(dǎo)了描述該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的偏微分動(dòng)力學(xué)方程，并首次提出了陀螺柔性體的概念。然而，他們的研究中沒有考慮伴隨陀螺特性的引入而實(shí)際存在的角動(dòng)量裝置的質(zhì)量、慣量以及角動(dòng)量裝置與柔性體本身的耦合影響。Hu等[9]在D’Eleuterio的研究基礎(chǔ)上，考慮了上述質(zhì)量、慣量和結(jié)構(gòu)耦合影響，基于多體動(dòng)力學(xué)建模中常用的Kane方法，推導(dǎo)了帶有可變速控制力矩陀螺(Variable-speed control moment gyro, VSCMG)柔性多體系統(tǒng)的通用動(dòng)力學(xué)模型，為工程應(yīng)用提供了較為完善的理論基礎(chǔ)。但是，這一通用動(dòng)力學(xué)模型帶有較強(qiáng)的非線性，對(duì)于直接應(yīng)用控制方法進(jìn)行振動(dòng)抑制難度較大。賈世元等[10]研究了約束陀螺柔性體結(jié)構(gòu)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)優(yōu)化配置問題，基于最優(yōu)控制理論，并應(yīng)用遺傳算法進(jìn)行了配置優(yōu)化求解，為主動(dòng)振動(dòng)控制中的執(zhí)行機(jī)構(gòu)部署提供了理論參考。然而，這種優(yōu)化配置是最優(yōu)控制意義上的，并沒有對(duì)其他控制方法進(jìn)行更深入的討論。Hu等[11]對(duì)文獻(xiàn)[9]中的約束陀螺柔性體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了線性化，以角速率陀螺為測(cè)量裝置，推導(dǎo)了適用于控制器設(shè)計(jì)的狀態(tài)空間模型，并使用自適應(yīng)控制方法對(duì)其進(jìn)行了控制器設(shè)計(jì)。然而，該方法直接應(yīng)用降階模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，并沒有考慮模態(tài)截?cái)嗫赡芤鸬目刂破黥敯粜詥栴}。

為了解決使用壓電陶瓷元件作為執(zhí)行器的發(fā)生控制溢出問題，Goh和Caughey[12]提出的正位置反饋(Positive postion feedback, PPF)控制方法能夠在滿足同位控制條件時(shí)有效解決控制溢出問題，同時(shí)能夠?yàn)殚]環(huán)系統(tǒng)提供足夠的模態(tài)阻尼，因而成為使用壓電陶瓷元件作為執(zhí)行器時(shí)廣泛應(yīng)用的控制方法[13]。然而，雖然PPF控制器本質(zhì)上是一種具有3個(gè)可調(diào)參數(shù)的二階濾波器，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但是選擇PPF參數(shù)的方法卻不盡相同。Fanson[14]采用了根軌跡方法按照由高階到低階的順序進(jìn)行PPF參數(shù)選擇。這一方法的不足是設(shè)計(jì)中需要反復(fù)迭代。Starek和Fenik[15]提出了一種解析法的PPF最優(yōu)參數(shù)的設(shè)計(jì)方法，然而該方法只能應(yīng)用于單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)。Friswell和Inman[16]提出了一種可同時(shí)用于SISO和MIMO系統(tǒng)中的PPF輸出反饋?zhàn)顑?yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)方法，但是該方法所確定的參數(shù)依賴于系統(tǒng)的初始條件。Moheimani等[17]提出了一種基于極點(diǎn)配置和最小化閉環(huán)系統(tǒng)無窮范數(shù)兩種優(yōu)化準(zhǔn)則的非線性搜索算法，然而這一算法依賴于LMI方法求解出的初值。Orszulik和Shan[18]使用遺傳算法替代非線性搜索算法，對(duì)文獻(xiàn)[17]的算法進(jìn)行了改進(jìn)。但是依舊存在計(jì)算多階模態(tài)情況耗時(shí)長(zhǎng)的問題。

綜上所述，陀螺柔性體振動(dòng)控制方法在魯棒性設(shè)計(jì)方面和PPF控制器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)效率方面仍有提升空間。本文以帶有VSCMG的柔性太陽翼為被控對(duì)象，提出了一種基于求解非光滑H∞綜合問題的最優(yōu)參數(shù)PPF主動(dòng)振動(dòng)抑制方法：在建立線性化約束陀螺柔性板動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上，不同于以往文獻(xiàn)將角速率陀螺作為測(cè)量裝置的方案，選用角度陀螺作為測(cè)量裝置，推導(dǎo)了約束陀螺柔性板全階狀態(tài)空間模型；為提高M(jìn)IMO系統(tǒng)控制多階模態(tài)情況下的最優(yōu)PPF控制器參數(shù)的選取效率，給出了一種通過對(duì)被控對(duì)象全階狀態(tài)空間模型進(jìn)行降階、修正和加權(quán)處理，將對(duì)應(yīng)的PPF控制器參數(shù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為在PPF控制器構(gòu)型約束條件下的非光滑H∞綜合問題并進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)的PPF最優(yōu)參數(shù)確定方法。本文提出的最優(yōu)參數(shù)PPF主動(dòng)振動(dòng)抑制方法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)各階陀螺模態(tài)的獨(dú)立控制，在滿足快速性和魯棒性等控制需求的前提下，能夠穩(wěn)定高效地實(shí)現(xiàn)PPF最優(yōu)參數(shù)的求解。數(shù)值仿真的時(shí)域和頻域分析表明該方法能夠快速、魯棒地實(shí)現(xiàn)帶有VSCMG的柔性太陽翼的振動(dòng)抑制。

1 帶有VSCMG的柔性太陽翼振動(dòng)控制模型

1.1 帶有VSCMG的柔性太陽翼建模和模態(tài)分析

典型的航天器本體及帶有VSCMG的柔性太陽翼結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，主要包含航天器本體和與航天器本體剛性連接并帶有VSCMG的柔性太陽翼。這種柔性太陽翼結(jié)構(gòu)中安裝有若干個(gè)用于抑制其結(jié)構(gòu)振動(dòng)的VSCMG。以帶有n個(gè)VSCMG的柔性太陽翼作為研究對(duì)象，將剛性連接對(duì)應(yīng)成固定端約束，可以得到如圖2(a)所示的約束陀螺柔性板構(gòu)型。

圖1 帶有VSCMG的柔性太陽翼航天器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of flexible solar panel spacecraft with VSCMG

圖2 約束陀螺柔性板示意圖Fig.2 Schematic diagram of constrained gyroelastic plate

包含有限個(gè)VSCMG的多體系統(tǒng)通用動(dòng)力學(xué)方程已由文獻(xiàn)[9]的式(7)得到。通過將該式中的速度及角速度置零，并忽略高階項(xiàng)可得線性化的約束陀螺柔性體動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

因而，對(duì)應(yīng)于第1個(gè)初始安裝方向的VSCMG能夠產(chǎn)生沿xb負(fù)向的控制力矩；對(duì)應(yīng)于第2個(gè)初始安裝方向的VSCMG能產(chǎn)生沿yb負(fù)向的控制力矩。

根據(jù)式(2)，Ma,Ga和Bτ可以推導(dǎo)簡(jiǎn)化為

(3)

為進(jìn)行約束陀螺柔性板的模態(tài)分析，將線性化方程寫成一階系統(tǒng)形式

(4)

(5)

對(duì)于不考慮T的無阻尼約束陀螺柔性體系統(tǒng)，忽略右端的外界激勵(lì)項(xiàng)進(jìn)行模態(tài)分析，式(4)的特征值問題變?yōu)?/p>

λαEφα+Sφα=0

(6)

其中，λα為上述方程的特征值，φα為對(duì)應(yīng)于特征值λα的特征向量。由于E矩陣的正定對(duì)稱特性，以及S矩陣的反對(duì)稱特性，可知λα=jωα，α=±1,…,±m(xù)，ωα=-ω-α，φα=fα+jkα并且f-α=kα。實(shí)數(shù)向量fα和kα具有以下形式[11]

(7)

式中：vα=μ-α且μα=v-α。

由上述特性可知，矢量對(duì)(μα,vα)在α=1,…,m時(shí)即可完整描述約束陀螺柔性體的模態(tài)特性，矢量對(duì)(μα,vα)即為約束陀螺柔性體的陀螺模態(tài)[11]。此外，實(shí)數(shù)向量fα和kα還滿足正交條件[11]

(8)

式中：δαβ為Kronecker符號(hào)。

對(duì)于考慮T的有阻尼約束陀螺柔性體系統(tǒng)，將柔性阻尼T作為無阻尼約束陀螺柔性體系統(tǒng)的攝動(dòng)部分進(jìn)行考慮，則有阻尼約束陀螺柔性體系統(tǒng)的特征值為[11]

(9)

其中，δλα=ζαωα,ζα為阻尼攝動(dòng)因子且滿足

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

1.2 狀態(tài)空間模型

將式(14)代入式(4)，并應(yīng)用式(13)的正交化條件進(jìn)行形式化簡(jiǎn)，可以得到約束陀螺柔性板的狀態(tài)空間方程

(15)

(16)

考慮到本文后續(xù)控制器設(shè)計(jì)中所使用的正位置反饋PPF控制方法并充分發(fā)揮其在同位控制[19]條件下的優(yōu)勢(shì)，采用與VSCMG同位部署的角度陀螺作為測(cè)量裝置，提供對(duì)應(yīng)于力矩的“角位置”信息，進(jìn)而使約束陀螺柔性體能夠滿足同位控制條件。與圖2(a)對(duì)應(yīng)的輸出矩陣C的具體形式為

(17)

2 最優(yōu)參數(shù)PPF控制器設(shè)計(jì)

2.1 PPF控制方法

PPF控制器的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，具有很強(qiáng)的工程易實(shí)現(xiàn)性；特別是在傳感器與執(zhí)行器的部署滿足同位控制條件下，PPF控制方法能夠有效解決控制溢出問題[19]。這些優(yōu)點(diǎn)使得它被廣泛應(yīng)用在柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制中。

PPF控制方法的基本原理是基于廣義的結(jié)構(gòu)位置輸出量測(cè)量生成用于抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)的廣義力控制指令。這種廣義位置輸出量和對(duì)應(yīng)的廣義力控制量，既可以是平移位移量與對(duì)應(yīng)的力，也可以是轉(zhuǎn)動(dòng)位移量與對(duì)應(yīng)的力矩。PPF控制方法本質(zhì)上是一種二階補(bǔ)償器，它將測(cè)量得到的結(jié)構(gòu)位置信息輸入二階濾波器，再將二階濾波器的輸出信號(hào)保持正號(hào)的反饋給結(jié)構(gòu)，是一種典型的正反饋控制。PPF控制結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。

圖3 PPF控制結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure diagram of PPF control

對(duì)于本文研究的約束陀螺柔性體板振動(dòng)控制問題，應(yīng)用PPF控制方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)所選取的廣義位置輸出量為柔性體角位移，對(duì)應(yīng)的廣義力控制量為VSCMG輸出的陀螺力矩。

對(duì)于第i階模態(tài)的PPF控制器而言，設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容是選取控制器結(jié)構(gòu)中的三個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)：控制器增益Ki、控制器阻尼比ξci以及控制器結(jié)構(gòu)頻率ωci。這三個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)選取的優(yōu)劣直接決定PPF控制器的控制性能。當(dāng)期望控制的模態(tài)個(gè)數(shù)為q時(shí)，對(duì)應(yīng)的PPF控制的設(shè)計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù)將為3q。當(dāng)執(zhí)行器與測(cè)量裝置滿足同位控制條件時(shí)，對(duì)應(yīng)的PPF控制器傳遞函數(shù)陣應(yīng)為對(duì)角矩陣，對(duì)于帶有n個(gè)VSCMG的約束陀螺柔性體板而言，第j個(gè)對(duì)角元素為第j個(gè)VSCMG將要控制的對(duì)應(yīng)階PPF控制器傳遞函數(shù)的線性組合，即

(18)

式中：lji即為第i階模態(tài)被第j個(gè)VSCMG所控制的判斷標(biāo)志位。

PPF控制器參數(shù)選取的一般方法是基于古典控制中的根軌跡和頻率設(shè)計(jì)理論反復(fù)迭代設(shè)計(jì)，或者采用試湊法進(jìn)行手動(dòng)調(diào)節(jié)。這些方法的設(shè)計(jì)效率不高同時(shí)對(duì)設(shè)計(jì)人員經(jīng)驗(yàn)要求較高。本文將采用一種基于求解非光滑H∞綜合問題的PPF控制器參數(shù)尋優(yōu)方法，實(shí)現(xiàn)約束陀螺柔性板的最優(yōu)PPF參數(shù)的高效求解。

2.2 基于非光滑H∞綜合的參數(shù)優(yōu)化

固定構(gòu)型控制器非光滑H∞綜合的基本原理是在滿足預(yù)定控制器構(gòu)型約束的穩(wěn)定控制器集合中，對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)無窮范數(shù)進(jìn)行最小化。固定構(gòu)型控制器H∞綜合的非光滑特性主要來自于兩個(gè)方面:一是H∞范數(shù)定義中的最大奇異值求解過程；二是在全頻域內(nèi)對(duì)最大奇異值進(jìn)行最小化過程。對(duì)于本文所研究的約束陀螺柔性板控制問題而言，預(yù)定構(gòu)型約束即為PPF控制器構(gòu)型約束。

不失一般性，對(duì)于一個(gè)線性定常系統(tǒng)，標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間表達(dá)式可以記為

(19)

則固定構(gòu)型控制器非光滑H∞綜合問題可以描述為：

(20)

對(duì)于該非光滑H∞綜合問題如果使用傳統(tǒng)“最速下降法”進(jìn)行尋優(yōu)，會(huì)由于優(yōu)化指標(biāo)函數(shù)的非光滑特性，無法收斂。因而本文選用文獻(xiàn)[20]中的“一階下降算法”進(jìn)行上述優(yōu)化問題的求解。

2.3 H∞框架轉(zhuǎn)化和控制模型處理

考慮到振動(dòng)系統(tǒng)整體響應(yīng)主要決定于其低階模態(tài)，并且為使所設(shè)計(jì)的控制器具有合理的規(guī)模，需要對(duì)約束陀螺柔性板的全階狀態(tài)空間模型進(jìn)行降階處理。對(duì)于式(15)表示的約束陀螺柔性板的全階狀態(tài)模型，可將其分離為由前nr個(gè)模態(tài)組成的降階系統(tǒng)模型Gmod以及由后m-nr個(gè)模態(tài)組成的剩余系統(tǒng)模型Gun-mod。

此外，為使PPF控制器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)過程能夠在H∞框架下進(jìn)行，需要對(duì)降階模型進(jìn)一步處理。

控制器設(shè)計(jì)的總體框架如圖4(a)所示。控制目標(biāo)是在指定的擾動(dòng)量級(jí)和控制輸入量極限值約束條件下，使評(píng)價(jià)輸出量足夠小。在H∞框架下，這一控制目標(biāo)是通過在穩(wěn)定控制器集合中，對(duì)從擾動(dòng)輸入量到評(píng)價(jià)輸出量的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣H∞范數(shù)進(jìn)行最小化來實(shí)現(xiàn)的。然而，評(píng)價(jià)輸出量可以由對(duì)應(yīng)于不同控制目標(biāo)的多個(gè)物理量(如控制輸入量和性能指標(biāo)量)共同組成，這將導(dǎo)致不同控制目標(biāo)需要在同一個(gè)閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣H∞范數(shù)指標(biāo)下表示，為此必須對(duì)圖4(a)中總體框架的輸入量和輸出量進(jìn)行加權(quán)處理。

圖4 總體框架和H∞框架示意圖Fig.4 Overall framework and H∞ framework diagram

如圖4(a)所示，式(15)表示的全階系統(tǒng)模型可由模型Gmod和Gun-mod相加得到。其中Gmod代表降階系統(tǒng)模型，包含那些主導(dǎo)系統(tǒng)響應(yīng)的低階模態(tài)；Gun-mod代表剩余系統(tǒng)模型，由降階過程中忽略的高階模態(tài)組成。

此外，模型降階會(huì)引起控制溢出問題，即當(dāng)通過降階模型設(shè)計(jì)的控制器應(yīng)用于全階系統(tǒng)或者實(shí)際系統(tǒng)時(shí)，被忽略的高階模態(tài)將引起附加控制量和觀測(cè)量，進(jìn)而導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。在H∞框架里，控制溢出問題可以通過引入基于小增益定理[23]的魯棒性指標(biāo)來解決。

3 算例仿真與分析

本部分將結(jié)合一個(gè)仿真算例，應(yīng)用本文提出的最優(yōu)參數(shù)PPF控制方法對(duì)帶有VSCMG的航天器柔性太陽翼進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)抑制。

仿真算例中所使用的柔性太陽翼和VSCMG相關(guān)參數(shù)見表1。兩個(gè)VSCMG分別安裝在柔性板的兩個(gè)非約束端外邊緣角處，如圖2所示。兩個(gè)陀螺轉(zhuǎn)子角動(dòng)量方向zgi均垂直于柔性板，與zb方向相同；兩個(gè)陀螺的框架轉(zhuǎn)動(dòng)方向xgi相互垂直，分別與xb和yb同方向。

表1 柔性板和VSCMG的參數(shù)Table 1 Parameters of flexible plate and CMGs

使用有限元軟件ANSYS中的六自由度殼體結(jié)構(gòu)單元“SHELL 181”對(duì)柔性板進(jìn)行建模，保留前10階模態(tài)作為柔性板的有限元輸出模型用于后續(xù)的陀螺柔性體建模與分析。這10階模態(tài)的固有頻率分別為：0.03568454 Hz，0.12965534 Hz，0.2229134 Hz，0.4342954 Hz，0.6210046 Hz，0.7068573 Hz，0.87604482 Hz，1.013184 Hz，1.284289 Hz，1.515107 Hz。前四階的柔性體模態(tài)如圖5所示。

圖5 前4階柔性板模態(tài)圖Fig.5 The first four modal diagram of the flexible plate

柔性板中加入VSCMG后，約束陀螺柔性體模態(tài)頻率變?yōu)椋?.03565845 Hz，0.1294373 Hz，0.2228697 Hz，0.4338221 Hz，0.6207935 Hz，0.7053909 Hz，0.8758507 Hz，1.011640 Hz，1.284282 Hz，1.514929 Hz。前四階的柔性體模態(tài)如圖6所示。

圖6 前4階陀螺模態(tài)圖Fig.6 The first four gyroelastic modal diagram

由圖6的仿真結(jié)果可知，第1階與第3階陀螺模態(tài)主要為yb方向彎曲變形，與第2個(gè)VSCMG產(chǎn)生的陀螺力矩方向相一致，因而在控制器設(shè)計(jì)時(shí)使用第2個(gè)VSCMG控制第1階與第3階陀螺模態(tài)。第2階陀螺模態(tài)對(duì)應(yīng)的變形主要發(fā)生在xb方向上，與第1個(gè)VSCMG產(chǎn)生的陀螺力矩方向接近，因而在控制器設(shè)計(jì)時(shí)使用第1個(gè)VSCMG控制第2階陀螺模態(tài)。此外，使用文獻(xiàn)[25]的方法進(jìn)一步分析模態(tài)占比可知，本算例中的約束陀螺柔性體的變形主要由前3階模態(tài)主導(dǎo)，為此，降階系統(tǒng)模型Gmod包含前3階模態(tài)，剩余系統(tǒng)模型Gun-mod包含后7階模態(tài)?；谏鲜龇治?，由式(18)可以得到本算例PPF控制器KPPF(s)的結(jié)構(gòu)形式為

(21)

圖7 剩余系統(tǒng)性能界計(jì)算結(jié)果Fig.7 Performance boundary of the residual system

考慮到PPF方法進(jìn)行主動(dòng)振動(dòng)抑制本質(zhì)上是提高各階模態(tài)阻尼，同時(shí)為使前3階模態(tài)對(duì)于擾動(dòng)輸入的過渡過程時(shí)間盡可能相等，權(quán)值函數(shù)Wdist,Wact和Wmod的選取結(jié)果如表2所示。

表2 權(quán)值函數(shù)的選取結(jié)果Table 2 Selection result of weight functions

而后，為應(yīng)用“一階下降算法”對(duì)固定構(gòu)型控制器非光滑H∞綜合進(jìn)行優(yōu)化求解，需要對(duì)PPF參數(shù)的搜索范圍進(jìn)行合理限定：PPF控制器的結(jié)構(gòu)頻率ωci限定在對(duì)應(yīng)階次陀螺模態(tài)ωi固有頻率的±30%以內(nèi)[13]；控制器增益Ki限定為正數(shù)；控制器阻尼比ξc的范圍限定在0～1范圍內(nèi)。

通過非光滑H∞綜合方法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，得到的最優(yōu)PPF控制器參數(shù)見表3。

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性，對(duì)全階模型閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行頻域和時(shí)域分析。在第一個(gè)VSCMG的位置施加一個(gè)zb方向的外部擾動(dòng)激勵(lì)，并以該點(diǎn)的zb方向振動(dòng)位移值(以下記為端部響應(yīng))作為控制器性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，圖8給出了從外部擾動(dòng)激勵(lì)

到端部響應(yīng)的頻域響應(yīng)曲線。

從圖8可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)的前三階模態(tài)振型頻率附近的響應(yīng)幅值相對(duì)開環(huán)系統(tǒng)明顯下降，其中一階模態(tài)的響應(yīng)幅值由18.56 dB下降至-21.81 dB，下降幅度為40.37 dB；二階模態(tài)的響應(yīng)幅值由2.52 dB下降至-12.54 dB，下降幅度為15.06 dB，三階模態(tài)的響應(yīng)幅值由-19.52 dB下降至-35.94 dB，下降幅度為16.42 dB。上述結(jié)果說明所設(shè)計(jì)的最優(yōu)參數(shù)PPF控制器實(shí)現(xiàn)了對(duì)前三階模態(tài)阻尼的有效提高，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)控制的目的。

圖8 頻域響應(yīng)曲線圖Fig.8 Frequency response curve

時(shí)域分析的仿真條件為：外部擾動(dòng)激勵(lì)幅值為5 N，持續(xù)時(shí)間為一階陀螺模態(tài)振動(dòng)周期的一半，激勵(lì)形式為脈沖激勵(lì)。端部位移的時(shí)域響應(yīng)曲線如圖9所示，VSCMG框架角速度的時(shí)域變化曲線如圖10所示，前4階物理模態(tài)的時(shí)域響應(yīng)曲線如圖11所示。

從圖9可以看出，在所設(shè)定的脈沖激勵(lì)下，系統(tǒng)的振動(dòng)過程由開環(huán)時(shí)的緩慢衰減(無明顯衰減趨勢(shì))，過渡過程時(shí)間遠(yuǎn)大于500 s，變?yōu)殚]環(huán)時(shí)的迅速衰減，過渡過程時(shí)間顯著降低至150 s以內(nèi)。閉環(huán)系統(tǒng)的端部振動(dòng)的衰減速度相對(duì)于原系統(tǒng)顯著提高，即最優(yōu)參數(shù)PPF控制器使閉環(huán)系統(tǒng)的模態(tài)阻尼顯著增加。由圖10可知，VSCMG的框架角速度輸出均在0.5 rad/s以內(nèi)。從圖11可以看出，從閉環(huán)系統(tǒng)各階模態(tài)的響應(yīng)時(shí)間接近，與PPF控制器設(shè)計(jì)過程中權(quán)值函數(shù)的設(shè)計(jì)初衷相一致。

圖9 端部位移的時(shí)域響應(yīng)曲線Fig.9 Time domain response curve of tip displacement

圖10 陀螺框架角速度的時(shí)域變化曲線Fig.10 Time domain variation curve of gyro frame’s angular velocity

圖11 前4階物理模態(tài)的時(shí)域響應(yīng)曲線Fig.11 Time domain response curve of the first four physical modes

以上頻域分析和時(shí)域分析直觀地說明了所設(shè)計(jì)的最優(yōu)參數(shù)PPF控制器能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)各階陀螺模態(tài)的獨(dú)立控制，顯著增加各階模態(tài)的阻尼，實(shí)現(xiàn)快速、魯棒的振動(dòng)抑制。

4 結(jié) 論

本文研究了帶有VSCMG為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的柔性太陽翼振動(dòng)抑制問題，提出了一種基于求解非光滑H∞綜合問題的最優(yōu)參數(shù)PPF控制方法。以角度陀螺為測(cè)量裝置，應(yīng)用PPF控制方法進(jìn)行振動(dòng)抑制，并將對(duì)應(yīng)的PPF控制器參數(shù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為在PPF控制器構(gòu)型約束條件下的非光滑H∞綜合問題，使PPF控制器參數(shù)能夠在H∞框架下進(jìn)行高效尋優(yōu)求解，有效提高了陀螺柔性體振動(dòng)控制方法的魯棒性以及PPF控制器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的計(jì)算效率。仿真算例中的一階、二階和三階模態(tài)的響應(yīng)幅值分別下降了40.37 dB, 15.06 dB和16.42 dB，過渡過程時(shí)間顯著降低至150 s以內(nèi)。通過仿真結(jié)果可以看出，最優(yōu)PPF控制方法能夠有效解決帶有VSCMG的柔性太陽翼振動(dòng)問題，所設(shè)計(jì)的最優(yōu)參數(shù)PPF控制器能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)各階陀螺模態(tài)的獨(dú)立控制，顯著增加各階模態(tài)的阻尼，實(shí)現(xiàn)快速、魯棒的振動(dòng)抑制。